не бывает ничего бескоординатного, бес-координатный значит бес координирует.

характеристический многочлен -- неприрывная функция от оператора, и полупростые операторы плотны во всех, значит достаточно доказать только для полупростых.
а для полупростых это можно наблюдать непосредственно духовным оком:
коэффициент при t^k это k-ый элементарный симметрический многочлен от диагональных элементов со знаком, а след внешней степени диагонального оператора это тоже k-ый элементарный симметрический многочлен от диагональных элементов.

Это-то понятно, но это редукция. Тут может быть прямое рассуждение из свойств внешних степеней, что-то типа лямбда-колец, не знаю. Хочется чего-то такого.