tiphareth: гиперпростое множество

Настроение:	tired
Музыка:	Альтернативная Космонавтика -- 5.03.1995 Дом Ученых
Entry tags:	math, smeshnoe

гиперпростое множество
Среди прочего, Шень рассказал мне, что есть гиперпростое
множество. Это рекурсивно перечислимое множество A,
обладающее следующим свойством. Обозначим
n-й (в порядке возрастания) элемент дополнения к A
за b_n. Тогда последовательность {b_n} растет
быстрее любой вычислимой функции

Числа Грэма отдыхают, они растут ниибацца быстро,
но таки гораздо медленнее.

Еще есть максимальное множество,
это перечислимое множество A, такое, что любое
перечислимое множество, содержащее A, отличается
от A либо от натурального ряда на конечное множество.

Максимальные множества гиперпросты (это, кажется, ясно).
Также максимальные множества образуют орбиту относительно
группы вычислимых и обратимых подстановок натурального
ряда, сохраняющих перечислимые множества, с точностью
до конечных.

Конструктивная математика!

По степени живительной бредовости эта наука круче
ультрафильтров вдесятеро. Круче и неконструктивнее:
однако явных примеров максимального множества наука,
кажется, не ведает, несмотря на многочисленные
работы, им посвященные. При взгляде на подобное
сторонники финитизма должны биться в жутком
припадке и грызть на себе гениталии. Логически
рассуждая.

Обожаю всякую экзотическую математику.
Википедия замечательная штука, там подобного
дофигища.

Привет

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

Re: Раз уж зашёл, обозначу присутствие

tiphareth
2007-07-04 01:12 (ссылка)

>описывать свойства реально существующих объектов

Довольно двусмысленное заявление. "Максимальное множество"
из корневого поста ничуть не менее умозрительно, чем
какие-нибудь экзотические счетные ординалы. Или число Грэма.
Непротиворечивость математики, которая включает "максимальные
множества", столь же неочевидна, как непротиворечивость математики,
включающей числа Грэма.

Умозрительность ультрафильтров - явление более грубого
порядка, но природа этой умозрительности та же.

Я не выступаю за ультрафинитизм, но призрачность
объектов, с которыми мы имеем дело - печальный
факт, с которым приходится мириться. Следуя заветам
Бишопа:

"We are not contending that idealistic mathematics is worthless from the
constructive point of view. This would be as silly as contending that
unrigorous mathematics is worthless from the classical point of view.
Every theorem proved with idealistic methods presents a challenge: to
find a constructive version, and to give it a constructive proof."

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Раз уж зашёл, обозначу присутствие

http://users.livejournal.com/__gastrit/
2007-07-04 14:16 (ссылка)

> "Максимальное множество" из корневого поста
> ничуть не менее умозрительно, чем какие-нибудь
> экзотические счетные ординалы.

См. Х. Роджерс, Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость, §12.4. Почему конкретный перечисляющий алгорифм является "не менее умозрительным", чем доказательства чистого существования — сие для меня непостижимо.

> Непротиворечивость математики, которая включает
> "максимальные множества", столь же неочевидна,
> как непротиворечивость математики,
> включающей числа Грэма.

Поясняю свою позицию: мне плевать на непротиворечивость с высокой колокольни. За этим, пожалуйста, к Гильберту и Co. Для меня же главное — наличие конкретного, фактического, объекта исследования. В конструктивной математике таковой есть, в теоретико-множественной — нет.

> призрачность объектов, с которыми мы имеем дело -
> печальный факт, с которым приходится мириться.
> Следуя заветам Бишопа

Это ваш Бишоп, кстати, являлся в 1966 году на конгресс в Москву и пытался там договориться с Марковым. Кушнер описывает (http://cshistory.nsu.ru/obj2964/INTERFACE.htm), чем эта попытка окончилась. Бишоп поступил гениально: решил, как двухлетний ребёнок, побить пол, о который ударился (перестал замечать оказавшийся его слабой головке не по зубам soviet constructivism, как будто того вовсе не существует - очень достойный для научного работника поступок, нечего сказать!). Нашли же, на кого ссылаться и чьему мнению доверять!

С уважением,
Гастрит

(Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -