Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2010-03-01 17:38:00
Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: tired
Музыка:Вася Ложкин Рокындроль Бэнд -- Звериный оскал идиотизма
Entry tags:math, mccme

Листок 4 по анализу (второй курс)
Вот, кстати, листочек по анализу
для второго курса в прошлую пятницу:
http://verbit.ru/MATH/PDE/pde-4.pdf
Про то, почему дифференцирования кольца
гладких функций это векторные поля.

Более старые листочки тоже поправил,
[ 1 | 2 | 3 ]

И еще ведомость.

Кстати, оказалось гораздо проще
рассказывать анализ на многообразиях как
алгебраическую геометрию, то есть с пучками.
Пучки, конечно, нелегко умом постигнуть, но
зато не нужно писать в адских количествах
атласы с координатами, индексы и частные
производные, так что суммарно получается
проще и практически без формул.

Также провижу нешуточную экономию, если
придется после изучать алгебраическую
геометрию.

Привет


(Добавить комментарий)


[info]xaxam
2010-03-01 18:40 (ссылка)
А что с функциями/полями конечного класса гладкости будешь делать?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-03-01 22:08 (ссылка)
А ничего, у них нет дифференцирований вообще.
То есть просто нет.

Интересно, какой у них модуль кэлеровых дифференциалов.

Если по уму, гладкие многообразия класса i можно через
сглаживающие ядра превратить в гладкие класса \infty,
а негладкие нельзя, но у них касательных расслоений
вроде бы и нет.

Отдельный вопрос - есть ли способ строить касательное
расслоение прямо для липшицева многообразия? Классы Понтрягина
там как-то определяются, то есть наверное и касательное
расслоение можно изобрести. Было бы занятно (и решило бы
например гипотезу Новикова в PL-случае).

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]shribavavsenahu
2010-03-01 23:01 (ссылка)
Kak opredelyat' kasatel'nye rassloeniya k topologicheskim mnogoobraziyam pridumal Milnor (doklad na ICM 1962; i byla esche stat'ya primerno pro to zhe, kazhetsya, v odnom iz pervyh vypuskov Topology). Opredelenie takoe: kasatel'noe rassloenie k M^n -- eto rassloenie so sloem R^n so strukturnoi gruppoi, raznoi gomeomorfizmam, sohranyayuschim 0, total'noe prostranstvo kotorogo mozhno vlozhit' v dekartov kvadrat, tak chto nulevoe sechenie perehodit v diagonal' i kompoziciya vlozheniya i proekcii na pervyi somnozhitel' -- proekciya rassloeniya.

Takie rassloeniya ne obyazatel'no vektornye. Ih mozhno linearizovat' (reducirovat' strukturnuyu gruppu k GL(n,R)) bolee-menee togda, kogda mnogoobrazie dopuskaet gladkuyu strukturu. Po krainei mere, v razmernosti 5 i vyshe klassy izotopii linearizacii kasatel'nogo rassloeniya biektivno sootvetstvuyut klassam izotopii sglazhivanii samogo mnogobraziya.

Было бы занятно (и решило бы
например гипотезу Новикова в PL-случае).

A eto pochemu?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-03-02 00:04 (ссылка)
Потому что желаем доказать, например, что классы Понтрягина являются
инвариантами PL-гомеоморфизма, например (если это верно вообще,
кажется, верно, и вроде даже есть какие-то доказательства, но детали
я не помню).

Для липшицевых многообразий, кажется, была тоже
какая-то конструкция классов Понтрягина, но я не видел
публикаций.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]shribavavsenahu
2010-03-02 05:51 (ссылка)
Потому что желаем доказать, например, что классы Понтрягина являются
инвариантами PL-гомеоморфизма

V smysle?

(Racional'nye) klassy Pontryagina PL-mnogoobraziya i tak topologicheski invariantny, t.k. BPL-->BTOP induciruet izo v kogomologiyah s koefficientami, gde est' 1/2. A celochislennye zavisyat ot gladkoi struktury (dlya gladkih). Ili rech' o chem-to esche?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-03-02 13:08 (ссылка)
>A celochislennye zavisyat ot gladkoi struktury (dlya gladkih).

А если две гладкие структуры липшице-эквивалентны,
будут ли у них одни и те же классы Понтрягина?

Вроде какая-то формула для Понтрягина на липшицевых
многообразиях имеется. Было бы занятно иметь прямую геометрическую
конструкцию.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]akater
2010-03-02 22:04 (ссылка)
> прямо для липшицева многообразия

Чёрт, я и не знал, что они определены; давно пытался разузнать определение. Не знаю, почему не находил. А анализ на них делают?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-03-02 22:11 (ссылка)
Ну, какой-то делают, кажется.
Меня в свое время шокировало, что когомологические классы,
которые там строят, являются когомологиями Масси
(единственный, кажется, случай употребления когомологий
Масси вне point-set topology).

Вот ссылки
D. Sullivan, Hyperbolic geometry and homeomorphisms, Geometric Topology, Academic Press, New York, 1979, pp. 543-­555.

D. Sullivan and N. Teleman, An analytic proof of Novikov's theorem on the rational Pontrjagin classes, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 58 (1983), 79­-81.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2010-03-01 21:26 (ссылка)
Почини наконец шрифты в ТеХе. Заебал уже.

(Ответить)


[info]tristes_tigres
2010-03-01 21:54 (ссылка)
Всё пучком ?

(Ответить)


[info]dmitri_pavlov
2010-03-02 03:27 (ссылка)
>Кстати, оказалось гораздо проще
рассказывать анализ на многообразиях как
алгебраическую геометрию, то есть с пучками.
Пучки, конечно, нелегко умом постигнуть, но
зато не нужно писать в адских количествах
атласы с координатами, индексы и частные
производные, так что суммарно получается
проще и практически без формул.

Есть книжка, в которой используется именно этот подход:
S. Ramanan, Global Calculus. Почти без координат.

Но ввиду аффинности всего и вся в принципе можно и вовсе
без пучков излагать, хотя есть и исключения — комплекс де Рама
точен как последовательность пучков, и это является одним из простых
доказательств того, что когомологии де Рама изоморфны обычным (пучковым)
когомологиям.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-03-02 03:39 (ссылка)
Здорово, надо посмотреть.

Что до пучков, обойтись можно, но без них, например,
довольно трудно доказать, что непрерывное
отображение, которое переводит гладкие функции
в гладкие, является гладким морфизмом многообразий.

То есть морфизм следует определить как морфизм
окольцованных пространств, чтобы можно было
легко ограничивать морфизм на открытые
подмножества.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2010-03-02 06:39 (ссылка)
В определении 4.1 написано "Пусть R -- это кольцо над полем k".
Это чем-то отличается от "алгебры над полем k"? Спасибо!

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-03-02 12:53 (ссылка)
У нас там "алгебра" считается
некоммутативная, "кольцо" коммутативное.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2010-03-02 13:19 (ссылка)
"кольцо над полем" странно звучит.
А есть "кольцо над кольцом"?

Нет ли здесь какого либо глубокого self-reference?
Типа парадокс лжеца.

Это вопросы дилетанта.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2010-03-02 19:14 (ссылка)
Спасибо!

(Ответить) (Уровень выше)

Учебник
[info]berkh04.livejournal.com
2010-03-02 10:32 (ссылка)
Миша, имеются сведения что вы написали учебник по математике. Не могли бы вы сказать где его можно скачать?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

Re: Учебник
[info]tiphareth
2010-03-02 12:52 (ссылка)
Вот, пожалуйста
http://verbit.ru/MATH/UCHEBNIK/top-book.pdf

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Учебник
[info]yfrolov.livejournal.com
2010-03-02 22:28 (ссылка)
Спасибо большое!

(Ответить) (Уровень выше)


[info]protey-009.livejournal.com
2010-03-04 01:35 (ссылка)
Я не математик, но правильно ли я понимаю вот этот кусок
"...Пучки, конечно, нелегко умом постигнуть, но
зато не нужно писать в адских количествах
атласы с координатами, индексы и частные
производные, так что суммарно получается
проще и практически без формул..."
что можно получить "решение" а потом его на конкретную сетку натянуть?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-03-04 01:50 (ссылка)
Ваш вопрос мне совершенно непонятен. Какую такую сетку?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]protey-009.livejournal.com
2010-03-05 01:45 (ссылка)
Жаргон :-) Имеется в виду конкретная геометрия задачи (например, деформация конкретной детали под нагрузкой, течение, тепло-массоперенос и т.д.) для которой строится расчетная сетка, задаются граничные условия и др. Потом на этой сетке проводят расчет.
Мне кажется, что если заранее получить некое общее решение, которое затем адаптировать к конкретной геометрии, то данный подход позволил бы снять часть недостатков присущих распространенным инженерным расчетным методам.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-03-05 15:13 (ссылка)
Не уверен, что пучки могут тут быть полезны,
разве что - для общего развития

(Ответить) (Уровень выше)

Листок 1
(Анонимно)
2010-03-05 12:21 (ссылка)
Вроде определения морфизма окольцованных пространство надо подправить.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

Re: Листок 1
[info]tiphareth
2010-03-05 15:12 (ссылка)
Да вроде все нормально же

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Листок 1
(Анонимно)
2010-03-05 22:31 (ссылка)
вроде композиция морфизма и функции написана в обратном порядке.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Листок 1
[info]tiphareth
2010-03-05 22:51 (ссылка)
Я всегда пишу в обратном порядке
так удобнее

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Листок 1
(Анонимно)
2010-03-05 23:10 (ссылка)
Простите, не знал.

(Ответить) (Уровень выше)

Re: Листок 1
[info]ulysses4ever.livejournal.com
2010-03-21 21:57 (ссылка)
Вроде бы всё-таки надо подправить: «... для каждого открытого множества U\subset N и функции f \in \mathcal F (U), функция \Psi \circ f лежит в кольце \mathcal F(\Psi ^{-1} (U))» — нужно добавить \prime (штрих): «... для каждого открытого множества U\subset N и функции f \in \mathcal F\prime (U), функция \Psi \circ f лежит в кольце \mathcal F(\Psi ^{-1} (U))».

(Ответить) (Уровень выше)