Топология на метрическом пространстве
Захотелось пографоманить на Новый Год.

На мой взгляд, c помощью следующей теоремы-определения и следует определять топологию на метрическом пространстве, потому что простая декларация открытых шаров открытыми --- это ad hoc.

\begin{theorem}
Стандартная (порождённая открытыми шарами) топология на метрическом пространстве --- это универсальная (слабейшая) топология, при которой расстояние непрерывно.
То есть, если $m: M \times M \to \R$ --- метрика, то существует универсальная (грубейшая) топология на $M$, при которой $m$ непрерывно.
\end{theorem}

\begin{proof}
Пусть на $M$ зафиксирована топология, для которой $m : M \times M \to \R$ непрерывно. Для каждого $x \in M$ у нас есть непрерывное сквозное отображение $M \leftrightarrow \{x\} \times M \subset M \times M \to \R$, где первая стрелка — естественный гомеоморфизм $M \ni y \leftrightarrow (x,y) \in \{x\} \times M$, а последняя стрелка — $m$. Относительно этого отображения <<открытые шары>> в $M$ с центром в $x$ радиуса $r$ являются прообразами открытых множеств $(-\infty, r) \subset \R$, следовательно, они открыты. С другой стороны, если мы возьмём на $M$ топологию, порождённую открытыми шарами, то $m$ будет непрерывно (стандартно).
\end{proof}

Tags: math