Настроение:	ditzy
Entry tags:	геометрия

Вопросы бывают интересные, и некоторые из интересных вопросов полезные. Полезный вопрос очень трудно сформулировать, особенно целенаправленно: ощущение того, что полезно а что нет, определяется прошлым, от которого будущее не зависит. Но пытаться можно, и если ты не совсем дурак, то когда хоть один вопрос, кажущийся полезным, удаётся сформулировать, это радует (что радует дураков, я не знаю). Так что попробую.

Будем называть сеткой связный граф, степени вершин которого либо три либо один. Будем называть вершину внутренним узлом, если её степень три, и внешним, если один. Множество внешних узлов будем называть границей. Функция на сетке есть функция на множестве её узлов. Функция называется гармонической, если её значение в каждом внутреннем узле равняется среднему арифметическому значений в трёх её соседях. Стандартная теорема состоит в том, что всякая функция, определённая на границе, является ограничением гармонической функции, притом единственной. Если x это внешний узел, то соответствующая функция u_{\delta_x} = u(y) определяется как сумма \sum_{i=0}^{+\infty}N_{y,x}(i)3^{-i}, где N_{y,x}(i) -- число путей длины i из узла y в узел x, не проходящие ни через какой другой внешний узел. Это очевидно просто из мысленного акта расписывания условия гармоничности в каждой вершине. Иными словами, это вероятность того, что случайное блуждание, начавшееся в узле y, впервые попадёт на границу в узле x. Это определяет вложение множества узлов в пространство вероятностных мер на границе, то есть правильный симплекс. При этом поскольку каждая из координатных функций гармонична, радиус-вектор каждого внутреннего узла при таком вложении есть среднее арифметическое радиус-векторов соседей. Геометрически это значит, что если изготовить сетку из пружин одинаковой жёсткости, и каждый граничный узел разместить в вершине тетраэдра, то универсальное гармоническое вложение реализуется как устойчивое положение такой конфигурации пружин. Это определяет на таком простом объекте как сетка сразу много геометрических структур: например, семейство метрик (ограничений L^p-метрик на пространстве мер на конечном множестве), или функцию энтропии. Ну можно было изначально конечно приписать веса рёбрам/жёсткости пружинам, и получилось бы какое-то преобразование на метриках (или даже семейство преобразований), но по-моему было бы не так красиво. (С другой стороны, так можно было бы ввести формально пружины нулевой жёсткости, и от странного комбинаторного объекта перейти к объекту гораздо более простому: именно, взвешенному полному графу. Но для этого нужно определить, что такое полный граф с краем, и в общем-то пока что ну его.)

Аналогичная картинка имеется для любой области: существует каноническое отображение из области в пространство вероятностных мер на её границе, переводящее граничные точки в атомарные меры, которое является универсальной гармонической функцией (сиречь всякая гармоническая функция получается ограничением линейного функционала на пространстве мер на образ данного вложения -- то есть, в данной точке, интегрированием какой-то фиксированной функции, определённой на границе, по мере, связанной с этой точкой). Можно конечно задаться вопросом о том, какие метрики получаются ограничением тех или иных метрик на пространстве мер (хотя эти вопросы мне не нравятся, потому что они изготавливают метрику из метрики, а не априорно, как изготавливается метрика Бергмана). Но это всё понятно. Что непонятно, так это следующее: почему гармонические функции на области хорошо приближаются гармоническими функциями на хорошо приближающей её сетке? В принципе, это совершенно неочевидно, и не потому что это трудно доказать (казалось бы, всё должно выводиться из теоремы о среднем), а потому что непонятны определения. Сетка вообще-то ничего не может приближать, потому что всякий комбинаторный объект тривиален; нетривиальными могут быть их семейства. А что такое семейство? Это какое-то счётное множество сеток, но с какими соотношениями между ними, которые бы позволяли переходить к пределу? Обязательно ли предел должен получаться римановым многообразием с краем, или теорема Дирихле верна для каких-то сущностей, нам пока неизвестных?

В том же духе теории конечных множеств, должно быть, следует переосмыслить всю геометрию. Взвешенными графами можно приближать римановы многообразия; замечательно, а чем можно было бы приближать комплексные многообразия? Как там приближать оператор \bar{\partial}?

Какой-то чудовищно бессодержательный 'полезный' вопрос у меня получился, голова не варит совсем. Не знаю, что так, вроде нормально же ем.