Настроение:	hungry
Музыка:	Death in June -- Last Europa Kiss
Entry tags:	геометрия, геометрия/задача Каповича

Теорема типа Богомолова-Каповича для комплексных функций на окружности
oort спрашивает: если есть риманова поверхность с краем, состоящим из одной окружности, как выглядит пространство функций на крае, получающееся как ограничения голоморфных функций на поверхности? Например, для единичного диска это пространство Харди, то есть функции, имеющие в ряду Фурье ненулевые коэффициенты только при неотрицательных гармониках. Мы выяснили, что если на факторе пространства всех функций по константам ввести симплектическую форму \omega(u,v) = \int udv (легко видеть, что она корректно определена), то такое подпространство будет лагранжевым. Именно, пара голоморфных функций есть голоморфное вложение в \C^2, и ограничение голоморфной формы площади на образ тождественно нулевое. С другой стороны, его интеграл вычисляется по формуле Стокса ровно как вышеуказанный интеграл.

Занятно, что такая пара функций на границе уже определяет риманову поверхность однозначно: если есть две таких поверхности, то локально они представляют графики голоморфных функций, совпадающих на границе. Стало быть, по принципу единственности они совпадают локально, и из компактности римановой поверхности следует, что это одна и та же поверхность. Было бы интересно, если бы к примеру её род можно было бы определить аналитически в терминах этой пары функций (через связанные с ними операторы Тёплица -- если можно как-то определить паллиатив операторов Тёплица, не выбирая какого-либо подпространства, чтобы на него проектироваться). Есть какая-то похожая вещественная наука имени Арнольда, где по одной функции на сфере выясняется, каковы должны быть числа Бетти заполняющего его тела -- точно уже не помню.

Ну и вообще совершенно неясно, какие пары функций заполняются хоть чем-то, а какие нет. Казалось бы, большинство не должны заполняться ничем даже при условии лагранжевости.

Вообще геометрия пространства узлов в \C^2 небанальна: касательное пространство к узлу есть пространство сечений нормального расслоения, которое есть расслоение вещественно трёхмерных подпространств с ко-КР-структурой (то есть выделенным вещественным линейным расслоением и комплексной структурой на факторе по нему). Имеющееся на нём слоение (локальные листы которого -- пространства узлов, лежащих на голоморфной ленте, восстановленной через данный узел) имеет то свойство, что касательные вектора к нему суть сечения, лежащие в этом выделенном линейном подрасслоении. Если что-то можно сказать про это пространство, интересно, какая часть этого переносится на пространство узлов в K3-поверхности (когда никаких координат нет, а голоморфная форма площади есть). Впрочем это наверняка изучено вдоль и поперёк в теории струн.