В Пенсильвании - местный Department of Transportation. Точнее - водительские права можно получить в ближайшем пенсильванском Drivers License center, доказав, что Вы там живете и, либо предъявив истекающие права (или права из другого штата) либо (если прав нет) сдав экзамен на вождение (при этом, предполагается, что у вас уже есть так назыаемый learning permit, для получения которого нужно сдать тест на знание правил дорожного движения).

И этот Department относится к полиции?

Нет, это одно из "министерств", отвечающее, в том числе и за строительство дорог. Естественно, оно взаимодействует с Highway Patrole. (Полиция в Штатах, в основном местная, хотя есть и state troopers.)