Китайская теорема об остатках
Китайская теорема об остатках в форме
R / \prod_i I_i \cong \prod_i R / I_i,
кажется, верна и для некоммутативных колец,
только нужно взять симметрическое произведение
идеалов (сумма произведений по всем перестановкам):
если в произведении
\prod_{i \neq j} (I_i + I_j) = R
раскрыть скобки, то каждый моном не будет
включать максимум один из I_i (моном не может
не включать I_i и I_j, так как нам нужно
забрать что-то из скобки (I_i + I_j)),
откуда получаем:
\bigcap_i I_i
=
(\bigcap_i I_i) \times \prod_{i \neq j} (I_i + I_j)
\subset
\prod^{sym}_i I_i
\subset
\bigcap_i I_i.

Tags: math