Пес Ебленский [entries|archive|friends|userinfo] rex_weblen [ website | Наши рисуночки ] [ userinfo | ljr userinfo ] [ archive | journal archive ]

Links [ Links: | update journal edit friends fif tiphareth recent comments ]

Еще про топосы и логику [Sep. 27th, 2024|11:23 pm] [Tags | category theory, intuitionistic logic, logic, math, memuar, meta, news, planning, set theiry, sheaf theory, topos theory ] [ Current Mood | quixotic ] [ Current Music | THE MAD CAPSULE MARKET'S - Speak!!! ] Я хотел дальше сосредоточиться на Книге Белла. В некотором роде она представляет собой двойственное дополнение к Мак Лейну-Мурдяку. То есть, если в желтой книжке начинают с геометрических примеров, и постепенно мотивируя ими абстракции, приходят к логику, то Белл начинает с логики и постепенно приходит к все тем же пучкам. Основная идея Белла в том, что топосы являются моделями локальных теорий множеств, которые записываются на так называемых локальных языках. Что такое локальный язык кратко объяснить сложно, но он напоминает языки, используемые для теории типов. И я бы сказал, что это языки идеально подходящие для записи утверждений про топосы. Стиль Белла довольно сильно отличается от стиля Мак Лейна. Он очень педантичный с формальными доказательствами. Это может не всем понравиться. Тем не менее из-за обилия формализмов книга у Белла получилась куда более сжатой. И, кажется, что что делал Белл доказывает, что топосы — это не махание руками, а про операции с логическими формулами определенного вида. Я обратил внимание на то, что Белл уделяет в своей книге внимание модальным логикам. Строго говоря он рассматривает только определенный вид модальности, который я назвал бы равномерно ослабляющими идемпотентами. Про них можно думать как про модальности, ослабляющие значение правды. Например «иногда», «почти наверное»,«может быть»,«нельзя опровергнуть». Это не просто так, а потому что эти модальности полностью и однозначно соответствуют топологиям Ловера-Тирни. Поэтому получается, что вложения топосов моделириует теории множеств с такими модальностями. То есть такие теории множеств где можем сказать «элемент a принадлежит множеству В», а можем сказать « может быть, что элемент a принадлежит множеству B, а может не принадлежит, хуй его знает». Еще мне очень понравилось философское заключение у Белла (Белл был в значительной степени человеком с бэкгрундом в философской логике). Там он сравнивает теорию топосов с теорией относительности в физике. В его сравнении топосы (с объектом-натуральными числами) соответствуют разным инерциальным систем координат, а геометрические морфизмы заменам координат. И отсюда вытекает такая мотивация для интуиционистской логики, что типа правильно записанные законы физики выполняются во всех системах координат, то ностоящие математические законы должны выполняться во всех топосах, а это ровным счетом означает доказуемосость в инуиционалистской логике. Примерами утверждений, которые не выдерживают этот тест могут быть, например могут быть почти все утверждения про разные бесконечные кардиналы, потому что всегда можно найти такую «замену координат» где данный бесконечный кардинал будет счетным (обрушение кардиналов). Еще был приводит интересный пример с нестандартным анализом Робинсона. Там получается, что нестандартный анализ это функтор перехода от пучков над счетным бесконечным множеством к пучкам над компактификацией Стоуна-Чеха. Но к корректности этого утверждения нужно будет еще вернуться. Еще один мой должок — это теорема Жиру. Это теорема про то, когда категория является топосом Гротендика, то есть когда она эквивалентна пучкам на ситусе. У нее довольно громоздкая формулировка и длинное доказательство. Вот формклировка: категория является топосом Гротендика тогда и только тогда, когда выполняется шесть усовий, а именно 1) у категории есть все конечные пределы 2) у категории есть все копроизведения и они несвязны и устойчивы под пуллбэками 3) каждый эпиморфизм является ко-уравнителем 4) Каждое отношение эквивалентности задается морфизмами и допускает факторизацию 5) каждая точная вилка стабильно точна 6) Есть множество порождающих объектов. Поэтому, понятно, почему эту теорему Мак Лейн вынес в аппендикс. Правда ее можно упростить: элементарный топос является топососом Гротендика, когда у него есть порождающее множество и все копроизведения. В таком виде эта теорема мне больше нравится. У этой теоремы есть полезные следствие. Хотя бы ее можно использовать в другую сторону, чтобы пользоваться хорошими свойствами известного топоса Гротендика. Еще отсюда следует, что для топоса Гротендика можно выбрать не просто ситус, а ситус с уймой хороших свойств: конечноые пределы, экспоненцирование, счетные копределы, подобъекты и фактор-объекты. Что я планирую делать дальше? У меня есть кое-какие идеи, что дальше делать с топосами. Но я не уверен, что сейчас стоит писать про это здесь. В целом я устал от доказательств с коммутативными диаграммами, склеиванием пулбэков и сопряженными функторами. Но мне не перестало хотеться математики. Правда, теперь мне больше хочется чего-нибудь конкретного, типа водочки и картофанчика. P. S. Я добавил рубрикатор в верхнем посте. Или не рубрикатор, а типа оглавления блога, чтобы новым читателям было проще ориентироваться. Как вам? Пока там только математика, Берроуз, и некоторые относительно новые книжки. Но рубрикатор будет пополняться. Link 307 comments|Leave a comment

Геометрическая Логика [Sep. 22nd, 2024|07:10 pm] [Tags | category theory, intuitionistic logic, logic, math, memuar, sheaf theory, topos theory ] [ Current Mood | quixotic ] [ Current Music | Virgin Prunes - The Moon Looked,,, ] Значит так, геометрическая логика. Для того, чтобы мотивировать это понятие нужно вспомнить, что геометрические морфизму сохраняют не все формулы логики первого порядка, а только некоторые из них. Такие формулы называются геометрическими. Множество геометрических формул можно построить рекурсивно, используя атомарные формулы, операции конъюнкции, дизъюнкции, и квантор существования. Теории порождённые геометрическими формулами называются геометрическими. Например, любая алгебраическая теория является геометрическая. Но теория полей, которая не является алгебраической, будет геометрической. При этом нужно заметить, что в интуиционистской математике есть две разные формулировки теории полей, одна из которых будет геометрической, а другая нет. Во всяком случае, главное свойство геометрических теорий — это то, что геометрические морфизмы между топосами ограничиваются на функторы между моделями геометрических теорий в этих топосах. Потом Мак Лейн определяет категорию определимых объектов в топосе для модели М геометрической теории. Определимые объекты задаются символом типов X из соответствующего теории языка первого порядка с типами и геометрической формулой фи так, что все определимый объект имеет вид реализации для в модели M подмножества X, задаваемого формулой фи. Морфизмы в категории определимых объектов, это те морфизмы из исходного топоса, графики которых сами являются определяемыми объектами. Эта категория будет иметь все конечные пределы. Эта категория будет малой, если мы считаем, что исходный язык первого порядка с типами имеет исходное множество символов ограниченной кардинальности. Поэтому потом можно определить «определимый» топос, просто взяв пучки над топологией из эпиморфных семейств в категории определимых объектов. Эта топология будет под-канонической, то есть такой, что любой представимый функтор будет пучком. Следующая категория, еще более важна и одновременно с этим абстрактна. Это так называемая синтактическая категория. И она строится просто для геометрической теории. Ее объектами выступают классы эквивалентных геометрических формул, а морфизмами классы формул, которые задают графики. Это все определяется без отсылки к каким-либо топосам и моделям, но любая модель задает функтор реализации из синтактической категории в категорию определяемых объект. У синтаксической категории есть все хорошие свойства категории определяемых объектов. На синтаксической категории можно завести такую топологию Гротендика, что все функторы реализации будут сохранять покрытия. Так у нас получается синтаксический топос пучков над синтаксической категорией. Этот топос примечателен тем, что является классифицирующим для моделей соответствующей ему теории. Это на практики значит, что модели теории в топосе Т это то же самое, что непрерывные точные с лева функторы из синтаксической категории в данный топос T. Это довольно разумно, потому что, да, действительно модели как мы видели с самого начала, ведут себя как функторы. Этот результат сразу ведет к тому, что у каждой теории есть универсальная модель в таком вот синтактическом топосе. Тогда можно доказать, что если утверждение вида « Для любого x из X верно, что из фи от x следует пси от x&rauquo;, то это утверждение верно в любой модели. Комбинируя этот результат с теоремой Делиня, так как синтактический топос Когернетен, что если какое-то утверждение приведённого выше вида верно над категорией множеств SET, то оно верно в любой модели в любом топосе. Это очень мощный результат, потому что он показывает что истинность утверждений просто определенного синтактического вида, будет верна в любой интуиционистской логике. Мурдяк и Мак Лейн, получается, пишут что это результат один из самых значимых в теории топосов, потому что на нем они завершают свой учебник. Еще там есть аппендикс про теорему Жиро. Но этот результат про формулы относится к логике, и укрепляет впечатление, что основная забота теории топосов — это помогать логике. С точки зрении логики написан учебник Джона Лейн Белла. Вся геометрическая логика там вынесена в аппендикс, видимо, потому что дается без доказательств. В целом изложение там мне показалось довольно понятным. Может быть дело в том, что я устал от доказательств в стиле МакЛейна и Мурдяка. У меня остался вопрос как эта теория соотносится с форсингом в Топосах Гротендика. Напомню, что там элементы ситуса использовались как информация вынуждающая определенные утверждения быть верными. И в случае с синтакатическим топосом вполне естественно считать, что такая информация в явном виде состоит из классов формул. Интересно, можно ли утверждать, что любой топос Гротендика является синтактическим? Еще один вопрос, как устроена универсальная модель? Понятно, что это пучок над синтаксической категорией. То есть это функция которая сопоставляет классам формул множества. Мне кажется что это могли бы быть множества формул, которые «следуют» из любой в данном классе. Но отношение следования во внутренней логике топоса может быть более сложным, чем в обычной логике первого порядка. Еще одна тема, которой я не хочу заниматься, но которую надо упомянуть — это теория и практика Оливии Карамело "Топосы как мосты". И я так понял, ее идея в том, чтобы искать теории с общими классифицирующими топосами, и так находить скрытые связи в математике. Link 276 comments|Leave a comment

Топосы в Логике [Jun. 11th, 2024|11:20 pm] [Tags | category theory, general topology, intuitionistic logic, logic, math, memuar, set theory, sheaf theory, topos theory ] [ Current Mood | dorky ] [ Current Music | Echo And The Bunnymen - Crocodiles ] После долгого перерыва я вернулся к изучению теории топосов по книге Маклейна-Мурдяка. Следующая глава посвящена применяю топосов в логике. И мой финт, кажется, себя оправдал. Во-первых, знакомство с булево-значными моделями, действительно помогает лучше понять конструкции, связанные с форсингом в этой главе. А знакомство с локалями делает тривиальными, на мой взгляд, все алгебраические вопросы. При изучении булево-значных моделей я читал учебник Джона Лейна Белл. У него еще есть книга про топосы, обложку которой я привожу выше. Там упор на логику особенно сильный. А вот у Маклейна этот упор считается относительно слабым по сравнению, например, с Джонстоном. И, я хотел изначально перед тем как писать этот пост прочитать всего Белла. Но сейчас, я уже понимаю, что это — слишком много времени. А читать эти книги параллельно слишком тяжело. Поэтому я просто просмотрел Белла по диагонали. И может быть я вернусь к Беллу если мне захочется глубже погрузиться в категорную логику. Напомню, что в логической парадигме топосы рассматривают как математические вселенные, обладающее существенным подобием теории множеств. Маклэйн и Мурдяк начинают с этой темы. И разбирают, то как в топосах выражены разные более серьезные свойства теории множеств. Они используют многообразие топосов, чтобы доказать независимость гипотезы континуума и аксиомы выборы. Для гипотезы континуума используется структура знакомая по булево-значным моделям. Но язык доказательств совсем другой. А для аксиомы выбора используется конструкция знакомого нам Фрайда, когда пучки строятся на счетном ординале. То что было "частицами информации" в случае исходных доказательств теперь становиться пучками. Поэтому я предлагаю [довольно бессмысленный] лозунг "пучки = информация" для популяризации пучков. Дальше Маклэйн и Мурдяк для каждого топосы определяют особый язык, который называется языком Митчела-Бенабу. Это язык теории типов с кванторами, где в качестве типов выступают объекты исходного топосы. Тут подход мне показался довольно неформальным. Поэтому для тех, кто любит более формальный и педантичный подход к синтаксису, я рекомендую упомянутую выше книжку Белла про топосы. Там вместо языка Митчела-Бенабу авторы начинают с формального языка "локальной теории множеств". И моделями этой теории как-раз прекрасно должны выступать топосы. Когда язык есть, для него можно построить так называемую семантику Джояля-Крипке. На практике эта семантика очень похожа на форсинг, где в качестве информации используются объекты топоса (пучки) и морфизмы из этого объекта, которые символизируют подстановку значений в переменные логических формулах. При этом Крипке вообще не совсем категорщик, а скорее логиу и философ-аналитик в классическом смысле. И его интересовала создание семантики для интуционалистской логики (то есть логики без закона исключенного среднего). И его работа не касалась топосов. Но топосы могут реализовывать любую интуиционистскую логику. Поэтому в итоге получилось объединение имен Джоэля и Крипке. Для случая топоса Гротендика существует более простая семантика, которая просто называется семантикой пучков. Она тоже похожа на форсинг. Но там в качестве информации используются объекты ситуса на которых вычисляются пучки. Предлагаю придумать пример. Возьмем в качестве топоса совершенно классический пример пучков на евклидовом пространстве. Этот топос будет топосом Гротендика, а его ситус — открытые множества с включениями в качестве морфизмов. Тогда типы в соответствующем языке — это, например, непрерывные функции, гладкие функции, дифференциальные формы, тензоры и так далее. Разрешенные предикаты — это свойства которые всегда выполняются "локально", например гладкость. Вычисление предиката всегда выдает в качестве результата не 0 или 1, а открытое множество. В итоге имеем не-аристотелеву, не-булеву логику. В качестве предиката на гладких функций, можно например взять "является решением (не)линейного дифференциального уравнения". Такие дифференциальные уравнения задаются дифференциальными операторами, которые сами образуют пучок. В итоге, используя кванторы можно задавать на языке Митчела-Бенабу сложные объекты типа этих ваших пфаффианов. Условия форсинга в семантики Джояля-Крипке могут например выглядеть как "x ведет себя гладко в окрестности V". А для форсинга пучков просто как "наблюдаемая переменная находится в некой окрестности". Чем меньше окрестность, тем больше информации. Мне кажется, что даже тут, на простом примере, мы можем видеть потрясающую вещь, как теория топосов помогает установить связь между такими разными областями математики как дифференциальные уравнения и логика. Скажите, чего тут интересного? Понятно, что все условия связанные с гладкостью и дифференцированием могут быть записаны логически. Но тут мы видим связь с неклассической логикой, которая раньше не была очевидна. Также язык Митчела-Бенабу может быть использован для того, чтобы конструировать в топосе объекты из других разделов математики. Мне нравится в этом отношении думать про топос как завод, которому можно дать чертежи на формальном языке, и он собирает по ним кусок теории. Но логики топоса в общем случае интуциолналистская, поэтому безусловно верными оказываются только интуционалистсуки доказанные теоремы. Если топос булев, то есть его классификатор подпространств оказывается внутренней булевой алгеброй, то там можно собирать любые классические теории. То есть в этом плане булев топос как завод более полезен. Только после того, как я это осознал, я понял истинную важность инстуционалистской логики, как логики "заказов" для произвольного топоса. До этого я считал интуционализм каким-то барским капризом. Типа "не хочу закон исключенного третьего и все". В качестве примера такой конструкции Маклейн и Мурдяк собирают действительные числа в топосе пучков на топологическом пространстве, используя сечения Дедекинда. Удивительно, но в итоге получается просто пучок непрерывных действительно-значных функций. Кажется, это означает, что все утверждения верные для таких интуицоналистских действительных чисел должны быть верны для непрерывных функций в классической математике. Например, отсюда мы получаем, что даже такая простая теорема, что ограниченная монотонная последовательность имеет предел не верна в интуиционализме. Также на специальном ситусе из открытых подмножеств евклидовых пространств с непрерывными функциями в качестве морфизмов, конструируются интуиционистские действительные числа, на которых любая функция непрерывна. Это теорема Брауэра. Поэтому кажется, что для действительного анализа лучше подходят булевы топосы. И мы действительно уже видели булево-значный анализ, где действительные числа конструируются как измеримые функции, и как самосопряженные коммутирующие операторы на гильбертовом пространстве. Кажется все эти примеры братья из одного ларца. Касательно бессмысленного лозунга "Пучки — это информация." Мне кажется, что было бы правильно говорить, что информация это объекты ситуса. А пучки это "правильные способы интерпретации информации" или способы получения знаний. Причем правила задает структура ситуса. Знания выражаются в виде множеств возможных миров. Чем больше знаний, тем меньше множество. То есть в какой-то безумной интерпретации можно думать о непрерывных функция как возможных мирах. но я не додумал. В целом чистая логика и основания математики меня не так сильно интересуют сам по себе. А если интересуют, то как способ генерации примеров. Поэтому дольше с этой темой я задерживаться не хочу. Пойду разбирать Маклейна до конца. Link 63 comments|Leave a comment

Булево-Значные Модели и Форсинг [May. 12th, 2024|09:58 am] [Tags | boolean algebra, information, logic, math, physics, probability theory, quantum mechanics, set theory, theoretical physics, topos theory ] [ Current Mood | anxious ] Я уже писал про эту книгу раньше примерно полгода назад. вот: https://lj.rossia.org/users/rex_weblen/195479.html Как изменились мои планы в ее отношении за это время? Я решил почти все выкинуть из рассмотрения, кроме начал форсинга и булево-значного анализа. Причем, серьезно, "с ручкой в руках" я разбирал только эти начала форсинга, потому что про булево-значный анализ у самого Белла написано весьма неформально. Я все же хочу прочитать про форсинг тут, чтобы понять классическую идею форсинга перед тем как знакомиться с ней в контексте категорной логики. А форсинг — это вообще часть цепи того, что заставило обратить меня внимание на логику. Но особой любви к аксиоматическим основаниям математики и доказательствам независимости аксиом у меня нет. Поэтому много времени на это я решил не тратить. Булево-значные модели это модели ZFC, которые конструируются таким стандартным образом: берется какая-то готовая модель теории множеств V и полная булева алгебра B из V, и рекрсвно cобираем части булево-значной модели. Начинаем с пустого множества. Потом берем все функции из того, что было на прошлых этапах в B и добавляем их в модель. В итоге получаем, что все множества новой модели устроены как B-значные функции от B-значных функций. И если некий элемент лежит в области определения такой функции, то принадлежность этой функции-множеству, это просто значения этой функции. Развивая эту идею, мы получаем операцию вычисления утверждений на языке теории множеств со значением B. Это похоже в некоторой степени на нечеткую логику c B-значной истинностью. Но это скорее создатели аксиоматической нечеткой логики украли тут эту идею у нормальных математиков. При этом в новую булево-значную модель можно вложить старую. При этом там также будут смеси всех объектов с весами из B. То есть, можно взять математические объекты совершенно разной природы, например число 4 и топологическое пространство тор, и построить новый объект, который на половину будет числом 4, а на половину тором. После определенной работы получается доказать, что новая модель действительно модель теории множеств ZFC. Форсинг начинается с того, что берется базиc P алгебры B, то есть плотное подмножество. Про P можно думать, что это кусочки информации, которые что-то сообщают нам о нашем мире. Так как такая информация не может быть противоречива в P нет 0. Можно представить себе, что каждый элемент p дает нам информацию о множестве возможных миров. И два элемента P называются несовместными, если не бывает третьего элемента информации который объединял две предыдущих элемента информации. Пример, который возникает у Белла P — это конечные бинарные последовательности, а B — это алгебра регулярных открытых множеств декартова произедения множеств {0,1}. То есть мы представляем, что мир является бесконечной бинарной последовательностью а мы получаем информацию о конечном значении нулей и единиц. А про B можно думать как про алгебру множеств возможных миров. То есть получается, что булево-значная модель — это такой мультиверсум множеств. Я не знаю как правильно перевести форсинг на русский язык, потому буду говорить, что информация p форсит факт, если этот факт имеет место в любом мире, который допускает информация p. Коэн придумал форсинг, что доказать независимость континуум гипотезы. И я решил разобрать это доказательство, не потому что мне очень интересен сам этот результат, а то, как в доказательстве используется форсинг. Само доказательство строятся на том, что строятся две булево-значные модели типа тех, что описаны выше, но одна из них счетная, а другая нет. И в первой гипотеза континуума выполняется, а во второй нет. И форсинг обычно используется так, что когда требуется доказать, что какой-то факт никогда не выполняется, то предполагается обратное, то есть, что этот факт иногда выполняется. Тогда существует информация p, которая форсит этот факт. И эту информацию можно дополнить так, чтобы прийти к противоречию. Меня теперь интересует вопрос насколько форсинг связан с семантикой возможных миров Саула Крипке. Но чтобы найти на него ответ следует проводить дальнейшее исследования. Намного в большей степени чем доказательства независимости в теории множеств мое воображение взволновал булево-значный анализ. Идея в том, что действительные числа в булево-значных моделях, например, определенные как сечение Дедикинда, могут соответствовать каким-то "большим" коммутативным алгебрам над действительными числами. Например, если взять алгебру меру, то действительные числа будут эквиваленты измеримым функциям факторизованными по отношению "равно почти наверное". Можно узнать тут случайные величины. И идею булево-значного анализа в том, что все теоремы доказанные для действительных чисел можно перенести на алгебру случайных величин, конечно с некоторыми механическими модификациями. В это, собственно ничего удивительного нет, так как случайные величнины — это величины. А вот другой пример более интересный. В (комплексном) гильбертовом пространстве можно рассмотреть алгебру замкнутых линейных подпространств. Это будет ортомодулярная решетка. Каждому подпространство соответствует единственный проектор, и алгебра порождаемая коммутирующими проекторами будет полной булевой. И соответствующая булева алгебра в качества действительных чисел будет иметь какую-то алгебру коммутирующий самосопряженных операторов. Интересно тут то, что такие операторы соотваетствуют измерениям в квантовой механике. А то, что они коммутируют означает, что измерения могут быть произведены совместно. Это достаточно логично, потому что измерения — это числа. Давис использует эту теорию для того, чтобы разрешить парадоксы Эйнштейна-Подольского-Розена и паражокс эксперемента с двумя шелями. Например ситуация с одно и двумя открытыми щелями соответствует разным булево-значным моделям, поэтому парадокса тут нет. Вот такое вот приложение логики к физике. Не знаю исчерпан ли ныне потенциал булево-значного анализа. Более подробно про это есть две книжки авторов Кусраев и Кутуладзе. Link 157 comments|Leave a comment

Логический Атомизм [Feb. 25th, 2024|03:46 am] [Tags | analytic philosophy, bertrand russell, logic, logical atomism, memuar, philosophy, philosophy of mathematics, physics, psychology ] [ Current Mood | sick ] [ Current Music | Spiritual Front - The Queen Is Not Dead ] Зебра на обложке намекает на связь со спутником Valis Кроме собственно лекций в этой книге есть еще более поздние статьи Рассела. Там многое проясняется. Еще хочу очень не похвалить перевод. Интересной мне показалась статья 1924 года "логический атомизм". Там большое внимание уделяется взаимодействию логику и психологии. И в качестве оппонентов Рассела выступают американские утилитаристы с их бихевиоризмом. Их главная идея в том, что научно можно изучать только поведение человека. Я уже про это писал. Но Рассел тут пишет интересную вещь, что "личность человека является вымыслом в той же степени, как сила в физике являются математическим вымыслом". Если считать, что центральной идеей пост-модернизма было отрицание картезианского Я, то мы уже видим, как тут оно происходит. Не нужны никакие французские пост-структуралисты и фрейдо-марксисты. С другой стороны, нужно прояснить, что значит быть фикцией как сила в физике. Как я уже писал, из эмпирического опыта выводится только кинематика, то есть траектории движения тел. Причины движения или неподвижного положения объектов нам в опыте не даны. Но физики постулируют действия сил, привлекая необходимые концепты из математики, добиваются больших практических и научных результатов. Это известно еще со времен Ньютона. Точно так же наблюдая движения масс людей, можно постулировать у них личности, чтобы объяснить эти движения. Получается, что личность — это вполне законный объект психологии и социальных наук. Эту аналогию, можно интересно развивать в двух направлениях. С одной стороны отсюда следует, что личность имеет ту же категорию, что и математические объекты. Но Рассел, кажется, не был наивным платоником. Скорее всего он сказал бы, что эта категория называется логический вымысел. В этом нет ничего унизительного для психологов и математиков, а также для личностей и чисел. Это просто значит, что работа математика похожа на работу драматурга, составляющего драматические произведения по определенным законом драмы. Также это объясняет странные результаты многих психоаналитиков, а именно то, что в каком-то смысле они заставляли пациентов играть те драмы, которые для них создавали. С другой стороны можно развивать и теорию личности в том направлении, в котором развивались физика. Например, перейти от концепции точечной личности к социальной теории поля. Или к личности как волне, когда при столкновении двух личностей наблюдается лишь незначительная часть потенциала. Все это говорит, я думаю, о большом потенциале так называемой пост-модернистской философии и пост-модернистских методов в социальных науках. Подобная идея личности распределенной во времени и пространстве была и у Филипа Дика. Link 14 comments|Leave a comment

Философия Логического Атомизма [Feb. 4th, 2024|10:35 am] [Tags | analytic philosophy, bertrand russell, logic, logical atomism, memuar, philosophy ] [ Current Mood | sleepy ] [ Current Music | David E. Williams - Banana Peel Slips on Itself ] Зебра на обложке намекает на связь со спутником Valis Я давно хотел познакомиться с философскими текстами Бертранда Рассела. Во первых, это классика философской логики. Во вторых, я хотел бы сравнить идеи логического атомизма в изложении Рассела с тем, что я уже читал у Витгенштейна. В третьих, как я надеюсь показать, логический атомизм через пропаганду Коржибского становится основой магического мышления Уильяма Берроуза. Бертран Рассел был мастером "малой формы" в философии и не оставил нам больших трактатов подобных "das Kapital" Маркса или "Мир как воля и представление" Шопенгауэра. В основном, то у нас есть для изучения это статьи или записки лекций. Вот и "философия логического" это 8 лекций прочитанных в 1918 году, когда связь с Витгенштейном была все еще прервана из-за первой мировой войны. Причем, приводятся и вопросы с комментариями слушателей. Это делает "философия логического атомизма" похожей на блог, хотя я не сказал бы что эти комментарии прям очень важные и интересные. Первое на что я обратил внимание, это что тут свои взгляды Рассел излагает в очень гибкой и нечеткой форме. В этом его контраст с "Логико-философским трактатом" Витгенштейном. Грубо говоря, тут почти ничего не утверждается кроме вопросов связанных непосредственно с логикой и с историей вопроса, хотя Рассел и касается разных философских вопросов. Поэтому мне кажется, что логический атомизм это не какое-то цельное философское учение, а метод философствования, который Рассел развивал в это время под влиянием Витгенштейна. Мне кажется, что этот метод состоит из следующих компонент: картезианское сомнение, бритва Оккама; идея, что мир состоит из отдельных объектов-индивидов; идея, что существуют факты, то есть отношения между индивидами. И то что отношения определят истинность высказываний. Комментарии к лекциям говорят, что основным направляющим импульсом была борьба с неогегельянцами. Причем, речь идет не столько о диалектики, сколько о взгляде, который называется "монизм". "Атомизм" это именно то, что противопоставляется "монизму", а именно идеи, что реально существует только один объект, скажем, мир как мир. А множество объектов возникает как некая ошибка мышления или иллюзия. С другой стороны из Монизма следует например, что мир познает сам-себя и это обосновывает диалектику и однонаправленность истории. И это все идеи с которыми борется логический атомизм. Идеальный логический язык Довольно рано в лекциях Рассел вводит идею гипотетиского идеального логического языка (ИЛЯ). Максимально приближенным к таковому он считает язык своей Principa Mathematica. Рассел считал, что в трудах по логики у Витгенштейна речь идет о создании ИЛИ, подобного языку Принкипии, и писал об этом в предисловии к Логико-Филосфскому трактату. Но сам Витгенштейн в последствии высказался, что такая интерпретация не верна. Главной особенностью такого языка должно быть полное отсутствие какой-либо нечеткости в смысле слов и какой-либо зависимости от контекста. Это должно приводить к тому, делает вывод Рассел, что если бы у людям был доступен ИЛЯ, то у каждого он был бы индивидуальным, сформированным под влиянием личного опыта, и скорее всего люди, говорящие на таких языках, не смогли бы понимать друг-друга без переводчика. Хотя, кажется что идеальность языков должна гарантировать возможность такого перевода Возможно, именно эта позиция Рассела привела Витгенштейна к критике идеи индивидуального языка в "Философских исследованиях". Интересно, но в ИЛЕ у Рассела нет места переменным, то есть именам нарицательным. Есть только имена собственные, которые для того, чтобы соответствовать требованиям ИЛЯ, должны содержать о себе всю информацию о называемом объекте. Он говорит, что назвать значит знать. И в качестве иллюстрации приводит библейскую легенду про то как Адам называл животных. Но Филип Дик во "всевышнем вторжении", напомнил мне, что когда Адам называл животных он не просто узнавал их, а получал над ними власть. Мне все это напоминает cоздание переменных в программирование. То есть, Адам создавал переменные со значением животных. То тогда слово "Корова" это просто название переменной, а ее значения, а именно имя по Рассела, это полное описание самки вида Bos taurus taurus, либо по внешним признаком, либо сразу ДНК. Поэтому мне кажется, что в ИЛЯ все таки могут быть переменные, хотя они должны использоваться и не так как в обыденном языке. Но сложность тут в том, что тогда пользователь может сказать "назовём a x" и "назовём a y" и нарушить идеальность языка. И вообще, ИЛЯ мне представляется этаким языком программирования, но для описания реальности, а не для управления компьютером. Типа Domain Specific Modelling Language (DMSL), но без Domain и Specific. Cовременная логическая наука, что для получения практического результата необходимого ограничиваться определенной областью применения. Но во времена этих лекций, этого результата еще не было. Вообще интересно было бы узнать как работы логиков а начале 20-го века повлияли на синтаксис современных языков программирования. Но это отдельный вопрос, и у меня на него нет ответа. Понятно, чему соответствует высказывания у Рассела в современной матлогики, а именно синтаксическим структурам логических языков. Но эти языки не идеальными, потому что в них можно записать разным способом тавтологически-эквивалентные высказывания. А факты это модели, то есть отображения синтаксических конструкций в значения истинности, типа true или false. Но это все в целом. В этом отношении не совсем понятно, что такое объекты-индивиды и атомарные факты, о которых говорит Рассел. Но возможно, им можно сопоставить какие-то элементарные классы моделей или атомы алгебры Линденбаума-Тарского. Поэтому, мне не кажется, что идея ИЛЯ, такая уж хорошая. Но ослабление свойств ИЛЯ, как я попытаюсь показать, мало что меняет в логическом атомизме. Анализ Дальше Рассел постулирует возможность анализа высказываний в ИЛЯ, то есть разбиение их на составные части. Интуитивно кажется, что в конце мы должны получить атомарные синтактические элементы, которые должны напрямую соответствовать фактам. Но Рассел сам же говорит, что он отрицает возможность бесконечного анализа. Получается, что он просто говорит о рекурсивной природе логического синтаксиса, что есть неоспоримый факт. Но структура ИЛЯ делает анализ тривиальным. И там можно ожидать, что процесс анализа всегда остановится. Но мне кажется это верно и для всех формальных логических языков. Определенный вопрос в том, чем именно должны быть атомарные пропозиции. Изначально кажется, что это могло-бы быть все что угодно в зависимости от контекста. Но в последствии из хода лекции становится понятно, что речь идет об отношениях соответствующим данным, получаемым в ощущениях (sense data). Такой интерпретации логического атомизма придерживается финский философ Яакко Хинтикка. То есть смысл утверждений может разворачиваться пока мы не упремся непосредственно в нечто, доступное в ощущениях, типа цвет или вкус. Поэтому важнейшими составляющими языка логического атомизма становятся слова "то" и "это". Первый раз, когда я столкнулся с этой философией мне казалось, что с этим можно спорить. Но в какой-то момент, когда я изучал Витгенштейна, я понял что логический атомизм не оспорим при двух условиях: 1) речь действительно идет о sense data 2) мы живем в цифровом мире. Тогда бы пропозиция "это красное" путем анализа редуцировалась бы к пропозициям типа "пиксель с координатами (n,m) имеет такой-то бит в таком-то месте rgb кодировки цвета". И такие высказывания действительно нельзя редуцировать и их значение однозначно и неоспоримо. И такая философия абсолютно оправдана если бы мы жили в виртуальной реальности или были роботами. В теории можно было бы заменить значения битов в цифровой записи на активацию не активацию определенных нервных связей в теле человека. Но это только показывает насколько естественный язык, в котором слова напрямую не соответствуют состояниям нервной системы, далек от языка нужного логическому атомизма. Если принять на вооружения, что ИЛЯ говорит именно о Sens Data, то становится понятно, почему разные люди будут иметь разные ИЛЯ. Просто потому, что их чувственный опыт отличается. Бертран Рассел: Аристотель пидорас Но если мы увидели, что почти никакие существительные из естественного языка не будут именами в ИЛЯ, то встает вопрос, что же соответствует этим существительным в ИЛЯ? Рассел говорит по сути, что им соответствуют, множества. Он разделяет два типа множеств: дескрипции и типы. Дескрипции это по сути множества из одного элемента. А типы это, грубо говоря, почти тоже самое что обычные множества, хотя дескрипции более фундаментальны для Рассела. Именно использование теории множеств в философии отличает его от предшественников. Типы определяются в иерархию, так что каждый тип может быть определен только с помощью типов более низкого уровня. Это позволяет разрешать разные парадоксы. И Коржибский повторяет эти аргументы почти без изменения. Интересно, оказывается бурную дискуссию вызвала идея Рассела ос существовании отрицательных фактов. Мне кажется, что этот вопрос бессмысленный, потому что кажется, вопрос об отрицательности связан только со значком отрицания neg в записи пропозиции. Но если ИЛЯ все пропозиции имеют однозначную запись, и каждой пропозиции соответствует один возможный факт, то должны быть и отрицательные факты. С другой стороны, кажется, ИЛЯ невозможны. С другой стороны, Рассел показывает, что неаккуратное использование отрицание в естественном языке может привести к сложностям при попытке их формализовать. Например, учитывая теорию дескрипций, утверждение "король Франции лыс" будет ложным, потому что короля Франции нет. А значит его отрицания будет ложным. Но его отрицание не "король Франции не лыс", так как "король Франции не лыс" тоже ложно по той же причине. Но все я это вам не так просто рассказываю. Дел в том, что потом Рассел говорит, что Аристотель пидорас! А дело в том, что Аристотель придумал силлогизм по модусу Drapati: "Если все A B, и все A C, то некоторые B C". Но если выразить это через теорию множеств, то получится "Если два множество содержат общее подмножество, то их пересечение не пусто". Но это неверно, потому что любые два множества содержат пустые множества. И если бы модус Drapati работал, то мы доказали бы что все множества имеют непустые пересечения, что неверно. Рассел говорит, что таким образом пидорас Аристотель сильно задержал развитие логики. А все дело в том, что Лейбниц много раз пытался придумать матлогику, но каждый раз, когда он упирался в то что модус Drapati не работает он бросал это дело, потому что думал, что ошибся! Метафизика Свои идеи Рассел предполагает применять для развития метафизики. Первая большая идея, которая появляется в этих лекция это идея нейтрального монизма. Идея нейтрального монизма заключается в том что мир в равной степени имеет и материальное, и идеальное начало. Такую идею высказывали американские прагматизмы и физик Мах числе. И в этом случае мир состоял бы из тех самых Sense Data. Бертранд Рассел говорит, что ему нравится нейтральный монизм, потому что это соответствует принципу бритвы Оккама. С его точки зрения принцип Оккамы хорош, потому что он позволяет минимизировать количество ошибок. Также с его точки зрения нейтральный монизм связан с идеей американских прагматиcтов об эпистимических модальностях. Грубо говоря, это утверждения типа "A знает, что P". Так вот американские прагматисты, Джон Дьюи и Уильям Джеймс, пришли к выводу, что эти утверждениям соответствуют факты поведения человека. То есть, например, если я не пытаюсь убежать из здания, то высказывание "Я веря, что вокруг меня пожар" не верно. А состояние моего разума совершенно не важно. Такая позиция называется бихевиоризмом, и она в дальнейшем развивалась с подачи Рассела в логический бихевиоризм венским кружком. Рассел предполагал, что почти все затруднения в метафизики связаны с неправильным использованием языка. Но это же метод мог бы быть применен и к другим наукам, например физике. То есть надо было провести анализ. Выбрать минимальное число аксиом и неопределимых терминов. Чем меньше аксиом и неопределенных терминов тем меньше степеней свободы и возможностей для ошибки. Такой анализ физики похож на что-то что было в моем посте про кинематику. И к подобному подходу вербатим призывает и Коржибский. Другой интересный момент связанный с метафизикой это то, что Рассел утверждает реальность любой sense data. В числе снов, видений и галлюцинаций. Например, то что Кроули говорит с Айвассом, делает Айваса реальным. А когда люди говорят, что что-то нереально это просто выражение недовольство, что какие-то sense data плохо скоррелированы с неким, принадлежащем им", внутренним стержнем представлений у мире. Кажется, все это вполне легитимизирует магика и прочий психодел. Когда Уильям Берроуз писал в Голом Завтраке, что он агент фактуалистов, он имел в виду именно последователей такой философии, типа логического атомизма. И такое отношение к фактам делает книги Берроуза с точки зрения его же философии практически документальными отчетами, состоявшими из фактов. *** Вместо заключения я просто приведу одну цитату: Я сказал бы к тому же, что для тех, кто имеет какой-то вкус к математике, для тех кому нравятся символические конструкции, этот тип мира [мир аналитической философии] является весьма восхитительным, и если вы не находите его привлекательным в других отношениях, всё, что необходимо сделать, - это приобрести вкус к математике, и тогда у вас будет очень приятный мир,... Link 35 comments|Leave a comment

Science and Sanity [Dec. 29th, 2023|08:51 pm] [Tags | general semantics, history, logic, philosophy of mathematics, physics ] [ Current Mood | drained ] [ Current Music | Death in June - Rose Clouds of Holocaust ] Первое издание 1933 год. Общая Семантика и Гитлер Кроме основного текста под обложкой Science & Sanity я нашел три приложения: Логика Относительности: довольно простой популярный текст математика Р. Д. Кармайкла. В ней он вводит что-то вроде аксиоматической физики или механики и доказывает, что классическая механика не может быть верна если скорость света постоянна для всех инерциальных систем отсчета. Теория Типов: Статья философа П. Вайса про теорию типов Принкипии Математики Рассела и Вайтхеда. Эта статья предполагает определенное знакомство с системой Принкипии, поэтому мне она показалась несколько более сложной для понимания. Основная идея заключается в невозможности создать универсальную теорию типов, и что для каждой области применения нужно создавать свою. Не-Аристотелевская система и её необходимость для математики и Физики: Это уже статья самого графа Коржибского. Тут довольно аккуратно, тезисно выложены его идеи касательно философии Физики и математики. Так как вся книга Science & Sanity сама по себе очень длинная, я бы рекомендовал читать только эту статью и может быть введения к разным издаениям. И это будет не очень долго, а всеми полезными идеями можно будет ознакомиться, как мне кажется. В этой статье Коржибский выделяет пять современных школ философии математики: 1) Логицистов (Рассел, Пеано, Вайтхед) он относит к Хрисипповой щколой 2) Последователей Гильберта, Формалистов он относит к Аристотелевской Школы 3) Интиуционалистов (Бауэр, Вейль)он называет не-хрисипповоской школой. 4) Польских Логиков (Лукашевич, Тарский) Коржибский относит к анти-аристотелевской школе из-за их интереса к многозначной логике 5) Прикладные математики это так называемая "школа христианской науки", потому что там просто верят, что математика работает. Он сам предлагает создать новую философии математики, которая будет учитывать принципы многозначности и психо-логики, и будет основанной на многозназначной интиуционалистской логики. Тут же приводится знаменитое рассуждение Коржибского про карту и территорию: A) Карты могут иметь структуру похожую или не похожую на территорию. B) Похожие структуры имеют похожие "логические" характеристики... С) Карта не территория D) Идеальная карта будет иметь в себе карту карты, карту карты карты..., и так бесконечно... Это можно назвать само-рефлексией [интересно, что это принцип хорошо компонуется с увлечением логиков рекурсией после Гёделя]. Коржибский пишет, что наш язык тоже нужно воспринимать как карту предметной области. На основании сравнения с картой он выдвигает четыре тезиса: A) Языки имеют структуры, поэтому могут быть языки с элеметалисткой [булевой] структурой, например: "пространство" и "время", "наблюдатель" и "наблюдаемое", "душа" и "тело", "чувства" и "разум", "интелект" и "эмоции", "логика" и "интуиция"..., которые позволяют вербально разделять [сущности]. Или можно иметь не-элементальные [не булевы] языки, такие как "пространство-время", квантовая механика, "связывание времени", "абстракции разного порядка", которые не подразумевают вербального разделения. Также сюда относятся математические языки "порядок", "отношения",..., которые относятся к "чувствам" и "разуму" [одновременно], то есть их можно и "увидеть" и "помыслит"... B) Если использовать языки не похожие на мир, то люди совершают ошибки. ... это приводит к "методу проб и ошибок", и ограничивают возможные прорывы в науке. C) Cлова это не те вещи, которые они обозначают D) Языки обладают само-рефлексией. Можно использовать язык, чтобы говорить об языке, и это создает серьезные семантические сложности, которые разрешаются с помощью многозначности. Отсюда Коржибский делает множество выводов: A) из [Cлова это не те вещи, которые они обозначают] cледует, что предметные уровни, которые включают события, обычные предметы, действия c предметами, процессы, непосредственные чувства, "инстинкты", "идеи", семантические реакции в общем смысле, и т. д. относятся к неназываемому уровню, и не являются словам. B) Отсюда следует, что использование слов "есть" отождествления (is of identity)[=], когда оно относится к неназываемому "объективному уровню", оказывается структурно неверным по факту, и от него нужно полностью избавиться. Если мы говорим, что что-то что происходит "является" [=], то это не верно. C) Отсюда следует, что структура является единственным возможной связью между неназываемым и вербальными уровнями D) Отсюда, единственное возможное содержания знаний является структурным. ... Z) Полное устранения тождества (=) не позволяет нам использовать "есть" отождествления (is of identity)[=], и поэтому мы должны использовать операционные, функциональные, основанные на действиях, бехевиористические,... языки, которые требует новых семантических реакций невозможные без формулирования не-аристотелевской системы. Z_1) Семантические реакции тех, кто создал общую теорию относительности, общую теорию поля, новую квантовую механику, и новые версии оснований математики, зависили от новый не-Аристотелевских, не-элементарных, не-тождественных, операционных, основанных на действиях,... отношенях. Z_2) Не-аристотельская система основана на избавления от принципа есть" отождествления (is of identity)[=], то есть на принципе "это не то". Невозможно достичь этих не результатов не получая невозможных [противоречащих теории] данных, и тогда появляются временные общепринятые теории. Z_3) Старое "Непозноваемое" устраняется и ограничивается до простого и естественного факта, что предметная реальность не является словами. Cкорее всего, когда Коржибский говорит об операционных, основанных на действиях принципах, он имеет в виду то, что, например, в специальной теории относительности используются примеры с часами и растягивающимися линейками. А в квантовой механике идея наблюдения связана с наблюдениями, которые живые физики проводят в лаборатории. Но я пока это писал придумал и Критику системы Коржибского. Его аксиомы языка похожи на логику с Гёделевским нумерованием формул. И в достаточно простом контексте, из Диагоноальной Леммы Гёделя следует, что в языке должны существовать слова, которые называют сами себя. Мне кажется я видел такой пример у Манина. Во всяком случае можно придумывать языки в которых слова называют сами себя. Поэтому все размышление Коржибского не работает. Еще мне очень понравилось предисловие ко второму изданию S&S. Оно достаточно большое, чтобы быть издано как отдельная брошюрка. Но еще оно интересно тем, что выходило 1941 году, поэтому большое внимание в ней уделяется ситуации второй мировой войны и проблеме диктаторов. В частности Коржибский там анализирует личность Гитлера и пишет, что все сказанное про Гитлера относится и к Сталину, и к Муссолини. В частности он пишет, что они происходили из крестьянства и принесли в политику крестьянскую тупость. В дестве их, и Гитлера и СТалина, готовили к карьере чиновников, потому что, например, отец Гитлера был таможеникиом, но из-за презрения к мелкому чиновьему быту, они сознательно выбрали стать невеждами и неучами, чтобы не иметь возможно поступить на службу. Гитлер был романтиками нон-конформистами, поэтому стал отверженным, и в его сердце культивировалась ненависть. Потом он нашел в армии (и, наверное, тюрьме) тот порядок и общность, которому ему не хватало в простой жизни. Поэтому тоталитарные режимы борются за примитивный аристотеливский мир-систему основанный на бинарных оппозициях: унтерменш-уберменш, раб-хозяин, слабый-сильный. Также Коржибский пишет, что в психологии и философии тоталитарных режимов нет ничего передового, но хвалит в то, что они смогли грамотно организовать психологические пытки людей, с чем либеральные демократии не справляются. Также он критикует либеральные демократии за отсутствия системного подхода к внешней политики. Если бы он был, пишет Коржибский, то не было бы никакого апизмента, и Англии и Франция сразу стали бы бомбить Германию после прихода Гитлера к власти. Это введение попрежнему актуально сегодня. Потому что все вышесказанное можно применить и к Путину, и к России. *** Общее впечатление у меня смешанное. Многие тезисы тут мне нравятся. Это касается и философии математики и физики, и некоторых правил жизни. Но на мой взгляд эта система слишком всеохватывающая и глобальная и пытается включать одновременно слишком много фактов, например из биофизики и психиатрии. В современном мире клипового мышления холизм не всегда хорошо. Поэтому целико принять эту теорию я не могу. Коржибский предлагает программу по не-аристотелевской переработки наук. В том числе математики и физики. Но в математики, ка я уже убедился эти результаты действительно были достигнуты. Но к сожалению уже после смерти Коржибсеого. Как показывает мой опыта это произошло в теории топосов благодаря Гротендику и Лаверу. Действительно логика в теории топосов зависит от классифицирующего объекту и может быть и интуиционалистской, и многозначной. И действительно, чему нас учит теория топосов, это тому, что логика должна зависеть от предмета изучения, от лежащего в ее основе топоса. Это еще и мультиординалльность на таком уровне, какой и не снилось Коржибскому. В целом главный вопрос, который меня мучает, это был ли Коржибский аналитическим философом? Многие, наверное, скажут нет. И действительно, он не относился к академическому сообществу. И, возможно, его стиль не был настолько ясным и логичным как это принято у аналиитком. С другой стороны мы видим, что основными источниками вдохновения у Коржибского был Вайтхед. И многие его идеи созвучны с идеями венского кружка, с логическим бихевиоризмом. Я очень хочу дать утвердительный ответ на этот вопрос. Потому что потом я смогу доказать, что Уильям Берроуз cказавший, что "язык это вирус", тоже аналитический философ. Почему бы и нет. Если Достоевский и Бальзак могут быть философами, то почему не Берроуз? Конец про Коржибского. В целом довольно странно, но благодаря нему я могу построить мост между невероятным Халком и теорией топосов. Link 14 comments|Leave a comment

Элементарные топосы, монады и комонады [Dec. 21st, 2023|03:02 am] [Tags | category theory, logic, math, memuar, set theory, theoretical computer science, topology, topos theory ] [ Current Mood | drained ] [ Current Music | Stolen Babies - Naught ] Хотя, я давно не писал об этой части своей жизни, я продолжал изучать теорию топосов. Как видно из названия поста в этот я р решил поделиться своими успехами в изучении элементарных топосов. А именно потому, что именно эта тема раскрывается в 4-й и 5-й главе книги "Пучки в геометрии и логики" и поэтому я решил объединить их в один пост. Также я дополнительно прочитал главу про монаду в книге "категории для работающих математиков", потому что тут они начинают активно использовать. И хотя в книге про топосы все необходимые факты про монады тоже даются. Но во второй тут мне изложение показалась более педагогичным. Вообще, ее проще читать и она лучше написан, потому что в книги про топосы упражнения идут после очень длинных глав, и когда до них дойдешь, то тратить на них время уже не хочется. А вот книге про категории упражнения после каждой короткой секции. И на будущее, если будете писать учебники по математики, знайте, что второй вариант лучше усваивается. Я делаю это отступление, потому что, когда я учил теорию категорий и дошел до монад и комонад, мне эта тема показалась какой-то муторной и немотивированной. И я остановился. Ну чтож, теперь у меня мотивация разобраться с ними появилась. Еще скажу, что я уже встречался с алгебрами и коалгебрами а контексте абстрактной алгебры. Поэтому у меня есть предвзятость, что структура алгебры должна отображатьс алгебраические свойства объекта, а коалгебры — комбинаторные. И это могла повлиять на мой выбор примеров. Но реальность, конечно, сложней. напомню, что Мак Лейн уже определил в первой главе элементарные топосы как категории конечно би-полные, обладающие экспоненциальными объектами и классификатором подобъектом. Но в червертой главе Мак Лейн совершает резкий поворот. Он рассматривает класс категорий, обладающих чем-то вроде внутренней теории множеств. Наличие этой внутренний теории множеств выводится из конечной полоны, наличия особого объекта "множество значениий истиности" Омега, и функтора P cопряженного с умножением на Омегу. Конечно, все элементарные топосы, и топосы Гротендика в частности, обладают внутренней теорий множеств! Поэтому говорят, что топосы это категории похожие на категорию множеств. Такое описание топосов привело к мнению, распространяемого многими знаменитыми логиками(Белл, Голдблат), что целью теории топосов была аксиоматизация теории множеств. Но как показывает МакЛарти в своей статье "Use and Abuse of History of Topos Theory", это мнение глубоко ошибочно. Дело в том, что создателями теории элементарных топосов были Лавер и Тирни. И подходили они к этому делу не как логики, а как физики, потому что изначально они были именно физиками. И главной их целью было создать основания математической физики, свободные от теории множеств. МакЛарти пишет, что работа над элементарными Топосами началась с целью создания нового курса по топологической динамика. Поэтому апофеозом программы Лавера-Тирни нужно считать не результаты вокруг теории множеств, а синтетическую дифференциальную геометрию. Однако первые значительные результаты по синтетической дифференциальной геометрии относятся к 80-м годам, а описанный выше результат про теорию множеств относится к 60-м, и именно тогда логики заинтересовались топосами. Поэтому мы имеем дело со своеобразным академическим эффектом утенка. Что же касается самой внутреней теории множеств, то она постепенно собирается из элементарных операций теоретико-категорных операций. При этом, само собой, все внутренние множества оказываются объектами исходной категории. Этот процесс мне очень напомнил начала теории вычислений, когда все возможные вычислимые функции, собирались из нескольких базовых операций. Или аксиоматичесеой теории множеств. Только тут вместо операций типа взятия инкремента или использования формулы для построения подмножества, за базовые операции берется построение конечных предельных объектов и и использование сопряженности функтора P. Поэтому нет ничего удивительного в том, что если взять эти операции вычислимыми, то мы получим теорию вычислимых объектов. На этой идеи стоят рекурсивный и эффективный топос, которые, кстати, являются примерами элементарных топосов не являющихся топосоми Гротендика. Но Мак Лейн о них не упоминает, поэтому я расскажу о них подробней как-нибудь в другой раз, когда напишу пост про синтетическую теорию вычислений. Основным ингредиентом в доказательстве того, что любая категория с внутренней теорией множеств — элементарный топос, играет теорема Бека про монады. Вначале расскажу вам, что такое монады. Монада T на категории С это эндофунктор (T : C -> C), снабженные двумя натуральными трансформациями, умножением мю : T^2 -> T и единицей эта : id -> T. Комонада, это структура двойственная к монаде, где поворотом стрелок имеем ко-умножение дельта T -> T^2 и ко-единицу эпсилон T -> id. Наверное самым интересной фишкой монад является то, что каждой монаде T cоответствует целая категория T-алгебр. Но T-алгебры это не совсем алгебры в смысле абстрактной алгебры, а объекты категории C, например X, cнабженные структурными отображениями h : TX -> X, определенным образом взаимодействующие с морфизмами мю_X и эта_X. Для комонады T поворотом стрелок определяется аналогичная категория T-коалгебр. Каноническим примером монады является монада List из программирования, которая сопостваляет множествам множества списков из их элементов, а отображениям отображения, действующая на списки поэлементно. Операцией мю в этой монаде является конкатенация списка списков, а единица эта — это создание списка из одного элемента. List-Алгебры это обычные алгебраические моноиды, то есть множества с одной ассоциативной операцией и единицей. Не знаю, какой пример комонады самый канонический. Но можно придумать комонаду на категории SET максимально похожую на List, назовём ее Str. Функтор Str cопоставляет множеству множество непустых cтрок из элементов этого множество. То есть, теперь Str(emptyset) = emptyset. А отображения этот функтор снова вычисляет поэлементно. Тогда ко-умножение это операция которая преобразует строку в строку правых хвостов, а ко-единица эпсилон возвращает первый элемент, голову. Str-коалгебры это леса из направленных деревьев с корнем, а их структурное отображения это операция "путь к корню". Интересней было бы получить категорию коалгебр деревьев, а не лесов. Этого можно добиться, например, так. Модифицируем комонаду Str как Str' для категории множеств с отмеченной точкой так, что Str'(X,x) это множество строк из элементов X не содержащих x. А отображения действуют поэлементно, но выбрасывают образы тех элементов, которые перешли в отмеченную точку. Тогда операции определяются аналогично, но коединица от пустой строки это отмеченная точка. Тогда полученная категория Str'-коалгебр это действительно направленные деревья с корнем-отмеченной точкой. В этой конструкцию это точку можно интерпретировать как особый символ, типа конец строки '\0' в C. Другой интересный пример комонады не связанный с программированием это комонада джетов в синтетической дифференциальной геометрии. И Джет-коалгебры можно интерпретировать как категорию дифференциальных уравнений в частных производных. При этом каждой категории T-алгебр (T-коалгебр) можно сопоставить пару сопряженных функторов, состоящих из очевидного забывающего функтора и функтора свободной T-алгебры (ко-свободной T-коалгебры) на элементе. А каждому сопряжению функторов соответствует монада и комонада. В итоге получается бесконечный круговорот концепций (ко)монада-(ко)алгебра-сопряжение в природе. В итоге возникает вопрос: какие в этом цикле неподвижные точки? Грубо говоря, сопряженные функторы, которые изоморфны забывающим из своих алгебр называются монадическими. Теорема Бека как раз дает условия для монадичности функтора. Но, когда люди говорят об этой теореме, надо учитывать, что у нее есть много версий: cлабая теорема Бека, грубая теорема Бека, вульгарная теорема Бека. И тут легко запутаться. МакЛейн как раз применяет слабую теорему Бека, что доказать слабую монадичность функтора P в категории с внутренний теорией множеств. А потом он использует эту монадичность, чтобы доказать, что такие категории являются элементарными топосами. Другая важная теорема в этом разделе это теорема Эйленберга-Мура. Она говорит, что если комонада и монада сопряжены друг-к-другу то их категории алгебр и коалгбр изоморфны. Все алгебраические категории (в смысле универсальной алгебры) являются алгебрами монад. Интересно, что категория компактных-топологических пространств тоже является категорией бета-алгебр, где бетой я обозначил функтор получаемый из компактификации Стоуна-Чеха, применяемой к множествам как-будто у них дискретная топология. Это интересный результат, потому что получается, что компактные Хаусдорфовы пространства похожи на алгебраические категории. Давайте плавно вернемся к элементарным топосам. В результате акробатики с внутренней теорий множеств получается, что каждому топосу соответствуют целых две логики, а точнее алгебры Гетинга. Внешняя логика это алгебра подобъектов терминального объекта 1 в топосе, а внутренняя логика возникает на объекте-классификаторе подобъектов Омега, взятом как внутренняя алгебра Гейтинга. Вроде как эти логики должны быть изоморфными. Но внешняя логика для работы с ней требует внешней теории множеств, в то время как внутренняя не требует и может быть использована для построения математических теорий "под ключ". Так вот, если взять на внутренней алгебре-логики идемпотентный эндоморфизм, или модальность, j, cохраняющий конъюнкции и значения истинности, то мы можем получить оператор замыкания подобъектов в топосе. Поэтому получается, что мы как-бы вводим топологию на топосе, а морфизм j называется топологией Ловера-Тирни. Благодаря топологи Ловера-Тирни можно говорить о замкнутых или плотных подобъектах. Объекты топоса, для которых вложения любых плотных объектов индуцируют биекции между множествами морфизмов, называются пучками. И да, категория пучков над топосом снова будет топосом. И ее внутренняя аглгебра-логика будет состоять как бы из неподвижных элементов j (эквалайзер j и id). Только в отличии от случая с ситусами это будет не какая-то большая новая конструкция, а наоборот, подкатегория. В этой конструкции функтор шифификации это просто функтор сопряженный к функтору вложения подкатегорий. Кстати, о ситусах. Довольно ожидаемо, но каждая топология Гротендика на ситусе задает топологию Ловера-Тирни на предпучках этого ситуса, так что в результате пучки для этих топологий совпадает. И аналогичное верно в обратную сторону. Другой довольно простой пример топологии Ловера-Тирни, который всегда под рукой это топология двойного отрицания neg neg. Фишка neg neg в том, что она превращает алгебру Гетенга наибольшую содержащуюся в ней булеву алгебра, также известную как алгебра регулярных элементов. И таким образом, строя для neg neg топос пучков можно получить "наибольший" булевый топос содержащийся в исходном. Например если взять пучки, на топологическом пространстве, то их внутренняя алгебра-логика в общем случае будет не-булевой и это будет алгебра открытых множеств исходного пространства. Если ввести на пучках топологию Ловера-Тирни с помощью двойного отрицания, то можно построит топос пучков-пучков, внутренняя алгебра-логики которого будет булевой алгеброй открытых областей в терминологии Энгелькинга (регулярных открытых множеств), хорошо известная нам (мне!) по конструированию примеров в дескриптивной теории множеств и теории меры. Я могу предложить, например такой пример: исходное пространство Евклидова, тогда гладкие функции это подпучек непрерывных. В этой топологии Ловера-Тирни замыкание гладких функций это множество непрерывных функций непрерывно дифференцируемых на открытом плотном множестве . То есть гладкие функции не замкнуты. Но гладкие функции плотны в гладких и почти везде дифференцируемых. И если мы возмем пучок-пучок, то любое отображение туда из гладких функций однозначно продолжается до отображения из почти-гладких функций. Как описать такие пучки-пучки, при том, что гладкость тут можно заменять на любое свойство? Я думаю, что получается что-то вроде модальности "почти везде". Также Мак Лейн приводит другие способы конструировать топосы. Например, объекты топоса, на который действует внутренняя категория это всего топос. Вместо того, чтобы долго распинаться приведу пример. Например можно взять категорию топологических пространств. Тогда внутренняя категория это пара объектов: объект объектов и объект морфизмов. В категории топологических пространств можно взять объектом объектов произвольное топологическое пространство X, а объектом морфизмов пространство путей в X. Тогда начало и конец пути это соответственно домен и кодомен морфизма, и есть очевидные и композии и тождественный морфизм — константа. Это типа шаг к построению фундаментального группоида. А объекты на которые действует эта категория можно представлять как расслоения над X или этальное пространство. А действие этой категории это будет как движение вдоль пути в слои. Чтобы понять, что такое действие не тривиально, можно взять как X окружность, и представить, что мы действуем ей на спираль. Тогда в зависимости от ориентации движения (которые всегда можно описать как повернуть на t градусов) по окружности мы буде двигаться вверх или вниз. Проблемы с этим примером в том, что категории топологических пространств обычно не топосы. В целом я не получил большого удовлетворения от чтения этих глав. Тут много работы и маленьких доказательств связанных с внутренней теории множеств топоса. Но интересных результатов не очень много, и большинство из них это версии тривиальных фактов из теории множеств для топосов. Еще тут очень мало примеров. Раньше я хвалил МакЛейна за обилие интересных примеров. Но теперь все примеры приходится придумывать мен самому. Например, в конце тут есть теорема что коалгебры над топосом будут топосом если команада сохраняет конечные пределы. Я уже обрадовался, что моя категория Str-коалгебр будет топосом. А я обрадовался, потому что топос деревьев это что-то нетривиальное. Но потом оказалось, что этой конструкцией пользоваться нельзя, потому что функтор Str не сохраняет конечные пределы. Но потом оказалось, что Str-коалгбры все же топос, но потому что это типа предпучки над ситусом из натуральных чисел. И каких-то примеров применения конструкций тут нет. Из нетривиальных фактов я смог использовать этот результат и теорему Эйленберга-Мура, чтобы доказать, что у монады List нет левого сопряженного функтора. Но может больше примеров будет в следующих главах. Потому что пока почти-что территория теории множеств, Ловера и Тирни. Может дальше будут больше интересных примеров, например торсоры. Но может быть я просто устал от стиля Мак Лейна. И я как раз достиг экватора его книге про топосы. Поэтому я думаю пока переключиться на смежную тему. Но у МакЛ ейну я обязательно вернусь. Link 11 comments|Leave a comment

Science and Sanity [Dec. 8th, 2023|11:46 pm] [Tags | aristotle, biology, book, general semantics, logic, memuar, philosophy, philosophy of mathematics, physics, review ] [ Current Mood | working ] [ Current Music | This Video Isn't Just About Taylor Swift. It's About You. ] Первое издание 1933 год. Механизмы связывания времени На самом деле эта книга, книга II? называется "Общее введение в не-аристотелевские системы и общую семантику". Но тут всего одна глава, и ее название звучит интересней, поэтому я решил его и использовать в качестве подзаголовка. В прошлой книге нам показали общую картину мира и науки с точки зрения А. Коржибского. Тут же нам дают какие-то конкретные ответы на вечные вопросы: Кто виноват? И что делать? По Коржибскому все проблемы человечества происходят от того, что люди путают разные уровни абстракции. Эти уровни абстракции важная часть философии Коржибского. Они очень похожи н теорию типов из Принкипии Математики Б. Рассела. Но в отличие от него, они применяются не только к математике, а к жизни в целом. Поэтому нужно учить людей рзличать разные уровни абстракции. Коржибский учил и взрослых, и детей, и умственно-отсталых олиогфренов. И для этого он создал идеальный инструмент: структурный дифференциал. Давайте разберемся, что тут изображено. Деревяшка "E", это то, что Коржибский называет процессом, а я называю ноуменом. Эта деревяшка потенциально бесконечная, но кажется конечной по техническим причинам. Дырочки на этой деревяшки означают свойства, возникающие возникающие из бесчисленных взаимодействий элементарных частиц. И их практически очень много, можно считать бесконечно. Деревяшки "O" обозначают объекты неназванного эмпирического опыта. Эти деревяшки все еще большие, но уже имеют конечное число дырочек, число которых ограничено способностью нервной системы. "O_h" — это опыт человека, а "O_a" — это опыт животного, например собаки. И собаки на кружочке меньше дырочек, потому что нервная система у нее не такая развитая. И тут есть шнурки, которые называются "B" и идут от деревяшки "E" к кружку "O", и они символизируют выражение свойств в опыте. Есть еще шнурки "B'", которые никуда не идут, потому что нервная система не может захватить все отношения в природе. Потом идут деревяшки "L,L_1,L_2,...", которые представляют словесные описания. И то как они последовательно идут и создает иерархию абстракций. Например, Коржибский приводит такой пример. В физическом мире есть пропеллер, который быстро вращается. Человек смотрит на него и видит круг. Он использует словесное обозначение "круг". Потом он использует словесное обозначение "круг". Потом он может абстрагироваться от своего опыта, сказать что "круг" это "геометрическая фигура". Или воспользоваться своими знаниями и сказать "круг" это "пропеллер". И вот Коржибский предлагает использовать этот структурный дифференциал для обучения. При этом он пишет, что очень важно, чтобы обучающаяся брали в руки все эти деревяшки и шнурочки, и продивали шнурочки в дырочки и завязывали их вокруг штыречков. Потому что только так создаются правильные условные рефлексы. И только так можно усвоить общую семантику. Чему же все таки учил Коржибский с помощью структурного дифференциала? В впервую очередь он учил, что им нужно отказаться от понятия "все". Например он приносил в класс детям яблоко и просил их называть свойства яблока, пока они не согласятся, что назвали "все" свойства. Потом нужно разрезать яблоко, достать микроскоп и показать детям, что есть еще много других свойств. Второе цель это тот самый "is of identity". Нужно показывать ученикам похожие вещи, а потом все-таки показывать, что они все-таки разные. И все это можно делать с помощью структурного дифференциала. Потом Берроуз писал про "is of identity" как про космического паразита. И следующее поколение общих семантиков придумала язык E-Prime без глагола "is". Тогда основной задачей считаюсь сделать язык более выразительным. Не уверен, что они этого достигли. К тому же Коржибский не призывал к реформе языка, а только к осознанному отношению к языку и мышлению. Потом, видимо, начинается изучение дифференциальной геометрии и теории относительности, но мало кто до этого доходит. Коржибский заимствует у Фрейда теорию стадий развития человека. Это оральная, анальная, фалическая, латентная и генитальная. Но Коржибский еще ассоциирует эти периоды с разными стадиями в эволюции человека. И он как и Фрейд считает, что разные психические проблемы связаны с тем, что человек вместо того, чтобы вырасти застревает в какой-то ранней стадии. Люди застрявший в самых ранних стадиях ближе к животным чем к людям, и их состояние совсем патологично. Но большая часть людей застревают в латентной фазе, которую Карибский называет нарциссической. Видимо, он у него связана с примитивным обществом охотников-собирателей. Эта стадия характеризуется предпочтением мастурбации и гомосексуальным отношениям со своим полом, более здоровым гетеросексуальным отношениям характерным для генитальной фазы. В целом таких дюжей Коржибский называет инфантилами. Инфантильный человек не способен к работе с абстракциями. Поэтому одной из главных целей института общей семантики это борьба с инфантилами. Коржибский видит инфантильные черты в женщинах, которые восхищаются солдатами на войне. Это все мотивирует мужчин воевать. Но, ничего — пишет Коржибский — в следующей большой войне и женщин, и детей буду уничтожать с помощью авиации. С другой стороны инфантильных мужчин также мотивирует воевать с помощью блестящих пуговиц, сапогов и военных парадов. Сама необходимость воевать проистекает из инфантильных фантазий правителей, чьи ума захвачены примитивными инфантильными фантазиями про империи, а также примитивный пещерный, национализм. Все это относится к нарциссическому капитализму с этим нужно бороться с помощью общей семантики. Но Коржибский просил не называть себя пацифистом в обычном аристотелевском смысле. Это самое шокируещее место, но кажется он призывал к началу новой мировой момент, чтобы уничтожить максимально много инфантильных людей, или просто быдлоидов. Насчет рыночной экономики Коржибский тоже был не в восторге. Он называл закон спроса-и-предложения тоже инфантильным и аристотелевским. А также он выступал за более сложный взгляд на деньги как на символические объекты. В целом Коржибски выступал за государственное управление экономикой. Скорее всего через совет специалистов-технократов. Все это, как я уже писал раньше, сближает его с американскими левыми технократами, и если забыть про философские основания, то даже с большивиками. Коржибский выступает за уничтожение национальных-государств и создание всемирного правительства на основе Лиги наций. Видимо именно оно должно заниматься не-аристотелевским образованием и регулированием глобальной экономики. А также глобальное правительство должно заняться уничтожением так называемых инфантилов, или просто быдлоидов. Потому что Коржибски явно выступает з некие научные методы контроля числености населения. Надеюсь, речь тут идет только об всеобщем доступе к абортам и контрацепции, а не об лагерях смерти. Но может и об лагерях смерти. Потому что в другом месте Коржибски призывает заменить смертную казнь тем, чтобы сдавать преступников ему на научные опыты. И тут же замечают, что почти все эти преступники инфантилы, и попав к нему на опыты они очень быстро умрут. Кто они эти инфантилы? Знакомы ли они нам сегодня? Я думаю что Путин, Трамп и многочисленные путинисты и трамписты, это как-раз те, кого Коржибский хотел лечить. Вполне возможно лечить пулей в лоб. Поэтому, я очень рад, что нашел еще один ум, которой согласен убивать, убивать, убивать русню. Link 10 comments|Leave a comment

Science and Sanity [Nov. 22nd, 2023|03:55 am] [Tags | aristotle, biology, book, general semantics, logic, memuar, philosophy, philosophy of mathematics, physics, review ] [ Current Mood | amused ] [ Current Music | Universal Congress Of - The Sad and Tragic Demise of Big Fine Hot Salty Black Wind ] Первое издание 1933 год. Автор этой большой голубой книги, граф Альфред Коржибски, родился и вырос в оккупированной Российской империи Польше. Получил техническое образование. И во время первой мировой войны отправился в США закупать снаряды для Российской Армии. Но после Революции 1917 года, он почему-то расхотел возвращаться обратно. Но осев в штатах, он решил стать философом и наконец-то объяснить человечеству как правильно жить. Но среди философов учение Коржибского, общая семантика, большого признания не сыграло. Изъясняясь предельно грубо, что он сделал, так это взял популярный в то время логический позитивизм и превратил его в seld-help учение, в религию, или даже секту, с центральным органом институтом общей семантики. И этот институт существует до сих пор. Граф Алфред Коржибски 1879 – 1950 Почему я обратил внимание на Коржибского, так это по тому, что его учение оказало влияние на многих американских писателей-фантастов. О Ван Воте я уже писал. Но еще был Рон Хаббард, который позаимствовал много идей у Коржибского для своей Деанетики и Саентологии. А еще Уильям Берроуз. Документально известно, что он ходил на лекции Коржибского в Чикаго, и можно увидеть много отсылок на идеи мэтра в Голом Заватраки. Это удивительно, как мыслитель, которой сделал здравомыслие центральной осью своего учения, стал авторитетом для писателя, творчество которого ассоциируется только с безумием. Философское восхождение Коржибски началось с публикации "Возмужание Человечества", где тот вывел, что родовым свойством Человек является способность "cвязывать время". Но основной библией общей семантики стала именно эта увесистая голубая книга, которую вы видите выше. Полное название "Science and Sanity: An Introduction to Non-Aristotelian Systems and General Semantics", что я бы перевел как "Наука и Здравомыслие: введение в не-аристотелевские системы и общую семантику". И именно об ее чтении я составляю этот мемуар. Книга предваряется целым парадом великих людей, которым она же и посвящается: Кого тут только нет! И Дирак, и Веблен, и Витгенштейн! И самое забавное, что первым идет именно ненавистный Аристотель, которого тут будут опровергать. И этот список тут приводится не просто так. Потому что почти каждая глава начинается со списка эпиграфом из вышеприведенных авторов. И только в этой книге я видео три странницы эпиграфов перед началом главы! Другой особенностью стиля Коржибски можно отметить авторскую пунктуацию и обозначения Ā — не-аристотелевский, Ē — не-евклидовый, Ñ — не-ньютоновский. Эта авторская пунктуация напоминает что-то что было у Берроуза в Мягкой Машине. При этом эти новые обозначения, и пунктуация совсем не мешают чтению. Но по структуре этот голубой том, довольно длинный, разделен на три книги. Поэтому я сделаю три поста в каждому мои впечатления от каждой книги. Но будет еще четвертый пост, где я планирую сделать общие выводы. А еще написать про аппендиксы и введения. Потому что к пятому изданию, которое я читаю добавлены введения всех предыдущих изданий. А введение ко второму изданию, видимо, содержащая разбор всей критики первого, так велико, что могло бы выйти отдельной книгой. I. Общий обзор не-аристотелевских составляющих Первая часть скорее описывает общий взгляд на мир и на ситуацию с наукой в нем без каких-то четких указаний, что с этим делать. ( Под кат, животное! ) Link 12 comments|Leave a comment

The World of Ā [Oct. 12th, 2023|09:48 am] [Tags | book, general semantics, hudlit, logic, review, sci fi, space opera, van vogt ] [ Current Mood | anxious ] 1948 год издания. Это самый главный роман Ван Вота. Когда-то он считался вообще самым продаваемым самым-самым фантастическим романом. Но потом Ван Вот раскритиковали, написав в фанзине, что "он не большой писатель, а пигмей с большой пишущей машинкой". И на самом деле раскритиковали вполне справедливо. Вот критический обзор. Но меня в Ван Воте привлекает не его писательское мастерство, а то, как ему наследует всякая американская маргинальщина. Начнем хотя бы с того, что в центре романа стоят идеи Общей Семантики графа Коржибского. Большим фанатом которых был и У. Берроуз. Берроуз называл последователей этой философии фактуалистов. У него были агенты фактуалисты, засланные на землю инопланетяне, которые боролись с представителями других идеологий. Тут примерно то же самое происходит. Более того, единственное произведение художественной литературы, которое упоминается автором в введении, это "Паразиты Сознания" Колина Уилсона. Параллели тут такие: в паразитах главный герой изучал экзистенциональную феноменологию и приобретал сверх-способности. Тут же главный герой изучает логику, и приобретает сверхспособности. Если следовать идеям этой книге, то я могу четко отвечать на вопрос зачем я изучаю логику и топосы — чтобы приобрести сверх-способности: телепатию, телепортацию и возможность менять свойства вещества на суб-атомном уровне силой мысли. Иногда этот роман называют Мир нуль-А. Но нуль-А это типографская упрощение. В оригинале было именно Ā. То есть, мир логического отрицания А. А означает тут аристотелевскую логику, а Ā, что не удивительно. К сожалению тут речь речь не о всем богатстве современной науки-логики с внутренними и внешними логиками топосов, которые можно было бы назвать не-аристотелевскими, а об учении общей семантики. Что вполне понятно, ведь основной труд графа Коржибского назывался "Science and Sanity: An Introduction to Non-Aristotelian Systems and General Semantics". Вот обложка Книжки Коржибского. Интересно, что он тоже обозначал свою организацию как Ā. Поэтому контекст должен был сразу считываться. Сюжет начинается с того, что в далеком будущем люди собирается в некий город Машины на игры, которые проводит AI "Машина Игр". На время игр полиция не работает, и люди должны защищать себя сами. Но сами игры, как неудивительно, сводятся не к гладиаторским боям на смерть, а сдаче "Машине Игр" экзамена по трем предметам. Это Ā, Ñ и Ē. Мы уже знаем, что Ā значит не-аристотелевская логика. Ñ это не-ньютоновская физика, а Ē не-евклидова геометрия. Звучит, как неплохой экзамен по физике и математики. Те кто получают пятерки переселяются на Венеру. А кто получают четверки получаю посты президентов и директоров фабрик, газет, пароходов на земле. Но в плане физики Ван Вот очень часто ссылается на маргинального физика Феликса Эренхафта, так что любителей твердой НФ эта книга разочарует. Людей, которые готовятся к этому экзамену, тоже называют Ā. Они придерживаются определенной дисциплины, и пытаются сбалансировать работу двух частей мозга, скажем таламуса и кортекса (но что там точно я уже забыл). Только благодаря этой подготовки Ā приобретают тела Аполлона и долголетие Мафусаила. Мне это все чем-то напомнило путь воина у Кастенеды, где нужно было сбалансировать Тональ и Нагваль. Поэтому Кастенеда-пидорас спиздил все свое учение у Коржибского и Ван Вота. Так вот, главный герой, Гильберт Гуссейн, это такой Ā. Но на него, тут обрушиваются невероятны событие за событием: ( spoilers ) Сам Ван Вот писал, что тема с подложными воспоминаниями является основной в романе. И он хотел донести мысль, что личность человека это и есть сумма его воспоминаний. В целом эта тема с подложными воспоминаниями и переменной тел довольно интересная. Можно представить себе агентов, которым подкладывают ложные воспоминания, чтобы они лучше выполняли свои задания. Тут много возможностей для развития этого сюжета. А это роман 1948 года. И скорее всего это тема ту появилась впервые. Еще возможно тут впервые появилась тема с избранным героем со сверх-способностями. А потом эта тема была и в Дюне, и в Звездных Войных. Но сверхспособности тут очень приятно и интересно описаны. Соответствует моему личному опыту. Но кроме фантастической литературы этот роман повлиял, похоже, и на Саентологию. Работа с детектором лжи тут всегда описана как зажимания двух железных палочек, а это очень напоминает оддитинг. В плане сюжета этот роман читается довольно тяжело. Тут нет классической трех-актовой структуры, а вместо Ван Вот строил сюжет на материале свох снов. Поэтому, я думаю, это роман можно считать не только предшественником творчества Берроуза, но и Давида Линча. И всю сложность и запутанность сюжета нельзя считать чем-то отрицательным. С другой стороны, отрицательным можно считать желание все тут объяснять наукообразно и запихиваться в формат журнальной приключенческой научной фантастики. Если бы этого не было, может быть произведение и доросло бы если не до уровня Берроуза и Линча, то хотя бы до Филиппа Дика. Все это стремление к наукообразию и рациональностью видимо является часть маргинальшины того времени (Коржибский, Райх, Эренхафт). Думаю именно это создает определенный барьер между эпохами. Обращение сходных идей в обертку этно-мистицизма Кастенедой и компанией, сделало их очень популярными среди хиппи следующего поколения. С другой стороны религиозно-духовный поворот Рона Хаббарда. И это совсем другая стилистика. В целом такой статус предтечи, на мой взгляд, и делает Ван Вота достойным изучения. Это как-раз и есть возможность пробить барьер между эпохами. Link 15 comments|Leave a comment

Гипногогический диграф и сюрреалистические алгебры [Sep. 12th, 2023|07:55 pm] [Tags | logic, math, progress, set theory, topos theory ] [ Current Mood | tired ] [ Current Music | Goodbye Volcano High ] В посте https://lj.rossia.org/users/rex_weblen/198036.html Я писал. >Меня задел момент, когда МакЛейн писал, что в классических алгебраических категориях не может классификатора подобъектов. Потому что такой классификатор должен содержать в себе изоморфную копию, любого объекта этой категории. Например, это могла бы быть группа, содержащая в себе все группы. И конечно, такого не бывает. Но с этой задачей могла бы справиться модель-монстр теории групп из теории моделей. Она, конечно, не была бы множеством. Но если придумать другое определение категорий и топосов, чтобы можно было использовать два типа объектов, например, группы-классы и группы-множества. Причем переделать все универсальные кванторы только по группам-множествам, а все экзистенциональные кванторы, и по группам множествам, и группам классов. И тогда модель-монстр можно использовать как классификатор подобъектов. И эти классические алгебраические категории тоже будут элементарные топосами. Мне кажется я нашел правильную формулировку этой идеи. Это Алгебраическая Теория Множеств, которую придумал тот самый Мурдяк, который рифмуется со Шмурдяк, в 1990-х годах. Толька там речь шла про маленькие и большие стрелки в категории. Сами авторы пишут, что это в некотором смысле обобщение топосов. Если в конфигурации получиться найти классифицирующий объект, например для групп, то интересный вопрос как будет устроена соответствующая алгебраическая структура. Я не ожидаю, что это будет алгебра Гейтинга. В Алгебраической теории множеств базовая структура это суп-решетка. Понятно только что в случае групп классифицирующих объектом будет что-то вроде модели монстра также известной как мать всех групп. И понять как эта структура устроена как объект-алгебра очень интересна. Для упорядоченных абелевых групп кажется такой моделью будут сюрреалистические числа. И оказывается, замечательный бразильский математик уже проделал эту работу в своей диссертации. И теперь мне не нужно ею заниматься. Cпасибо большое ему. Мне понравился ее общий яркий язык этой диссертации, например, там упоминаются гипногогические диграфы и сюрреалистические алгебры. Другая причина не заниматься этим вопросом это опыт алгебраической геометрии. Аналогом такова классификатора подобъектов там был универсальный домейн Вейля, модель монстр алгебраически замкнутых полей. И как говорит в статье универсальный домен были вытеснен схемами Гротендика. Поэтому, например, для абалевых групп, если взглянуть на них, как на Z-модули, правильным подходом было бы рассматривать схемы над Z. И этот путь привел метематиков к современной арифметической геометрии. А что делать с некоммутативными структурами я толком не могу представить, но там тоже есть свои схемы. Link 20 comments|Leave a comment

Про Пучки [Sep. 8th, 2023|09:03 pm] [Tags | category theory, general topology, logic, math, memuar, sheaf theory, topology, topos theory ] [ Current Mood | sleepy ] [ Current Music | Conker's Bad Fur Day ] Я писал тут недавно, что перехожу к теории топосов. Как я уже писал в том посте я продвигаюсь вперед ужасно медленно. Но это объясняется неизвестным вам причинами. Как я писал я выбрал для себя учебник Saunders Mac Lane , Ieke Moerdijk; Sheaves in Geometry and Logic : A First Introduction to Topos Theory. В целом познание теории топосов широкой публикой осложняется тем, что существуют два дополняющих друг-друга определения топоса. Это топос Гротендика и элементарные топосы Лоури. Но если говорить популярно, то топосы это такие математические вселенные в которых возможны всевозможные конструкции. Так как определение топоса Гротендика опирается на концепт категории пучка, МакЛейн начинает свое изложение с понятия пучка над топологискими пространствами. И я пишу этот пост после освоения двух первых глав, перед переходам к настоящим, абстрактным топосам. Из пререквизотов, для освоения этого материала вам понадобятся только знание начал общей топологии и абстрактной алгебры. МакЛейн кратко излагает основы теории категорий в самом начале. Но мне это ведение не понадобилось, потому я его не читал и ничего сказать про его достаточность не могу. Во всяком случае тут теория категорий это основное топливо. Все понятия из математической логики тут вводятся в процессе изложения. Однако предварительное знакомство с ней все же будет полезно, а также знакомство с дифференциально геометрией, алгебраической топологией и комплексным анализом. Потому что тут очень много примеров, которые теоретически можно пропустить. Но если все же потратить время на все эти примеры, это сделает опыт чтения ярче. Обилие примеров это одна из черт стиля МакЛейна. Другой, я бы назвал то, что не закапывается слишком глубоко в детали. Поэтому не раз я чувствовал желания написать какой-нибудь фрагмент доказательства или нарисовать коммутативную диаграмму. Но меня такой стиль вполне устраивает. Чего тут нет, так это гомологий в пучках. Если вам интересна эта тема, то придется читать другие книги. Кстати, Джонстон, который мне показался слишком сложным, как мне кажется показался слишком сложным, возможно, касается этой темы. Первую главу сложно однозначно характеризовать однозначно. Но там тоже объясняются всякие предварительные понятия полезные для определения топосов. В целом, я уже знал большую их их часть, но тут более систематический подход с пулбэкам. Поэтому это мне было полезно. Тут, наверное, главное понятие это предпучки на категории. Предпучки это просто контравариантные функторы из малой категории в категорию множеств. Другое интересное понятие тут это классификатор подобъектов. Он позволяет описать множество подобъектов любого объекта как множество морфизмов в этот классификатор. В категории множеств этот классификатор это бинарная булева алгебра {0,1}. Но благодаря теории булево-злачных моделей мы знаем, как построить похожую би-полную категорию с классификатором — любой булевой алгеброй B. У МакЛейна есть интересная интерпретация сложных классификаторов как путей к истине. В в случае категории предпучков эти пути к истине образуют решета морфизмов в базовой категории. Меня задел момент, когда МакЛейн писал, что в классических алгебраических категориях не может классификатора подобъектов. Потому что такой классификатор должен содержать в себе изоморфную копию, любого объекта этой категории. Например, это могла бы быть группа, содержащая в себе все группы. И конечно, такого не бывает. Но с этой задачей могла бы справиться модель-монстр теории групп из теории моделей. Она, конечно, не была бы множеством. Но если придумать другое определение категорий и топосов, чтобы можно было использовать два типа объектов, например, группы-классы и группы-множества. Причем переделать все универсальны кванторы только по группам-множествам, а все экзистенциональные кванторы, и по группам множествам, и группам классов. И тогда модель-монстр можно использовать как классификатор подобъектов. И эти классические алгебраические категории тоже будут элементарные топосами. Грубо говоря, элементарные топосы это категории со всеми конечными пределами и копредалами, экспоненциальными объектами и классификатором подобъектов. Интересно, что в элементарном топосе множество подобъектов подобъектов образуют алгебру Гетинга. И сам классификатор подобъектов является объектом-алгеброй Гетинга в унивресальном смысле. Потому каждый элементарный топос обладает собственной внутренней, возможно неклассической, логикой. Вторая глава тут собственно про пучки. Но только про пучки на топологических пространствах. Пучки это предпучки на категории открытых множеств топологического пространства для которых выполняется лемма о склеивание. Конечно, эти пучки являются элементарными топосами. И их классификаторы подобъектов это открытые множества исходного подпространства. Поэтому опять же открытые множества образуют алгебру Гетинга. Любая алгебра Гетинга, а значит любая (не)классическая логика, может быть реализована как алгебра открытых множеств некоторого топологического пространства. Это должно быть пространство Стоуна, этой алгебры. Но мы тут забегаем вперед. У Манина мы еще видели пучки вычислимых функций на рекурсивно заданных множествах. Поэтому видов пучков должно быть намного больше че только топологические пространства. По моим ощущением, главная теорема этой главы, это результат про эквивалентность пучков и этальных пространств. Этальные пространства над X это топологические пространства снабженные локальным гомеоморфизмы снабженные локальным гомеоморфизмом в X. Это делает этальные пространства обобщениям накрытия из алгебраической топологии. Также как и накрытия они обладают некоторой связью с теорией Галуа, и позволяют переходить к т. н. этальным группам пространства. Но это тоже уже немного забегаю вперед. МакЛейн использует совершено потрясающую аналогию для разъяснения этой связи. Я чуть не упал со стула от смеха, когда это увидел. Он пишет, что про слои Этального пространства можно думать как про шашлык. И у накрытия это будет ровный и аккуратный шашлык из одинаковых кусочков. А у этального пространства на одном шампуре могут быть куски разного размера, и овощи. И почти что определение тут: Так вот, сегодня мы узнали, что бывают математические вселенные, которые состоят из шашлыка. Живите с этим. Link 13 comments|Leave a comment

математические планы затягивают(ся) [Jul. 10th, 2023|08:07 pm] [Tags | algebraic measure theory, boolean algebra, logic, math, probability theory, set theory, topos theory ] [ Current Mood | geeky ] [ Current Music | Throbbing Gristle • D.O.A. the Third and Final Report of Throbbing Gristle • 1978 ] Сейчас я разбираю книгу Set Theory: Boolean Valued Models and Independence Proofs Джона Лэйна Белла. Вот причины почему я это делаю: 1) Мне нужно познакомиться с форсингом. А эту книгу рекомендовали как сжатую и продвинутую. И после моего знакомства с булевыми алгебрами на более глубоком уровне в прошлом году их активное использования для меня скорее плюс, а не минус. В целом этот же материал (основы) изложен в, как мне кажется, более дружелюбной форме у Манина. Но есть еще четыре причины сосредоточиться на книге Белла. 2) Независимость аксиомы выбора тут дается через доказательство Йошиндо Сузуки, которое использует действие группы автоморфизмов булевой алгебры на теорию множеств. Я думаю, это довольно крутой алгебраический подход сам по себе. Возможно, Манину бы такое понравилось. 3) Аксиомы Мартина. В одной из формулировок, это что-то вроде обобщения леммы Сикорского-Раисовы, где счетность меняется на произвольную кардинальность к. Дело в том, что когда я изучал логику первого порядка, у меня появилась идея, что так лемма Сикорского-Раисовы доказывает только счетную компактность логики первого порядка, то из общей компактности логики первого порядка можно доказать альтернативную формулировку леммы Сикорского-Раисовы, где условие на кардинальность меняется на структурное условие, выражаемое через действие группы автоморфизмов булевой алгебры. И я подумал, что если прочитать главы в середине этой книге, то в голове на этот счет появиться какая-то ясность. 4) Булево-значный анализ. Оказывается, что если взять в качестве булевой алгебры для булево-значной модели алгебру меры , то действительные числа в булево-значной модели становятся устроены (в определенном смысле) эквивалентно борелевским измеримым функциям на R. И при этом из логики получается сразу перенести много теорем действительного анализа с R на измеримые функции. Это называется трансфер принципом. Но он не заканчивается на действительных числах, и его можно применять ка любым формально определенным математическим объектам, и получать как-бы их больших братьев. В Новосибирске Кутуладзе И Кусраев вроде бы успешно использовали этот метод для решения задач функционального анализа и оснований квантовой механики. Но я думаю об использование этого метода в геометрии. Кажется, что "большой брат" любого геометрического объекта будет автоматически по трансфер принципу обладать в булево-злачной вселенной теми же геометрическими свойствами. То есть случайные элементы в аффинном пространстве будут "аффинным пространством", cлучайные элементы в метрическом пространстве будут "метрическим пространством", а случайные элементы на геодезических многообразиях будут "геодезическими многообразиями". Я думаю об этом отчасти в контексте задачи deevrod про раздутия пространства выпуклых тел. Потому что в этом случае касательные пространства и "геодезические" существуют автоматически. Харуказа Нашимура написал давно статью Foundations of Boolean Valued Algebraic Geometry. Но она немножко по другой теме. Потому что, как я понял, там булевы алгебры конструируются из идеалов с не очень естественными операциями. И большого отклика у математического сообщества эта статья не вызвала. Сейчас, кстати, Нашимура занимается альтернативными основаниями дифференциальной геометрии. 5) Булево-значные модели это очень естественный естественный пример нетривиального булевого топоса. И книжка Белла очень удачно заканчивается на аппендиксе про топосы, где доказываются некоторые эквивалентности. Потом я решил, что Белл подходит для плавного изучения теории топосов. Кстати, теперь понятно, куда делись булево-значные модели из современной математики. Их съели топосы. Еще, если уж переходит к топосам, я хотел бы написать про свои соображния при выборе книг по этой. Я знаком с книгами Голдблатта "Топосы: категорный анализ логики" и Лауври "Сonceptual Mathematics", но они оказались слишком простыми для меня. Поэтому я решил остановиться на книгах МакЛэйна "Пучки в геометрии и логики" и Того же Белла "Топосы и локальные теории множеств". Пока начало МакЛэйна побеждает по понятности, и я буду читать в первую очередь именно ее. Еще я пребывал смотреть Джонстона "Topos Theory", но она мне показалась слишком сложной. Зато я нашел у Джонстона еще одну интересную вещь, книгу Stone Spaces. В ней как, оказалось, довольно подробно пишут про Фреймы и Локали на топологических пространствах. И эта тема у меня давно маячит перед глазам, а где про нее читать было не понятно. Поэтому буду читать в таком порядке МакЛейн, Белл, Джонстон. Учитывая опыт с булево-значными моделями. Должен получиться интересный курс топосов с большим количеством конкретных нетривиальных примеров. Вот мои основные источники интереса к топосам: 1) Как я убедился при чтении Логики Манина, что пучки возникают и в теории вычислений. А значит и топосы. Отсюда опять же определенная эзотерическая теория связывающая топологию и теорию вычислений. О ней я давно слышал, но только сейчас стал нащупывать что-то конкретное. Опять же у этой темы есть разные современные продолжения. Вроде дескриптивной теории множеств для вычислимых объектов или измеримых топосов. 2)Локальные теории множеств кажутся мне интуитивно самыми правильным видом оснований математики. Но формально я с ним не знакомился. И эту ситуацию исправить должен помочь Белл. 3) Опять же фреймы и локали, и разные топосологические конструкции в общей топологии давно маячат перед глазами. А теперь можно будет нормально с ними разобраться. 4) Можно-будет после этого подходить с чистым сердцем к Global Calculus Раамана, где пучки активно применяются в дифференциальной геометрии. Проблема в том, что как я недавно заметил. Чтения булево-значных моделей идет медленно. Я подумал, почему бы не замиксовать это дело с чтением МакЛейна про Топосы? Но сейчас я заметил, что я проработал только две первые главы Белла. С другой стороны эти две первые главы занимают больше трети всей книги, поэтому результат может быть и не совсем плохой. С еще одной стороны, я там что-то уже знал и что-то пропускал. С четвертой стороны cкорее всего это дело, может быть связано не со сложностью материала а просто с обилием посторонних дел. Поэтому я не уверен, хорошая ли это идея. Link 27 comments|Leave a comment

Немного про теорию множеств и нестандартный анализ [May. 25th, 2023|02:21 am] [Tags | category theory, il/po, logic, math, memuar, my life, nonstandard analysis, set theory ] [ Current Mood | exhausted ] [ Current Music | Уильям Шекспир - Король Лир - Аудиокнига, аудиоспектакль ] После матлогики, я потратил некоторое количество сил и времени на изучение теории множеств. Это была 10 глава Белла и Маховера. До этого по этой теме я читал Халмоша "Наивная Теория Множеств" и Шень, Верещагин "Начала Теории Множеств". Но это был совсем другой опыт! Об этом говорит хотя бы то, что тут все развитие ординальной и кардинальной арифметике это easy exirsise left to the reader. После педантичного изучения методом математической наш приглашают к изучению языка теории множеств и ее моделей. В отличие от почти всего моего предыдущего опыта, когда речь шла, о множествах как о чем-то объективно существующем, тут почти все утверждения про формулы на языке теории множеств. В итоге, я нахожусь в love-hate отношениях с Беллом, и Маховером. Этот, метод который Белл и Маховер отстаивали в 70-х можно назвать синтактическим конструктивизмом, и на мой взгляд, он приносит меньше удовлетворения, чем более платонический подход, который можно, например, найти у Jech-cа. Тем не менее это очень умный подход, потому что в этом случае валидность теорем вообще не зависит от того, есть ли какая-то теория множеств на самом деле или нет. К этим синтактическим методам можно отнести абсолютные формулы, принцип отражения и кодирование утверждений про теорию множеств, в самой теории множеств, что приводит к некому аналогу теорем Геделя о неполноте. Однако, связанные с этим технические трюки, и теоремы не очень интересуют, поэтому я потратил на эту тему не так много времени, сколько можно было в пределе. В целом я бы предпочел изложении этих тем ближе к теории моделй. Тогда мы постоянно предполагали существование каких-то моделей, и можно было бы полностью погрузиться в шизофреническую атмосферу, когда внутри одной теории множеств конструируется другая теория множеств всего лишь счетной кардинальности, но тоже содержащая все возможные кардинальные и ординальные числа. И так Ad Nauseam. Но у Белла и Маховера все это сводится к свойствам синтаксиса, и происходит своего рода расколдовывание теории множеств. Что же касается моделей теории множеств ZF. То тут разбирается только один пример, это конструируемая вселенная Гёделя. Она тоже тут рассматривается как часть синтаксиса. Но если бы у нас была платоническая модель теории множеств ZF, то там её действительно можно было построить. Тут важно заметить, что в каждой модели все что касается всех аксиом и гипотез, однозначно либо, истинно либо ложно. Никаких полумер. В частности, в этой модели Гёделя верна и аксиома выбора, и континуум гипотеза. Еще модель примечательна тем, что если ее рассматривать в другой модели, то это будет минимальная подмодель ZF, содержащая все ординалы. Белл и Маховер сравнивают эту модель с полицейским государством, где разобрались со всеми непонятными гражданами. Зная бэкграунд Моше Маховера тут скорее всего имеется в виду Израиль, где всех жителей, которые не смогли доказать свое еврейское происхождение лишили гражданских прав(но это не правда). Следующий класс моделей, про которые я хотел бы рассказать, это булево-значные модели. Но про это у Белла есть отдельная книга. И там мы коснемся действительно интересных методов матлогики. Кстати, именно ради подготовки к чтению этой второй книги я читал Бела и Маховера, а не того же Jech-a. Jech и Манин тоже касаются этой темы, но Jech пишет про все подряд, а я хотел бы сосредоточиться только на интересующих меня темах. Я решил не разбирать подробно 11-ю главу, про нестандартный анализ, прямо сейчас, а только просмотрел. Как минимум отложить ее пока не вернусь к алгебро-топологическим структурам, где это богатство можно применить. Но эта глава тоже очень интересная, потому что тут нестандартный анализ отличается от изложения у Робинсона, и, видимо, изложение основано на вышедшей ранее монографии Маховера. По сути дела это не глава, а отдельная маленькая книга. Но подход Маховера очень общий и зрелый. В современных терминах тут нестандартный анализ это эндофунктор на категории SET, который сохраняет конечные множества и конечные пределы. Отсюда следует как строить нестандартный анализ не только на действительных числах, но и на произвольных топологических пространствах. Тут есть разные интересные свойства. Например, любую Хаусдорфову компактификацию пространства X можно реализовать как фактор-пространство любого нестандартного расширения *X. Так как компактификация Стоуна-Чеха в смысле универсального свойства является максимальной среди таких компактификации, получается что она должна подпирать нестандартные расширения. Мне стало интересно, можно ли ее использовать, для того, чтобы построить нестандартный анализ? Действительно можно взять функтор компактификации Стоуна-Чеха beta : ТOP -> HC и функтор дискретной топологии D : SET -> TOP, и сопряженные к ним I : HC -> TOP и U : TOP -> SET. Тогда, мне кажется, композиция U I beta D действительно будет нестандартным анализом. Сохранение конечных множеств следует из того, что конечные множества компактны. А насчет конечных пределов я не уверен, но кажется это следует из сопряжённости функторов, но я это строго не проверял. При этом получаются нестандартные расширения, которые строго равны соответствующим компактификациям Стоуна-Чеха на дискретных множествах. Во всяком случае, человечество, на самом деле, издревле интересовалось связью нестандартного анализа и компактификацией Стоуна-Чеха. Вот, например, старая статья некоего Гарри Гоншора. По-моему, она немножко про другое, но понятно, что идея не новая. В конце Белл и Маховер пишут, что, хотя нестандартный анализ и имеет много достоинств, его нельзя использовать как замену классическому. Потому что на самом деле не стандартных анализов много. И чтобы понять какие конструкции не зависят от выбора функтора, нужно знать классический анализ. То есть, древние достроились до комплексных чисел исходя единственности определенных конструкций, а когда дошли до бесконечно малых при Лейбнице, то единственность из под ног ушла. При этом, как я понял, эти авторы предполагают, что определенный функтор выбирать не нужно. А можно было бы выбрать функтор, который ведет себя понятным образом, на понятных объектах. Например, превращает дискретные топологические пространства в компактификации Стоуна-Чеха. Можно было бы использовать более сложные функторы, например, чтобы учитывать как-то и алгебраическую структуру. У Гоншора была похожая идея. Например, он писал что дискретные группы связаны с функтором компактификации Бора. Надо бы по хорошему разобрать эти статьи, но я отложу это в долгий ящик. Link 42 comments|Leave a comment

"Нужно" для того, чтобы поcлать меня нахуй [Apr. 28th, 2023|07:57 pm] [Tags | logic, math, my life, news, srach ] [ Current Mood | sleepy ] [ Current Music | Paulo Freire's "Critical" Method of Education | James Lindsay ] Давеча dolmatt оставл комментарий к моему заключительному посту по логике "А нахуя всё это нужно?". Я воспринял это сформулированную в виде вопроса утверждения: "это все хуита.". Поэтому я на него не ответил. Но dolmatt продолжал преследовать меня и задавать свой вопрос: "А нахуя все это нужно?". А это значит он ждал конкретный ответ. И я попросил уточнить вопрос. dolmatt спросил: "А нахуя все это нужно в математике?" ivanmakovetskiy уже ответил, на этот дискуссионный вопрос, на мой взгляд совершенно удовлетворительно: "Это отдельная наука, просто с математическими методами." Я добавил свою ремарку, про известные приложения матлогики в алгебре и анализе. Грубо говоря это все означает, что матлогика все же математика, но не чистая, а как-бы прикладная, а значит не может быть полноценной ступенью в развитии нормальной чистой математики типа алгебраической геометрии. На это dolmatt написал: "Это очень печально на самом деле, что ты выбрал такую ебанутую сферу деятельности. Соболезную по этому поводу". То есть в итоге все свелось к посыланию меня нахуй. Но зачем нужно Было выбирать такой сложный путь, просто, чтобы послать меня нахуй? Похуй, на то, зачем все это нужно. Теперь вопрос, нахуй нужны были все эти социальные па? Я думаю, что дело не в том, что dolmatt какой, то страшный тролль или кибер-гопник, который целенаправленно разводит людей на эмоции. Думаю, дело в том, что dolmatt это глубоко травмированный и тяжело психически больной человек. Пару лет назад он сам изучал матлогику и писал вопросы тут. Теперь он фрустрирован, наверное, что потратил время зря. Но я не заставляю никого ничего учить. Я всех люблю и просто делюсь с миром своими заметками. Нахуй так агрессировать? Кто обидел Долматта? В целом не хотелось устраивать срач. Но в мире больше ничего интересного не существует, поэтому воспринимайте это в качестве новостей. Link 43 comments|Leave a comment

Логические Выводы [Apr. 24th, 2023|11:08 pm] [Tags | logic, math, memuar, philosophy, review, theoretical computer science ] [ Current Mood | exhausted ] [ Current Music | Naevus - Time Again (2020) ] Я продолжал изучать теорию рекурсии. В первую очередь хочу высказаться насчёт арифметической иерархии. В прошлом посте я написал, что она является неким аналогом борелевских множеств, если рекурсивно перечислимые множества. Но более правильной аналогией являются гипер-арифметические множества. И поэтому вынужден извиниться перед читателями. Дальнейшее изучение теории рекурсии должно было привести к теории сводимости алгоритмов и рекурсивного изоморфизма. Это дело ведет к определению степеней Тьюринга, множества классов алгоритмов по сводимости. Эти степени образуют частично упорядоченное множество и его изучение является серьезным разделом теоретической информатики. Но кроме классических разделов есть еще и не классические. Например у Манина есть раздел про рекурсивно-порожденные группы. Тут теорема Геделя о неполноте используется для того, чтобы доказать теорему Хигмана, важный результат в комбинаторной теории групп. Вообще такая связь между логикой и комбинаторной алгеброй неудивительно. Потому что в основе обоих наук лежит некая общая теория индукции на множествах с порождающими, о которой я писал в прошлый раз. Манин и в последней главе, которой, кажется, не было в "вычислимое и не вычислимое", он пишет о категории "конструируемых вселенных". Сейчас мне кажется, что это правильная формализация моей теории индукции на множествах с порождающими. Скажу пока только, что тут изучатся кактегории с натуральными объектами, то есть объектами похожими на натуральные числа. Потом Манин применяет эту теорию к изучению... квантовых вычислений. В результате этой работы я стал полон логики как бочка, наполненная молодым вином. И стал булькать. Поэтому я временно приостанавливаю изучение логики. Но настоящая причина в том, что я запутался в нотации у Белла. И если возвращаться к этой теме, то я хотел бы перезагрузится, и начать читать другую книгу с начала, например Одифредди. Хотя, сегодня я уже не чувствую, что запутался, может и продолжу. Но сейчас теория рекурсии у меня не в приоритете, поэтому я хотел переходить к теории множеств. А что касается, неклассической теории у Манина, особенно то, что касается категории конструируемых миров, но то я хотел бы найти другие источники по этой теме. Но думаю, что сначала нужно разобраться с топосами. Нет, все таки я запутался в Белле (Потому что из кусков теории связаны с вычислениями я изучал по Манину, и очень плохо понимаю часть нотации Белла). Другая тема в логики, которую я пропускаю, это нестандартные (особенно интуционалистская) и модальные логики. Особенно меня заинтересовала тут тема семантики Крипке и перевода модальных логик в логику первого порядка. Тут с этой темой в философии есть интересная история. У. Квайн был логическим монистом, то есть он считал что есть одна верная логика, и это классическая логика. В частности, он считал модальную логику "метафизически нагруженной" и ненадежной. Считается, что его студент, Саул Крипке использовал логику доказуемости, допускающую ясную арифметическую интерпретации. Поэтому логика доказуемости мне кажется самой интересной из модальных. Я почитал немного Беклемешева и Артемова по этой теме. И оказалось, что есть много разных логик доказуемости. Я не уверен, не опровергает ли это тезис Крипке, или это еще один аргумент против логического монизма. Семантика Крипке отличается от классической логики с булевой семантикой, в той же степени как дифференциальные многообразия от гладких пространств. Еще эту семантику иногда неверно называют семантикой возможных миров. Репер Крипке состоит из множества "возможных миров" и отношения достижимости. Например, в эпистимической логики отношение достижимости A из B значит, что мир B cоответствует нашим знаниям в мире A. В этической логик отношение достижимости A из B значит, что мир B cоостветствует представлению о должном в мире A. И отсюда и идея о семантике возможных миров. Но какие возможные миры могут быть в логике доказуемости? Тем более если этих логик много, то таких семантик тоже много. Еще у логик доказуемости есть топологические семантики, где высказывания соответствуют множествам в топологическом пространстве. А модальные операторы операторам множества предельных точек. Касательно интуиционистской логикой, мне понравилась характеристика интуиционистской логики, которую использует Белл: интуционалисты верят, что математические объекты конструируется в разуме математика, и математика это искусство конструирования ментальных объектов, в то время как язык нужна для коммуникации и не необходим для занятия математикой. Поэтому математика не должна завесить от нюансов синтаксиса. Мне очень понравилась идея заниматься математичкой, не используя язык вообще. Похоже на магическую практику. Но Белл просит различать интуиционистскую философию математики и интуиционистскую логику и больше пишет о последней. Там, он кстати тоже используют семантику Крипке. На последок в качестве бонуса обзор учебников, которыми я пользовался: J. Bell, M. Machover: Mathematical Logic — Белл меня заинтересовал. Это очень умный автор, который хорошо владеет и философией, и общей топологией. Планирую дальше по нему изучать теорию множеств. По стилю эта книга ближе всего к тому, что я назвал бы аналогом Бурбакизма в логике. Опять же нотация достаточна сложная, чтобы я в ней запутался, но только в разделе алгоритмов. Есть очень интересные задачи. И много глубоких и интересных тем. Когда авторы писали эту книгу, мне кажется, они отчасти придерживались конструвистской философии. Поэтому тут много довольно педантичных доказательств с выводом конструктивности тех или иных объектов. Возможно, я предпочел похожую книгу, но менее конструктивную. Но мне Белл, наверное больше всех в целом понравился. Yi. I. Manin: A Course in Mathematical Logic for Mathematicians — Это современное переиздание возможно известных вам советских книг "Доказуемое и недоказуемое" и "Вычислимое и невычислимое". Грубо говоря это не совсем учебник, а большой обзор с некоторыми углублениями. С одной стороны, потому что тут нет задач. А с другой стороны, потому что тут очень много внезапных скачков сложности за которыми иногда сложно успевать. То есть в плане педантичности это полная противоположность Белла и Маховера. Однако тут есть интересные темы про пучки и категории, которых в других книгах "про математическую логику" нет. J. Milleti: Modern Mathematical Logic — Мне понравился подход этого учебника к основам логики и теории моделей, как я уже писал очень динамично. И еще мне понравились интересные примеры. Но все же это undergraduate учебник поэтому он не очень глубокий, и все упражнения там очень легкие. Еще он не очень жирный в плане теории множеств и рекурсии. P. G. Hinman: Foundations of mathematical logic — А это наоборот очень толстая с материалом на четыре семестра. Тут есть и доказательство теоремы Морли из теории моделей и форсинг. Так как материал по основам логики используется тут как основа для довольно продвинутых тем, это создает необходимость разбирать много нюансов в условном начале. Поэтому я не рекомендовал бы ее новичкам. Тем не менее мне понравился подбор задачек по темам, которые я тут изучал: про логику первого порядка в основном. Link 43 comments|Leave a comment

Вокруг теорем Гёделя о неполноте [Apr. 9th, 2023|04:36 pm] [Tags | logic, math, memuar, theoretical computer science ] [ Current Mood | numb ] [ Current Music | Daliborovo Granje - Live at Frkanovec (2023) ] Теоремы Гёделя о неполноте исторически очень важны в развитие логики и математики. Но так ли важно владение самими этими теоремами и умения их доказывать для современного математика? Думаю, не очень. Намного важнее разные конструкции, которые эти теоремы мотивируют. Например, и Манин, и Белл, в cвоих доказательствах ссылаются на теорему Матиясевича-Робинсон-Дэвиса-Путнама (MRDP) из доказательства 10-й проблемы Гильберта. Но это доказательство было получено намного позже жизни Гёделя. Поэтому должны быть другие доказательства, которые, можно так cказать, ближе к корням. Например, узнать о них в доступной форме можно из книжки Смульяна, на которую ссылается Манин, в той части своей книги, которая относится к советскому изданию "Доказуемое и недоказуемое" (это начало). Другая интересная книга это Питер Смит. Он про Гёделя написал целых две книги, одну простую и одну более сложную. Там вроде ссылок на MRDP тоже нет. Но я их не читал, потому что сбор диковинок для меня было более приоритетной целью , поэтому ответственно про их качество высказаться не смогу. Одним из главных таких мотивируемых конструкций становятся рекурсивные или вычислимые функции, а также рекурсивно-перечислимые множества. Обычно изложения этих тем в курсах логики получается достаточно "занудным", потому что требует освоение такой темы как Модели Вычислений собственно для определения вычислимости. Для этого обычно использует Машины Тьюринга, Мужика Поста или автомат Маркова. В итоге сводится к проблеме их программирования. Белл использует УРиМ (и ТУМиМ). К хвале Манина, он ничего не использует, и это делает его изложение наименее занудным. В остальном и Белл, и Манин тут снова близки друг-другу и ссылаются на классический учебник Роджерса по Теории Рекурсии. Я по этой теме отметил еще для себя современную классику классики Classical Recursion Theory П. Оддифреди в 2-х томах. Вроде еще есть неплохая книга, Барри Куппер, теория вычислений, но это уже не совсем классика. Я бы к ним обратился, если бы было время и желания изучать эту тему более подробно. Но еще одно отступления. Я писал, что попрощался с Милети. Но я хотел бы еще раз к нему вернуться, чтобы прорекламировать вторую главу этой книги, которою по замыслу автора нужно читать в самом начале, но я читал ее в самом конце. Сложен и извилист мой путь. Там тема что-то типа индукция и рекурсия. Это совсем элементарная тема, которую надо по хорошему относить не к предмету "Теория Рекурсия", а к предмету типа "Теория Натуральных Чисел", который, наверное, слишком элементарный для вузовской программы. Но, во первых, он на самом деле получается не совсем элементарным, потому что Милете обсуждает индукцию и рекурсию, не только на натуральном ряде, но и на произвольных множествах с системам порождающих. И хотя, это действительно совершенно элементарная тема, мало где я видел такое полное ее изложения с таким количеством примеров. И как мы увидим дальше, логика, вычислимость и арифметика в смысле теории натурального ряда очень сильно связаны. И эта теория рекурсии действительно много что проясняет в логике и функциональном программировании. Почти все остальные структуры логики, о которой я писал раньше, рекурсивны. И такая открывающая глава позволяет сделать изложение динамичной с опорой на несколько базовых теорем про индукцию и рекурсию. Кажется, отсюда сразу можно доказывать рекурсивную перечислимость Большинства структур логики. Теперь собственно о рекурсивных или вычислимых функциях. Это частично определенные функции между декартовыми степенями натуральных чисел. Вычислимость определяется через конструирование алгоритмов в моделях вычислений. Но мы уже решили, что они нам не нравятся. Хочется определять эти функции как-то аксиоматически. Поэтому их можно определить индуктивно как множество с системой порождающих (как во второй главе Милети). В качестве порождающих элементов берется всякая мелочевка типа константы 0, операции следующий элемент и проекции. А в качестве порождающих операторов объединение, композицию, рекурсию и мю-оператор. Мю-оператор, это что-то вроде поиска в глубину. Если его не брать, то получится множество примитивных рекурсивных функций. Они примечательны тем, что никогда бесконечно не зацикливаются. Причем любую вычислимую функцию, можно реализовать так, что мю-оператор будет использован всего один раз. То есть будет как-бы один цикл, который вызывает примитивные рекурсивные функции. Вообще, результат, что эти рекурсивные функции и есть все вычислимые функции называется Тезисом Черча. Но я бы предпочел использовать его в качестве определения. И тут встает вопрос, что если мы можем так ловко определить такое множество функций на натуральных числах, то можно использовать те же методы на произвольных множествах. Это ведет к теории E-рекурсивных функций. Я вижу тут параллель между порождающими операциями и дедукциями в логики и выводе типа в программировании. Множество называется рекурсивно перечислимым, если оно является областью определения какой-то рекурсивной функции. Это определения можно трактовать так: если у нас есть волшебный компьютер с неограниченной памятью, который может запускать неограниченное число процессов, то мы можем вывести все элементы этого множества за бесконечное время. Например так, обходим натуральный ряд, и на каждом числе вычисляем функцию, областью определения которой это множество является. Если функция вычислялась как-то, то выводим это число, но вначале запускаем похожий процесс для следующего числа, чтобы не застрять. Поэтому такие множества еще называют полувычислимыми. Если само множество и его дополнение является полувычислимым, то такое множество называется вычислимым или разрешимым. Про эти множества и функции есть много результатов, я все повторять тут не буду. Скажу, только, что тут все совсем круто, потому что частично рекурсивные множества с рекурсивными функциями на них образуют пучки. Поэтому если прорваться сквозь модели вычислений, то дальше будет интересное взаимодействие с теорией топосов, о которой я надеюсь в будущем написать поподробней. Пока скажу, что Манин касается этой темы и даже определяет когомологии Чех для рекурсивно перечислимых разбиений рекурсивно перечислимых множеств. Вообще, мы как-бы снова вернулись к общей топологии, н теперь как бы по секретному подземному ходу, проложенному под оживленной улицей. Через элементарную теорию пучков нащупываются соответствия между полувычислимыми и открытыми множествами в топологии. Даже аксиома про бесконечные объединения тут выполняется, если брать объединения не абы каких классов а сечения полувычеслимых множеств большей размерности. Тогда разрешимые множества это открытозамкнутые. Рекурсивные функции это функции непрерывные в области. А примитивные рекурсивные функции, это как непрерывные открытые тогда? У меня вопрос, короче. Про это соответствие я уже писал в посте про общую топологию. Но теперь оно для меня стало более осязаемо. Теорема MRDP утверждает, что любое рекурсивно перечислимое множество можно представить как множество натуральных решений некоторого Диофантового уравнения с параметрами. Этот путь к теореме Геделя для меня казался очень привлекательным, потому что я вспомнил как в дестве любил элементарную теорию чисел. Манин тут как опытный числовик, делает тут довольно лихие броски. Поэтому мне больше понравилось изложение в книжке Белла. Я получил много фана, доказывая теоремы про делимость чисел Фибоначчи и факты про уравнение Пелля. Но тут я действительно закопался. Поэтому на подготовку этого поста про логику ушло так много времени. Действительно там есть очень сложные технические результаты и такие же теоремы про сводимость. Поэтому я не думаю, что это действительно педогогично выводить теорему Гёделя из MDRP. Потому что ни у какой аудитории не хватит сил на ее полное доказательство. Это too much теории чисел в курсе логики! По этой теме могу рекомендовать книгу самого Матиясевич Десятая проблема Гильберта. Кроме результатов типа Теоремы Гёделя там есть и другие, типа неразрешимости проблем анализа и задач про многомерные шахматы. Я бы вернулся к этой теме, после того, как бы систематизировал свои знания по элементарной теории числел, но скорее всего это будет не скоро. Десятая проблема Гильберта в листочках. Курс лекций Матиясевича На youtube И вот вот мы подошли собственно к Теоремам Геделя о неполноте. И тут силы мои кончились. Ну для начала нужно научиться различать разные модели арифметики. А совсем в начале нужно выбрать некий язык арифметики первого порядка и научиться сопоставлять его формулам и термам натуральные числа. Тогда множество натуральных чисел называется арифметическим, если оно определяется каким-то высказыванием на этом языке. Удивительно, но оказывается, что множество арифметических множеств является алгеброй (простое доказательство с MRPD; сложное без?), порождённой рекурсивно перечислимыми множествами. И даже "сигма-алгеброй" в том же смысле в каком рекурсивно перечислимые множества являются "Открытыми в топологии". Поэтому мы уже сейчас можем предсказать глубокую сходства между арифметическими и Борелевскими множествами. Так вот, бывает модель арифметики просто как теория порожденная всеми натуральными числами. Это модель полна, то есть там лежит как в множестве либо каждое конкретное утверждение, либо его синтактическое отрицание. Но это модель не аксиоматическая, а как бы семантическая. Аксиоматическая модель это та, которую можно вывести из набора высказывания, номера которых рекурсивно перечислимы. Используя MRDP можно показать, что чтобы выразить любое рекурсивно перечислимое множество достаточно очень простой аксиоматической модели арифметики. Отсюда сначала выводится "теорема неразрешимости" про то, что любая теория, которая не противоречит арифметики Пеано первого порядка будет рекурсивно неразрешима. А отсюда уже выводится собственно первая теорема Геделя о неполноте: в любой непротиворечивой аксиоматической теории, которая содержит "элементарную арифметику", можно конструктивно построить утверждение (на языке арифметики первого порядка), такое что не оно само, ни его отрицание там не лежит. Вторая теорема более хитрая: В любой непротиворечивой аксиоматической теории, содержащий арифметику Пеано первого порядка, не содержится утверждения, что она сама непротиворечива. Считается, что это вторая теорема привела к глубоким последствиям для философии математики. Но тут конечно встает вопрос, как такое утверждение кодируется на языке арифметики. Про философские аспекты этих теорем я хотел бы почитать в книге Use and Abuse. В общем, в этом посте мы наблюдали святую троицу из логики, вычислений и теории чисел. С одной стороны у нас есть MRPD, которая сопоставляет перечислимым множествам диофантовы уравнения, с другой стороны у нас есть арифметизация Гёделя, которая превращает логические формулы в числа. А взаимодействия между логикой и вычислениями само-по-себе фундаментально, потому что по своей структуре синтактическая логика рекурсивна. В следующем посте из этой серии я надеюсь продолжить разбирать эти тройственные взаимодействия. Link 24 comments|Leave a comment

От Логики Первого Порядка к Теории Моделей [Feb. 25th, 2023|11:56 am] [Tags | boolean algebra, logic, math, memuar, model theory ] [ Current Mood | distressed ] [ Current Music | Element of Crime- Die Schonen Rosen ] Как и с логикой высказываний. Важнейшим результатом в логике первого порядка являются теоремы о полноте и компактности. Теорема полноты говорит, что любое утверждение истинное для любой модели неких аксиом, можно из этих аксиом доказать. А теорема компактности говорит, что утверждение всегда истинное для любой модели бесконечного множества аксиом, может быть истинно и для любой модели конечного подмножества этих аксиом. Обычно курс логики устроен так: разбирается некий вид логического вывода, потом для этого вида доказывается теорема о полноте, а потом из нее сразу следует теорема о компактности. Но сейчас популярность получило мнение, что теорема о компактности важнее. Потому что это чисто семантическое утверждение полностью независимое от методов логического вывода. И для всех интересных результатов нужна именно теорема о компактности. Например, один из самых красивых результатов, который следует из теоремы о компактности, это теорема Акса-Гротендика. Это теорема утверждает, что любое инъективное полиномиальное отображение из С^n в С^n будет биекцией. А все дело в том, что из компактности можно вывести, что если какое-то утверждение на языке логике первого порядка и теории колец верно для бесконечного числа алгебраически замкнутых полей конечной характеристики, то они верны и для комплексных чисел. И можно показать, что такие полиномиальные функции действительно биекции в алгебраически замкнутых полях конечной характеристики. Потому что каждый полином имеет конечное число коэффициентов и любая точка, которую мы хотим получить это тоже n элементов поля, то мы можем с их помощью сгенерировать подполье, которое само будет конечным. А инъективное отображение из конечного множества в само себя всегда будет биекцией. Это очень красивый результат. И я очень рад, что решил заняться логикой, только потому что с ним познакомился. Другой интересный результат это 0-1 закон для случайных графов. Контекст этого закона таков, что в случайном графе из n вершин ребра независимо добавляются или убираются с вероятностью 1/2. Cам закон говори, что если взять любое утверждения на языке теории графов первого порядка, и устремить n к бесконечности, то придел будет либо 0, либо 1. Рассмотрим утверждения типа для любых n вершин и любых других m вершин в графе найдется еще одна вершина x, которая смежно с первыми n вершинами, и не смежно с никакими из остальных m. Эти утверждения называются Аксиомами ресторана Алисы, потому что в ресторане у Алисы можно заказать все что угодно. С помощью элементарной комбинаторики и теории предела, можно доказать, что 0-1 закон выполняется для ресторана Алисы. Добавим аксиомы ресторана Алисы к аксиомам теории графов и получим теорию детерминированных "cлучайных" графов. Очевидно, что у этой теории не будет конечных моделей. Более того, можно доказать, что все теории детерминированных случайных графов счетные модели изоморфны. Поэтому тест Воща-Вогта говорит, что это теория полна. Благодаря компактности мы видим, что любое утверждение в теории детерминированных случайных графов можно получить из конечного числа аксиом. Поэтому можно ограничиться конечным числом аксиом ресторана Алисы и таким образом ограничить рост сумм при вычислении предела вероятностей. Вспомним про полноту, получим 0-1 закон. Теперь нужно ответить на вопрос, как эту замечательную компактность доказывать? Есть много способов, например можно использовать полноту, понятия непротиворечивости, ультрапроизведения или алгебры Линденбаума. Мне больше всего нравятся алгебры Линденбаума, поэтому расскажу именно о них. Как я уже писал Алгебра Линденбаума для некой теории это булева алгебра, элементами которой будут классы эквивалентных формул в этой теории. При этом все большие теории будут задавать фильтры, а полные теории ультрафильтры. Можно доказать, что существует однозначное соответствие между классами изоморфных моделей этой теории и ультрафильтрами, сохраняющему кванторы. А кванторы в этой Булевой алгебре могут быть получены как инфинумы и супремумы классов соответствующих формул. Лемма Расиовы-Сикорского говорит, что для любой счетной последовательности множеств имеющих супремумы, можно расширить, сохраняющей эти супремумы. А это тоже самое, что сохранение кванторов в контексте Алгебр Линденбаума. Теперь рассмотри какой-то язык первого порядка со счетной сигнатурой, и четную теорию такую, что все его конечные подмножества имеют модель. Тогда можно определить новую Булеву алгебру где классы эквивалентности задаются отношением, можно доказать эквивалентность, используя конечное число аксиом. У нас счетное число экзистенциональных утверждений. Поэтому мы можем применить Лемму Расиовы-Сикорского и получить ультрафильтр. А из ульрафильтра можно построить модель уже для самой изначальной теории. Тут вот, что лично мне интересно отметить. В случае логики высказываний можно было просто взять пространство Стоуна алгебры Линденбаума. При этом, для полноты замечу, что ультрафильры соответствуют элементам пространства Стоуна (положительное значение на элементе = принадлежность). Но тут все эти нюансы сидят в теореме Расиовы-Сикорского. Изначально ее доказали применяя теоремы Бэра в этом пространстве Стоуна. Поэтому у всех этих красивых результатов сверху, можно сказать, топологические корни. Вообще Белл пишет, что само понятие компактность, как пишет Белл, связана с тем, что элементарные классы, то есть классы задаваемые единичными высказываниями, задают компактную топологию на классе всех моделей. Грубо говоря, какой-то набор высказываний, противоречив если из него можно доказать все что угодно, а это тоже самое, что быть покрытием всего пространства моделей. Тогда, то что можно выбрать конечное подпокрытие говорит о том, что взять конечное противоречивое подмножество. А то можно перевести как, если каждое конечное подмножество утверждений в множестве утверждений непротиворечиво, то и все множество непротиворечиво, то есть утверждение теоремы о компактности. Причем, это элементарная топологи будет похожа на топологию пространства Стоуна, будет полностью несвязной. Но нормальным множеством с кардинальностью это пространство не будет. Вообще в теории моделей иногда вполне естественно возникают очень большие объекты. Такие объекты называются моделями-монстрами. Поэтому теории моделей тесно в нормальных основаниях математики и теории категорий. Вообще, когда я брался за эту тему, у меня было две цели. Во первых посмотреть на применения булевых алгебр в логике. Второй целью было познакомиться с теорией моделей. Для меня это был самый загадочный раздел матлогики. Теперь мне кажется, что его правильнее было назвать семантической комбинаторикой, и тогда было бы понятно. Очень сильно углубляться в теорию моделей для себя я сейчас не вижу, потому что это сложная и запутанная дисциплину. Тем же, кто хочет с ней ознакомиться, я рекомендкую книгу Болдуина Model Theory and the Philosophy of Mathematical Practice, а не стандартные учебники. Потому что, там есть определенная систематизация основных результатов и их смысла. Еще, чтобы познакомиться с современной теорией моделей можно посмотреть презентацию того же автора Основным понятием теории моделей является категоричность. Он не имеет отношения к теории категорий. к-категоричность означает, что у теории есть только один класс изоморфных моделей кардинальности к. Если у к-категоричной теории нет конечных моделей, и к не меньше сигнатуры языка, то она будет полна. Основной результат классической теории моделей это теорема Морли. Она говорит, что если теория к-категорична для какого-то несчетного кардинала, то она к-катигорична для любого. Другой интересный результат, который тоже можно отнести к классической теории моделей это теоремы Лёвенхейма-Сколема. Одна из них утверждает, что у любого набора формул, у которого может быть бесконечная модель, есть модель кардинальность, которой не превышает кардинальность сигнатуры языка. Так как сигнатура теории множеств счетная отсюда следует, что существует счетная модель теории множеств. И все классические теоремы вроде Кантора-Бернштейна там выполняются (При этом все множества счетные). Изначально этот результат вызвал большой переполох, и стал известен как парадокс Сколема. Но на самом деле никакого парадокса тут нет, так как само понятие функции и кардинальности в счетной модели тоже меняется. Про этот эффект говорят, что логика первого порядка не может нормально выразить понятие кардинальности. Так мы плавно переходим к ограничением логике первого порядка. Как мы уже на языке логике первого порядка хорошо описываются простые алгебраические и комбинаторные структуры, где все операции и предикаты применяются к однотипным элементам. Сюда относятся группы, поля и графы, например. А вот применять логику первого порядка к алгебрам Хопфа, метрическим пространствам и пространством с мерой довольно затруднительно. Вообще в элементарных курсах логики часто говорят, что логики старшего порядка не нужны, потому что все логики можно сводить к логике первого порядка добавляя дополнительные элементы и предикаты. Но с теорией моделей этот поход плохо стыкуется, потому что при таком сведении херится кардинальность. А в теории моделей, как я уже писал, кардинальность это все. Также можно упоминать нестандартный анализ и арифметику. Потому что если просто взять теорию действительных чисел или соответственно целых чисел, мы всегда будем получать нестандартные модели с бесконечно малыми и бесконечно большими. Поэтому говорят, что логика первого порядка не может адекватно закодировать нормальную школьную математику. Вообще мне теперь кажется, что нестандартный анализ намного больше интересен логикам, чем аналитикам. Тут я показал, что логика первого порядка вполне способна решать задачи для core mathematics. Например, Акс-Гротендик и 0-1 закон для случайных графов. При этом в глубене тут лежи теорема о компактности, которая имеет псевдо-топологическую природу и компактность. И получается, что логика внезапно играет роль способа контрабандно протаскивать топологию в лог Думаю на этом мы прощаемся с логикой первого порядка и почти прощаемся с Милети. Дальше будет вычислимость, теория рекурсии и теорема Геделя о неполноте. Link 8 comments|Leave a comment

Логика первого порядка [Jan. 21st, 2023|08:11 pm] [Tags | logic, math, memuar ] [ Current Mood | sleepy ] [ Current Music | Swans - The Seer ] Начал изучать по Беллу. Базовая теория Ок. Но не понравилось, что много внимания уделяется теории доказательств и алгоритмам. Начал читать Милети. Очень им доволен. Понравилось, что много интересных примеров из алгебры. Единственный минус Милети, что избегаются углубления в Булевы алгебры, Топологию. Но для этого есть Хинман. В логике первого порядка в центре внимания взаимодействие между формальным языком и математическими структурами. Что появляется вначале язык или структура, это как вопрос про цыпленка и яйцо. Кажется, что в чистой математике структуры важнее языка. Но в логике первого порядка все наоборот. То есть на первом месте находится язык, который задает класс структур. В отличие от логики высказываний тут появляются кванторы, а вместе с ними переменные, функции и предикаты. Поэтому логику первого порядка еще называют логикой предикатов. Из-за необходимости формально работать с переменными могут возникать некоторые технические трудности. Поэтому я все же рекомендовал бы начинать знакомство с математической логикой все таки с логики высказывание, чтобы быстро познакомиться с основными идеями. Роль истинностных валюаций в логике первого порядка играют пары состоящие из структуры и отображения переменных языка в универсум этой структуры. Эту конструкцию можно называть моделью. Интересно, что структуры в каждом языке образуют категорию. Там есть естественное понятие морфизма, то есть отображения, которые коммутируют с функциями, сохраняют и отражают предикаты кроме '='. Но тут никакие аксиомы еще не кодируются, поэтому, например, категория структур языка групп (одна нуль-арная операция-константа, одна унарная операция и одна бинарная операция) это еще не то же самое, что и категория групп. Так как никто не гарантирует, что, например, константа будет нейтральным элементом, а унитарная операция инверсией. При этом такие морфизмы не обязательно сохраняют произвольные высказывания. Но если они это делают, то такие морфизмы называются почему-то элементарными. То есть можно еще определить "элементарную категорию" где все морфизмы такие. Если в языке есть знак "=" и в структуре ему действительно соответствует равенство (по дефолту так считается), то элементарные морфизмы будут инъекции. Хинман рассматривает два вида пределов в этой категории, которые устроены более-менее одинаково для всех языков. Это пределы и объединения цепей (прямые пределы). Универсум произведения всегда устроен как декартово произведение. Интересно, что даже если какая-то формула верна при фиксированном назначение переменных для каждого множителя, то она не обязательно верна для произведения. Например, произведения полей будет кольцом, но не будет полем. Оказывается, что можно выделить важный класс формул, который сохраняется при произведении. Это формулы Хорна. Но описать все формулы, которые сохраняются при произведении довольно сложно. Похожая ситуация и с прямыми произведениями. Тут роль формул Хорна играют универсально-экзистенциальные формулы (формулы унисекс). То есть те у которых вначале идут кванторы всеобщность, а потом кванторы существования. Пример, когда формула нарушается при взятие логического предела, это например прямой предел упорядоченных конечных множеств, у которых не будет минимума и максимума. Другая это интересная тема это определимые множества. То есть множества, которые можно задать внутри структуры одной формулой на языке 1-го порядка. Множество определимых множеств для структуры будет алгеброй. Милети ловко доказывает, что все определимые множества комплексных чисел в языке колец это конечные или коконечные множества. Интересное свойство определимых множеств это их инвариантность под действием группы автоморфизмов структуры. Идея определимых множеств развивается в теории алгебраических замыканий. Алгебраическим элементом над множеством X в структуре S называются элементы, которые содержатся в конечных множествах, которые определимы с параметрами в множествe X. Алгебраическое замыкание X это множество всех алгебраических над ним элементов. Если в качестве структуры S взять алгебраически замкнутое поле, а в качестве X какое-то меньшие поле, то его алгебраическое замыкание это алгебраическое замыкание в смысле теории полей. Отсюда и названия. Если S это бесконечное векторное пространство, а X его подмножество, то алгебраическое замыкание X это линейная оболочка span(X). Я заметил, что вся эта теория определения с параметрами связана с подгруппами фиксирующими параметры. Поэтому тут может быть какое-то обобщение теории Галуа. Но я никаких интересных примеров не придумал. Как и в случае с логикой высказываний множество утверждений, которая содержит все свои следствия называется теорией. Любое множество утверждений можно расширить до теории. Для любой модели S множество всех истинных утверждений про нее тоже будет теорией Th(S). Причем, эта теория будет полна, то есть любое утверждение будет либо ложным, либо истинным. Для любой множества утверждений Phi можно построить класс моделей Mod(Phi), для которых ее утверждения истины. Если класс моделей можно построить как Mod(Phi), то оно называется элементарным классом. Если множество моделей можно взять конечным, то мы получим сильный элементарный класс. Например, класс всех групп будет сильным элементарным классом теории групп (конечное множество аксиом на языке групп). Для класса моделей K тоже можно построить теорию Th(K) всех истинных про них утверждений, но скорее всего не полную. Эти операторы Th и Mod задают связность Галуа между упорядоченными классами множеств утверждений и классов структур. Причем, замкнутыми элементами тут будут именно теории и элементарные классы. Милете определяет "характеристическую функцию" I(phi,n) утверждения phi как число неизоморфных структур кардинальности n для которых верно phi. Тогда спектром высказывания phi называется множество натуральных чисел n, таких что I(phi,n) не равно 0, то есть имеются модели кардинальности n. Вопрос о том замкнуто ли множество всех спектров под операцией дополнения является открытым. Оказывается этот вопрос эквивалентен вопросу теории сложности вычислений NE = сo-NE, где NE это класс задач с суб-экспоненциальной сложностью. В более сложной теории моделей рассматриваются и спектры теорий. Удивительное результаты связаны со свойством убирания кванторов теории. Это свойство, что у любого утверждения есть эквивалентная формула без кванторов. Кажется, что это очень сильное свойство. Тут много удобных результатов. Например, любое определимое множество для модели такой теории можно задать формулой без кванторов. И если есть структура которая вкладывается во все модели этой теории, то эта теория полна. Например алгебраически замкнутые поля обладают свойством убирания кванторов. И если добавить дополнительное утверждение про характеристику поля, то мы получим полную теорию. Отсюда, в частности следует, что определимые подмножества комплексных чисел в языке колец просто устроены: так как можно использовать формулы без кванторов, то это алгебра порождённая множествами корней полиномов с целыми коэффициентами. Обычно во всех вопросах тут мы сталкиваемся с одним языком и разными структурами. Но можно рассмотреть и взаимодействие разных языков в рамках логики первого порядка. Например, можно расширить старый язык добавляя туда определения и псевдо-определения на старом языке и не получить ничего нового кроме синтаксиса. Можно говорить еще об интерпретации одних теорий в рамках теорий на другом языке. Интерпретируемость позволяет построить что-то вроде иерархии сложности теорий. Некоторые более продвинутые источники про связь между логикой первого порядка, теорией моделей и теорией Галуа: https://press.uchicago.edu/ucp/books/book/distributed/G/bo6166783.html (развитие темы со связностью Галуа) https://home.mathematik.uni-freiburg.de/ziegler/preprints/CaLaPiZi-Gal-1.6.pdf https://arxiv.org/abs/1511.05541 Link 22 comments|Leave a comment

navigation [ viewing | most recent entries ] [ go | earlier ]