Конечно, над Z/2Z.

Так, кстати, еще три листочка поспело:
http://imperium.lenin.ru/~verbit/MATH/MCCME/listki/alg8.ps
http://imperium.lenin.ru/~verbit/MATH/MCCME/listki/alg9.ps
http://imperium.lenin.ru/~verbit/MATH/MCCME/listki/alg10.ps

Такие дела
Миша

> Конечно, над Z/2Z.

Я под Z_2 и имела в виду Z/2Z :-) Привычка так записывать, со старых времен.
Но это (что над Z/2Z) надо обязательно оговорить в условии, иначе непонятно совсем.

С учетом поля посмотрела задачу 7.46. Не поняла: GL(V) там ведь действует просто как перестановка базисных векторов, то есть индексов у иксов? То есть инвариантность Q_r означает просто его симметричность? Но ведь в начале задачи уже сказано, что это элементы симметрической алгебры, что же тогда требуется доказать? Ну и если я это правильно поняла, то результат Диксона -- это просто указание алгебраического базиса в кольце симметрических функций?

> Так, кстати, еще три листочка поспело:

Почему-то не соединяется сейчас с imperium.lenin.ru.
Я лучше вначале посмотрю исправленные варианты геометрий 7-9 (от 15 ноября), пока за них дети не взялись (или уже взялись?). Пока только заглянула и увидела много ошибок. В частности, про 1-точечную компактификацию какой-то ужас в определении написан :-) Все неправильно.

> Почему-то не соединяется сейчас с imperium.lenin.ru.

Все, соединилось. Видимо, временная какая-то проблема была. Я скачала.

>Не поняла: GL(V) там ведь действует просто как перестановка
>базисных векторов, то есть индексов у иксов?

Нет, конечно. GL(n, Z/2Z)
не изоморфно симметрической группе. GL(n, Z/2Z)
действует на линейном пространстве
(Z/2Z)^n как всегда GL(n, Z/2Z)
действует, то есть линейными операторами.

> imperium.lenin.ru. Я лучше вначале посмотрю
> исправленные варианты геометрий 7-9 (от 15
> ноября), пока за них дети не взялись (или
> уже взялись?).

Кажется, особо не взялись пока, доделывают первые 12.

>Пока только заглянула и
> увидела много ошибок. В частности, про
> 1-точечную компактификацию какой-то
> ужас в определении написан :-) Все
> неправильно.

Да, это я недосмотрел, спасибо (я не видел этой
версии сам). Теперь там такое:

\begin{zadacha}
Дано топологическое пространство $X$. Обозначим через $\widehat{X}$
множество $X \bigcup \{\infty\}$ ($X$, к которому добавили еще одну
точку, обозначенную как $\infty$)
со следующей топологией: $U \subset \widehat{X}$
открыто либо если $\infty \in U$, а дополнение
к $U$ компактно как подмножество $X$, либо если $\infty
\not\in X$, и $U$ открыто как подмножество $X$.
Докажите, что это действительно топология, и что
пространство $\widehat{X}$ компактно.
\end{zadacha}

Если еще ошибки - напишите! буду еще править.

Такие дела
Миша

> Нет, конечно. GL(n, Z/2Z)
> не изоморфно симметрической группе.

Да, это я ошиблась. Мне показалось, что если обратимые, то только перестановки. Буду дальше думать.

Еще замечания по Геометрии 7:

Определение 7.1. "Даже несчетный" -- как-то коряво :-)

Определение убывающего набора -- я про это уже писала, забыли исправить. Если дети ординалов не знают,

то тогда можно то же самое просто назвать "монотонным".

Задача 7.19(б). Наверное, не "существует ли" а "может ли существовать"?

Задача 7.21(а). Перед "отрезке" добавить "некотором".

Указание к задаче 7.23. Я писала уже про то, что замкнутые множества надо брать другие, не исправлено.

Не добавлено свойство Больцано-Вейерштрасса (про метрические пространства).

Дальше пока не смотрела.

Спасибо за исправленя!

> Не добавлено свойство
> Больцано-Вейерштрасса (про метрические
> пространства).

Я его в листок про метрические пространства
(геометрию-4) добавил.

> Определение убывающего набора -- я про
> это уже писала, забыли исправить. Если
> дети ординалов не знают,
> то тогда можно то же самое просто
> назвать "монотонным".

Так там же нет никаких ординалов!

Я заменил теперь слово "убывающий"
на "монотонный". Хотя по-моему, разницы
особой нет.

> Указание к задаче 7.23. Я писала уже про
> то, что замкнутые множества надо брать
> другие, не исправлено.

Исправлено!

"Теперь примените лемму Урысона к замкнутым
множествам $\{x_i\}$, $M\backslash
U_i$, и просуммируйте полученные функции Урысона
$f_i$ с правильно подобранными коэффициентами."

Там раньше было совершенно не то.

Такие дела
Миша

> Я его в листок про метрические пространства (геометрию-4) добавил

Так ведь многие же его уже сдали? Или им объявляют, когда в уже сданных листках что-то новое появляется? Я не помню уже где, но где-то дальше (кажется в Геометрии 8) это свойство было нужно, чтобы что-то важное доказывать (изначально там была ссылка на задачу 7.17, но в ней после исправления появилась счетная база, а надо было это свойство для общего случая).

> Так там же нет никаких ординалов!

Я имела в виду, что если говорить "убывающая", то надо уметь сравнивать индексы.

> Хотя по-моему, разницы особой нет.

Разница в том, что под ваше определение, если рассматривать этот набор как функцию на индексном множестве, попадают и убывающие, и возрастающие, и по-любому упорядоченные функции. Например, если топология порядковая, то любой набор оказывается убывающим. Как-то это нехорошо, и не согласуется с интуицией стандартного использования слова "убывающий", которое использует порядок как на множестве определения, так и на множестве значений. Кстати, можно еще назвать не "монотонный", а просто "упорядоченный по включению набор", так наверное точнее будет.

> Исправлено!

Может, у меня не последний вариант? Я скачивала с сайта НМУ, дата файлов там 15 ноября. Там эти окрестности еще старые написаны, как с самого начала было.

>Так ведь многие же его уже сдали? Или им
>объявляют, когда в уже сданных листках что-то новое
>появляется?

Так там был этот самый критерий изначально,
с невнятным указанием.

>Я скачивала с сайта НМУ, дата файлов там 15 ноября. Там эти
>окрестности еще старые написаны, как с самого начала было.

Ага. Там не последняя версия
(вообще неделю не обновляли - я отсюда
никак на процесс повлиять не могу, увы).

Я кинул сюда последние версии всех файлов
http://imperium.lenin.ru/~verbit/MATH/MCCME/listki/

Такие дела
Миша

> Так там был этот самый критерий изначально,
> с невнятным указанием.

Это вы про задачу 7.17?
Он был _неправильный_! Там не требовалось метризуемости, а без метризуемости оно не доказывается, по крайней мере ни я, ни вы не знаем, как это сделать (и можно ли). Получается, те, кто решал до исправления на счетную базу, так и остались в заблуждении, и верят теперь в неверный факт, а те, кто решал после исправления, не смогут решать задачу из Геометрии 8, где этот критерий будет нужен.

> Это вы про задачу 7.17?

Про 4-й листок. Геометрию-7 еще никто е решал.

Такие дела
Миша

А, поняла. А ничего, что они его доказывали неправильно? Вряд ли кто догадался до правильного решения с неправильным указанием...

Ну в случае, когда у нас счетная база, это
правильное указание. А для несчетной базы
нужно полное упорядочивание, только и всего.

Такие дела
Миша

У меня сейчас нет этих листков на руках, но насколько я помню, таким образом при несчетной базе доказательство не проходит.
Сейчас-то там правильно стало (я посмотрела новый вариант), но тем детям, которые решали еще по-старому, наверное, сказать про это надо, чтобы посмотрели...

Посмотрела старый текст. Точно не проходит ваше старое указание для несчетной базы. Это и само по себе понятно, и вы же сами приводили контрпример (пространство с несчетной базой в точке, для которого компактность и несуществование дискретных множеств неэквивалентны) -- с топологией на ординалах.

Сейчас-то все хорошо стало, вопрос в тех детях, которые эту 4-ю геометрию прорешали еще до того.

Кстати, может, вы создадите новый пост для следующих алгебр? А то если в этот писать, то ветки начнут сворачиваться и будет неудобно.

>Посмотрела старый текст. Точно не проходит ваше
>старое указание для несчетной базы.

Так там же специально говорится - в случае счетной
базы так, а иначе придумайте по-другому.

>вопрос в тех детях, которые эту 4-ю геометрию прорешали еще до того.

Во многих случаях лучше знать простое доказательство, хоть
и неправильное, чем правильное, но мутное. Тем более что
в жизни пространств без счетной базы практически не бывает.

>Кстати, может, вы создадите новый пост для следующих алгебр?

Ага!
http://www.livejournal.com/users/tiphareth/519816.html

Такие дела
Миша

> иначе придумайте по-другому.

Так понятно же, что никто не придумал по-другому, поскольку правильное доказательство, использующее метризуемость, строится совсем по другим принципам. Подозреваю, что все, сдавшие эту задачу, рассказывали неверное доказательство. Вы же сами принимали эти листки -- разве хоть кто-то правильное доказательство рассказал?

> Во многих случаях лучше знать простое доказательство,
> хоть и неправильное, чем правильное, но мутное.

Категорически не согласна! Это ужасно порочный подход. Лучше не знать никакого доказательства, чем быть уверенным в правильности неправильного.

> Тем более что в жизни пространств без счетной базы практически не бывает.

Речь ведь даже не о базе точки, а о базе всего пространства.

>Категорически не согласна! Это ужасно порочный
>подход. Лучше не знать никакого доказательства, чем
>быть уверенным в правильности неправильного.

Быть уверенным в чем бы то ни было неправильно,
но я когда читал книжки, доказательства где только можно
пропускал и придумывал свои. Они довольно часто были
неправильные. Я через год-другой продумывал это место
заново и довольно часто находил ошибку.

>Речь ведь даже не о базе точки, а о базе всего пространства.

Ага. Тем не менее, топологи в 99.99 процентах случаев имеют
дело либо с многообразием, либо с счетным CW-комплексом,
и у них всегда есть счетная база.

Такие дела
Миша