Настроение:	awake
Музыка:	Bad Sector - PLASMA
Entry tags:	math

Einstein-Weyl structures on complex manifolds
А я в Москве! Ура! Очень хорошо, да.

Выложили еще статью

Title: Einstein-Weyl structures on complex manifolds
Authors: Liviu Ornea, Misha Verbitsky

http://arxiv.org/abs/math.CV/0606309

A Hermitian Einstein-Weyl manifold is a complex
manifold admitting a Ricci-flat Kahler covering W,
with the deck transform acting on W by homotheties. We
show that a Hermitian Einstein-Weyl structure on a
compact complex manifold is unique, if it exists. This
result is a conformal analogue of Calabi's theorem
stating the uniqueness of Calabi-Yau metrics in a
given Kahler class.

Работа чрезвычайно красивая. Есть хорошо известное
понятие "локально конформно кэлерова многообразия", это
многообразие, накрытое кэлеровым, с группой
монодромии, действующей на накрытии гомотетиями.
Типа \C^2 без нуля, накрывающего поверхность
Хопфа S^3\times S^1 = \C^2\backslash 0/\Z.

Про такие многообразия все более-менее понятно,
по крайней мере когда группа монодромии изоморфна Z
и продолжается до голоморфного потока, тоже
действующего гомотетиями (это называется
"Многообразие Вайсмана"). Когда кэлерово
накрытие риччи-плоское, многообразие
а постериори получается вайсманово (это
теорема Годюшона, довольно трудная).
В этом случае наше локально конформно
кэлерово многообразие называется
"Эрмитово многообразие Эйнштейна-Вейля".
Структуры Эйштейна-Вейля (в размерности 4)
были изобретены Германом Вейлем, и люди в
этой области активно работают, а также
физики.

Сейчас эта деятельность получила мощный
толчок, связанный с сасакиевыми многообразиями.
Дело в том, что кэлерово накрытие вайсманова
многообразие всегда является конусом над чем-то
сасакиевым; таким образом, сасакиева геометрия
сводится к вайсмановой, и наоборот.

Сасакиевы многообразия наделены каноническим
одномерным слоением, фактор по которому
(если он существует) является кэлеровым
орбиобразием. Локально такой фактор всегда
существует, а глобально он существует только
если листы этого слоения компактные. Если
фактор есть, сасакиево многообразие называется
квазирегулярным, а если нет - иррегулярным

В прошлом году физики придумали много
примеров иррегулярных сасакиевых эйнштейновых
многообразий, и это было весьма неожиданно,
ибо в математике известна гипотеза Чигера-Тиана,
согласно которой таких многообразий нет, и в
эту гипотезу все верили много лет.
Очень интересно узнать, как все-таки
устроены многообразия Сасаки-Эйнштейна.

Оказывается, что вайсманово многообразие
является многообразием Эйнштейна-Вейля
тогда и только тогда, когда соответсвующее
сасакиево многообразие эйнштейново. Это,
в принципе, тоже хорошо известно.

Мы ж доказали, что структура Эйнштейна-Вейля
на любом комплексном многообразии единственна
(если существует). Это результат, параллельный
простой части теоремы Калаби-Яу (о единственности
метрики Калаби-Яу). Его аналог для многообразий
Сасаки-Эйнштейна неверен: на данном контактном
CR-многообразии может быть много метрик
Сасаки-Эйнштейна. Предположительно, они
все реализуются гиперповерхностями внутри
одного и того же компактного комплексного
многообразия вайсманова типа. Тогда наша
теорема о единственности структуры
Эйнштейна-Вейля должна переводиться
в результат о единственности эйнштейновых
метрик; примерно такой - все метрики
Сасаки-Эйнштейна на CR-многообразии
изоморфны, с точностью до CR-автоморфизма.
Аналогичный факт (теорема Мабучи-Бандо)
имеет место для метрик Кэлера-Эйнштейна
на многообразиях Фано; наша теорема,
вероятно, должна давать простое
доказательство Мабучи-Бандо.

Привет