Характеризация компактности (closed-projection characterization of compactness)
На ncatlab есть страничка [1] (и ещё страничка [2] на ту же тему), которая называется ``closed-projection characterization of compactness'', там доказывается следующая теорема:

Proposition 1.3. If X is a topological space with the property that the projection \pi : Y \times X \to Y out of the product topological space is a closed map for every space Y, then X is compact.

Меня немножко раздражало тамошнее доказательство (сейчас 12 октября 2024 года) --- странно, что там как бы замкнутые множества объявляются открытыми --- и сегодня, кажется, обнаружил чуть-чуть более приятную лично для меня переформулировку. Правда, использующую понятие фильтра.

upd. 2024-10-13 11.17 MSK. Ещё раз перечитал ссылку, которую сам же поставил, и обнаружил, что просто переписал тамошнее рассуждение с пространством фильтров вместо пространства ультрафильтров. Раз уж написал, оставлю, но скрою полный текст.

Детали

Определение 1 (Фильтр на множестве). Пусть X --- множество. Непустое собственное подмножество множества всех подмножеств в X, замкнутое относительно конечных пересечений и перехода к надмножествам, называется фильтром на множестве X.

Определение 2 (Пространство фильтров). Пусть X --- множество. Множество всех фильтров на X, которое мы будем обозначать через \Fil(X), снабжено топологией, заданной базой открытых множеств вида \{F \in \Fil(X) | S \in F\}, где S \subset X.

Наблюдение 1. Пусть X --- множество. Тогда образ канонического вложения \iota : X \to \Fil(X), переводящего точку x \in X в множество всех подмножеств в X, содержащих x, плотен.

Определение 3 (Предельные точки фильтра). Пусть X --- топологическое пространство, а F --- фильтр на X. Тогда элементы пересечения замыканий всех элементов F называются предельными точками F.

Наблюдение 2. Топологическое пространство X компактно тогда и только тогда, когда у любого фильтра на X есть предельные точки.

Теорема 1. Пусть X --- топологическое пространство. Если для любого топологического пространства Z проекция \pi: Z \times X \to Z замкнута, то X компактно.

Доказательство.
Пусть Z := \Fil(X), а \Gamma \subset Z \times X --- график канонического вложения \iota : X \to Z.
Пусть \Gamma' --- это замыкание \Gamma в Z \times X.
С одной стороны, \Gamma' состоит из пар (F,x) \in Z \times X, таких что x --- предельная точка F.
С другой стороны, \pi(\Gamma') содержит \pi(\Gamma) = \iota(X), а потому, по условию, \pi(\Gamma') = Z.

upd. 2024-10-12 22.04 MSK. Исправил мелкие опечатки.

[1]: https://ncatlab.org/nlab/show/closed-projection+characterization+of+compactness
[2]: https://ncatlab.org/toddtrimble/published/Characterizations+of+compactness

Tags: math