| Элементарные топосы, монады и комонады |
[Dec. 21st, 2023|03:02 am] |
| [ | Current Mood |
| |  drained | ] |
| [ | Current Music |
| | Stolen Babies - Naught | ] |
 
Хотя, я давно не писал об этой части своей жизни, я продолжал изучать теорию топосов. Как видно из названия поста в этот я р решил поделиться своими успехами в изучении элементарных топосов. А именно потому, что именно эта тема раскрывается в 4-й и 5-й главе книги "Пучки в геометрии и логики" и поэтому я решил объединить их в один пост. Также я дополнительно прочитал главу про монаду в книге "категории для работающих математиков", потому что тут они начинают активно использовать. И хотя в книге про топосы все необходимые факты про монады тоже даются. Но во второй тут мне изложение показалась более педагогичным. Вообще, ее проще читать и она лучше написан, потому что в книги про топосы упражнения идут после очень длинных глав, и когда до них дойдешь, то тратить на них время уже не хочется. А вот книге про категории упражнения после каждой короткой секции. И на будущее, если будете писать учебники по математики, знайте, что второй вариант лучше усваивается. Я делаю это отступление, потому что, когда я учил теорию категорий и дошел до монад и комонад, мне эта тема показалась какой-то муторной и немотивированной. И я остановился. Ну чтож, теперь у меня мотивация разобраться с ними появилась. Еще скажу, что я уже встречался с алгебрами и коалгебрами а контексте абстрактной алгебры. Поэтому у меня есть предвзятость, что структура алгебры должна отображатьс алгебраические свойства объекта, а коалгебры — комбинаторные. И это могла повлиять на мой выбор примеров. Но реальность, конечно, сложней.
напомню, что Мак Лейн уже определил в первой главе элементарные топосы как категории конечно би-полные, обладающие экспоненциальными объектами и классификатором подобъектом. Но в червертой главе Мак Лейн совершает резкий поворот. Он рассматривает класс категорий, обладающих чем-то вроде внутренней теории множеств. Наличие этой внутренний теории множеств выводится из конечной полоны, наличия особого объекта "множество значениий истиности" Омега, и функтора P cопряженного с умножением на Омегу. Конечно, все элементарные топосы, и топосы Гротендика в частности, обладают внутренней теорий множеств! Поэтому говорят, что топосы это категории похожие на категорию множеств.
Такое описание топосов привело к мнению, распространяемого многими знаменитыми логиками(Белл, Голдблат), что целью теории топосов была аксиоматизация теории множеств. Но как показывает МакЛарти в своей статье "Use and Abuse of History of Topos Theory", это мнение глубоко ошибочно. Дело в том, что создателями теории элементарных топосов были Лавер и Тирни. И подходили они к этому делу не как логики, а как физики, потому что изначально они были именно физиками. И главной их целью было создать основания математической физики, свободные от теории множеств. МакЛарти пишет, что работа над элементарными Топосами началась с целью создания нового курса по топологической динамика. Поэтому апофеозом программы Лавера-Тирни нужно считать не результаты вокруг теории множеств, а синтетическую дифференциальную геометрию. Однако первые значительные результаты по синтетической дифференциальной геометрии относятся к 80-м годам, а описанный выше результат про теорию множеств относится к 60-м, и именно тогда логики заинтересовались топосами. Поэтому мы имеем дело со своеобразным академическим эффектом утенка.
Что же касается самой внутреней теории множеств, то она постепенно собирается из элементарных операций теоретико-категорных операций. При этом, само собой, все внутренние множества оказываются объектами исходной категории. Этот процесс мне очень напомнил начала теории вычислений, когда все возможные вычислимые функции, собирались из нескольких базовых операций. Или аксиоматичесеой теории множеств. Только тут вместо операций типа взятия инкремента или использования формулы для построения подмножества, за базовые операции берется построение конечных предельных объектов и и использование сопряженности функтора P. Поэтому нет ничего удивительного в том, что если взять эти операции вычислимыми, то мы получим теорию вычислимых объектов. На этой идеи стоят рекурсивный и эффективный топос, которые, кстати, являются примерами элементарных топосов не являющихся топосоми Гротендика. Но Мак Лейн о них не упоминает, поэтому я расскажу о них подробней как-нибудь в другой раз, когда напишу пост про синтетическую теорию вычислений.
Основным ингредиентом в доказательстве того, что любая категория с внутренней теорией множеств — элементарный топос, играет теорема Бека про монады. Вначале расскажу вам, что такое монады. Монада T на категории С это эндофунктор (T : C -> C), снабженные двумя натуральными трансформациями, умножением мю : T^2 -> T и единицей эта : id -> T. Комонада, это структура двойственная к монаде, где поворотом стрелок имеем ко-умножение дельта T -> T^2 и ко-единицу эпсилон T -> id. Наверное самым интересной фишкой монад является то, что каждой монаде T cоответствует целая категория T-алгебр. Но T-алгебры это не совсем алгебры в смысле абстрактной алгебры, а объекты категории C, например X, cнабженные структурными отображениями h : TX -> X, определенным образом взаимодействующие с морфизмами мю_X и эта_X. Для комонады T поворотом стрелок определяется аналогичная категория T-коалгебр.
Каноническим примером монады является монада List из программирования, которая сопостваляет множествам множества списков из их элементов, а отображениям отображения, действующая на списки поэлементно. Операцией мю в этой монаде является конкатенация списка списков, а единица эта — это создание списка из одного элемента. List-Алгебры это обычные алгебраические моноиды, то есть множества с одной ассоциативной операцией и единицей. Не знаю, какой пример комонады самый канонический. Но можно придумать комонаду на категории SET максимально похожую на List, назовём ее Str. Функтор Str cопоставляет множеству множество непустых cтрок из элементов этого множество. То есть, теперь Str(emptyset) = emptyset. А отображения этот функтор снова вычисляет поэлементно. Тогда ко-умножение это операция которая преобразует строку в строку правых хвостов, а ко-единица эпсилон возвращает первый элемент, голову. Str-коалгебры это леса из направленных деревьев с корнем, а их структурное отображения это операция "путь к корню". Интересней было бы получить категорию коалгебр деревьев, а не лесов. Этого можно добиться, например, так. Модифицируем комонаду Str как Str' для категории множеств с отмеченной точкой так, что Str'(X,x) это множество строк из элементов X не содержащих x. А отображения действуют поэлементно, но выбрасывают образы тех элементов, которые перешли в отмеченную точку.
Тогда операции определяются аналогично, но коединица от пустой строки это отмеченная точка. Тогда полученная категория Str'-коалгебр это действительно направленные деревья с корнем-отмеченной точкой. В этой конструкцию это точку можно интерпретировать как особый символ, типа конец строки '\0' в C. Другой интересный пример комонады не связанный с программированием это комонада джетов в синтетической дифференциальной геометрии. И Джет-коалгебры можно интерпретировать как категорию дифференциальных уравнений в частных производных.
При этом каждой категории T-алгебр (T-коалгебр) можно сопоставить пару сопряженных функторов, состоящих из очевидного забывающего функтора и функтора свободной T-алгебры (ко-свободной T-коалгебры) на элементе. А каждому сопряжению функторов соответствует монада и комонада. В итоге получается бесконечный круговорот концепций (ко)монада-(ко)алгебра-сопряжение в природе. В итоге возникает вопрос: какие в этом цикле неподвижные точки? Грубо говоря, сопряженные функторы, которые изоморфны забывающим из своих алгебр называются монадическими. Теорема Бека как раз дает условия для монадичности функтора. Но, когда люди говорят об этой теореме, надо учитывать, что у нее есть много версий: cлабая теорема Бека, грубая теорема Бека, вульгарная теорема Бека. И тут легко запутаться. МакЛейн как раз применяет слабую теорему Бека, что доказать слабую монадичность функтора P в категории с внутренний теорией множеств. А потом он использует эту монадичность, чтобы доказать, что такие категории являются элементарными топосами. Другая важная теорема в этом разделе это теорема Эйленберга-Мура. Она говорит, что если комонада и монада сопряжены друг-к-другу то их категории алгебр и коалгбр изоморфны. Все алгебраические категории (в смысле универсальной алгебры) являются алгебрами монад. Интересно, что категория компактных-топологических пространств тоже является категорией бета-алгебр, где бетой я обозначил функтор получаемый из компактификации Стоуна-Чеха, применяемой к множествам как-будто у них дискретная топология. Это интересный результат, потому что получается, что компактные Хаусдорфовы пространства похожи на алгебраические категории.
Давайте плавно вернемся к элементарным топосам. В результате акробатики с внутренней теорий множеств получается, что каждому топосу соответствуют целых две логики, а точнее алгебры Гетинга. Внешняя логика это алгебра подобъектов терминального объекта 1 в топосе, а внутренняя логика возникает на объекте-классификаторе подобъектов Омега, взятом как внутренняя алгебра Гейтинга. Вроде как эти логики должны быть изоморфными. Но внешняя логика для работы с ней требует внешней теории множеств, в то время как внутренняя не требует и может быть использована для построения математических теорий "под ключ". Так вот, если взять на внутренней алгебре-логики идемпотентный эндоморфизм, или модальность, j, cохраняющий конъюнкции и значения истинности, то мы можем получить оператор замыкания подобъектов в топосе. Поэтому получается, что мы как-бы вводим топологию на топосе, а морфизм j называется топологией Ловера-Тирни. Благодаря топологи Ловера-Тирни можно говорить о замкнутых или плотных подобъектах. Объекты топоса, для которых вложения любых плотных объектов индуцируют биекции между множествами морфизмов, называются пучками. И да, категория пучков над топосом снова будет топосом. И ее внутренняя аглгебра-логика будет состоять как бы из неподвижных элементов j (эквалайзер j и id). Только в отличии от случая с ситусами это будет не какая-то большая новая конструкция, а наоборот, подкатегория. В этой конструкции функтор шифификации это просто функтор сопряженный к функтору вложения подкатегорий.
Кстати, о ситусах. Довольно ожидаемо, но каждая топология Гротендика на ситусе задает топологию Ловера-Тирни на предпучках этого ситуса, так что в результате пучки для этих топологий совпадает. И аналогичное верно в обратную сторону. Другой довольно простой пример топологии Ловера-Тирни, который всегда под рукой это топология двойного отрицания neg neg. Фишка neg neg в том, что она превращает алгебру Гетенга наибольшую содержащуюся в ней булеву алгебра, также известную как алгебра регулярных элементов. И таким образом, строя для neg neg топос пучков можно получить "наибольший" булевый топос содержащийся в исходном. Например если взять пучки, на топологическом пространстве, то их внутренняя алгебра-логика в общем случае будет не-булевой и это будет алгебра открытых множеств исходного пространства.
Если ввести на пучках топологию Ловера-Тирни с помощью двойного отрицания, то можно построит топос пучков-пучков, внутренняя алгебра-логики которого будет булевой алгеброй открытых областей в терминологии Энгелькинга (регулярных открытых множеств), хорошо известная нам (мне!) по конструированию примеров в дескриптивной теории множеств и теории меры.
Я могу предложить, например такой пример: исходное пространство Евклидова, тогда гладкие функции это подпучек непрерывных. В этой топологии Ловера-Тирни замыкание гладких функций это множество непрерывных функций непрерывно дифференцируемых на открытом плотном множестве . То есть гладкие функции не замкнуты. Но гладкие функции плотны в гладких и почти везде дифференцируемых. И если мы возмем пучок-пучок, то любое отображение туда из гладких функций однозначно продолжается до отображения из почти-гладких функций. Как описать такие пучки-пучки, при том, что гладкость тут можно заменять на любое свойство? Я думаю, что получается что-то вроде модальности "почти везде".
Также Мак Лейн приводит другие способы конструировать топосы. Например, объекты топоса, на который действует внутренняя категория это всего топос. Вместо того, чтобы долго распинаться приведу пример. Например можно взять категорию топологических пространств. Тогда внутренняя категория это пара объектов: объект объектов и объект морфизмов. В категории топологических пространств можно взять объектом объектов произвольное топологическое пространство X, а объектом морфизмов пространство путей в X. Тогда начало и конец пути это соответственно домен и кодомен морфизма, и есть очевидные и композии и тождественный морфизм — константа. Это типа шаг к построению фундаментального группоида. А объекты на которые действует эта категория можно представлять как расслоения над X или этальное пространство. А действие этой категории это будет как движение вдоль пути в слои. Чтобы понять, что такое действие не тривиально, можно взять как X окружность, и представить, что мы действуем ей на спираль. Тогда в зависимости от ориентации движения (которые всегда можно описать как повернуть на t градусов) по окружности мы буде двигаться вверх или вниз. Проблемы с этим примером в том, что категории топологических пространств обычно не топосы.
В целом я не получил большого удовлетворения от чтения этих глав. Тут много работы и маленьких доказательств связанных с внутренней теории множеств топоса. Но интересных результатов не очень много, и большинство из них это версии тривиальных фактов из теории множеств для топосов. Еще тут очень мало примеров. Раньше я хвалил МакЛейна за обилие интересных примеров. Но теперь все примеры приходится придумывать мен самому. Например, в конце тут есть теорема что коалгебры над топосом будут топосом если команада сохраняет конечные пределы. Я уже обрадовался, что моя категория Str-коалгебр будет топосом. А я обрадовался, потому что топос деревьев это что-то нетривиальное. Но потом оказалось, что этой конструкцией пользоваться нельзя, потому что функтор Str не сохраняет конечные пределы. Но потом оказалось, что Str-коалгбры все же топос, но потому что это типа предпучки над ситусом из натуральных чисел. И каких-то примеров применения конструкций тут нет. Из нетривиальных фактов я смог использовать этот результат и теорему Эйленберга-Мура, чтобы доказать, что у монады List нет левого сопряженного функтора. Но может больше примеров будет в следующих главах. Потому что пока почти-что территория теории множеств, Ловера и Тирни. Может дальше будут больше интересных примеров, например торсоры. Но может быть я просто устал от стиля Мак Лейна. И я как раз достиг экватора его книге про топосы. Поэтому я думаю пока переключиться на смежную тему. Но у МакЛ ейну я обязательно вернусь. |
|
|
![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small}