1) независимо от причин происшедшего, раз Вы огорчились и обиделись, я приношу свои искренние извинения - я никого не хотел обидеть и вообще эта запись воспринималась мной не как сатира, высмеиваюшая какие бы то ни было пороки - а как чистый юмор, который должен был порадовать читателей - и, кажется, отчасти достиг своей цели.

2) Если Вас интересует математическое содержание задачи, напишите - я с удовольствием попытаюсь его прокомментировать более понятно.

3) "тон Вашей записи" - это, как мне кажется, всё-таки некоторое преувеличение, в записи, собственно говоря, нет ни одной моей буквы (а только цитаты)

4) Как Ваш коллега по категории "человек на шестом десятке" я уже успел привыкнуть, что время от времени говорю забавные глупости, и рад, когда это получается удачно и доставляет другим возможность посмеяться (а иногда даже я понимаю, над чем)

5) Всего наилучшего и ещё раз прошу простить за невольную обиду...

Ну что ж, спасибо за откровенность. Значит, я не ошиблась. Я задала вопрос по математике, Вам этот вопрос показался "забавной глупостью", и Вы решили "доставить другим возможность посмеяться". Действительно, интересно, если участь что Вы -- преподаватель математики. Вы так поступаете со всеми учениками, которые просят пояснить задачку?

>>>> Если Вас интересует математическое содержание задачи, напишите - я с удовольствием попытаюсь его прокомментировать более понятно.

Это, конечно, очень трогатель, но спасибо, не надо. Вдруг ещё один шутник найдётся. Судя по всему среди Ваших читателй их хватает. А математическое содержание мне объяснила Юля. Собственно, для этого вопрос и задавался.

Осталось спросить, в чём же всё-таки заключается глупость?

чтобы это объяснить, надо сначала обсудить математическое содержание задачи - если Вы не хотите делать это публично, можно с помощью частных сообщений livejournalа. Какое было бы у неё решение, если вместо 2010 было бы, скажем, 20, 21 или 25?

Что же касается учеников, то, наверно, лучше спросить у них (например, у той же Юли) - но, как мне кажется, умение смеяться над собой полезно не только патеру Брауну, но и изучающим математику

Конечно публично. Иначе, какой из этого урок? Если не хочешь, чтобы над тобой смеялись, не задавай вопросов или задавай их "с помощью частных сообщений"? Так получается. Нет, Вы мне объясните математическое содержание этой задачи, а я Вам этическое. Мне кажется, это будет взаимополезный обмен. Этическое очень простое: умение смеяться над собой полезно. Умение смеяться над другим - вредно. Надеюсь, математическое не сложнее, а то ведь могу и не осилить.

Пока я вижу, что вроде 2010 не может быть квадратом, а 25 - может. Ну и Юля подсказала, что 2010 необязательно должно быть квадратом, это ложная дорога, по которой мы с тем школьником пошли. Но даже если результат -- квадрат, то, видимо, если не ошибаюсь, это всё равно можно рассмаривать, как частный случай общего решения. Проблема ещё в том, я не знаю, что такое полный квадрат и имеет ли тут значение слово "полный". Я тогда, прежде чем спросить, посмотрела в интернете, но нормального объяснения не нашла -- или не поняла его.

1) Полный квадрат - это просто квадрат целого числа (0=0*0, 1 = 1*1, 4=2*2 и так далее). Скажем, число 100 - это полный квадрат, а 104 - нет (потому что 10*10=100 мало, а 11*11=121 много)

2) Теперь вопрос: можно ли представить число 20 в виде суммы двух полных квадратов? а 21? а 25?

>>>> Теперь вопрос: можно ли представить число 20 в виде суммы двух полных квадратов? а 21? а 25?

Не знаю. Мне неизвестна теорема (аксиома? лемма?), которая позволяет здесь ответить. Ну, скажем, я знаю, что произведение двух отрицательных чисел всегда даёт положительное. А тут что?

Понятно, что можно посчитать на бумажке - но это какой-то очень... математический способ решения. Мне не нравится. Должна быть общая зависимость, мне кажется, которая как-то иначе выводится, не простым перечислением. Мало ли, 20 нельзя, а 2010 можно.

зависимость вне всякого сомнения есть - натуральное число n представляется в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда каждое простое число вида 4k+3 входит в n в чётной степени.

2010= 2*5*3*67. 67 - простое число вида 4k+3 и входит в 2010 в степени 1. Т.е. его степень вхождения нечётна. Значит, не представляется.

Но школьники это знать не должны, потому как это утверждение в школе не проходится.
Подробнее в Кванте
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1991/09/skazka_o_rozhdestvenskoj_teore.htm

Позвольте, но зачем же простое число 67, когда достаточно уже простого числа 3?

ну, про 3 я потом догадался. Не знаю, зачем :)

Спасибо, я посмотрю попозже. Тут в чём проблема: уже три человека предлагают мне решение с делением на 3. Ещё один предлагает посмотреть, а что будет, если 20, 21, 25. У меня такое ощущение, что это натасканные ответы и подходы. Видимо, в математической школе так научили: показали как решать задачки такого типа, и вот все решают. Иначе откуда вдруг 3? Почему не 23 или 123? Откуда это знать человеку, который не натаскан? Неоткуда. Такой человек рассуждает по-своему.

Из истории он знает, что у вавилонян были таблицы с недробными значениями х и y. Они им нужны были для строительства, т.к. описывали прямоугольные треугольники -- основной элемент строительства, крыши там всякие, стены. A вырезать или лепить недробную длину, естественно, проще, да и надежней - меньше шансов, что крыша будет кривой. Возникает вопрос: было ли в этих вавилонских таблицах число 2010? Тут нужно рассуждать, как вавилонянин, которому нужно нарезать эти треугольники. Что делает вавилонянин?
Наверное, он берёт и рисует на песке сетку в клеточку размером в одну вавилонсую меру. Дальше он чертит круг с радиусом, равным гипотенузе нужного ему треугольника, т.е. корень квадратный из 2010 (таблицы квадратных корней у него имеются, это нам тоже известно из истории). Круг даёт ему великое множество треугольников, и он смотрит, какие из них имеют не дробные х и y, т.е. такие, чьи катеты идут ровно по линеечке. Примерно так:

И никаких тебе делений на 3. И никаких вопросов "а не нужен ли тебе треугольник с гипотенузой 20, 21 и 25?". Это решение я и пыталась думать. Очень бы хотелось понять, почему это глупость?

Конечно, конкретного ответа я дать не могу. Но мне, как не математику он, честно говоря, и не очень интересен. Мне интересней продумывать то, что продумываю я.

насчёт натасканности : да, считается, что ребёнок в школе получил некие умения, которых у него до этого не было. И рассуждать он тоже должен не так, как человек, который ничего этого не знает. Всё же математика ушла вперёд со времён вавилонян.

То, что предлагаете Вы - никак не является доказательством. Представьте, что там не 2010, а 20000010. Тогда треугольник не нарисовать. А можно задаться вопросом - а какие целые n представляются в виде суммы двух квадратов? Это вавилонскими методами не решить никак.

Я не поняла, что там нужно что-то доказать. Там ведь написано "можно ли представить". Я и отвечаю: если вершина треугольника будет в точке пересечения клеточек и эта точка будет лежать на окружности - то можно представить. Как это решение отличается от компьютерной таблицы, которую засчитали? Написать программку, которая пройдётся по окружности и поищет точки совпадения, ненамного сложнее.

ну, это стандартно понимается так : надо доказать, что есть пример(например, предъявить его), или доказать, что примеров нет.
Иначе это вопрос не по математике.

Спорно - о математике ли ЕГЭ по математике или нет, но это уже о другом.

но имеется в виду не то, видимо... Можно показать, что если x^2+y^2 делится на 3(в нашем случает так и есть : 2010 делится на 3), то и x, и y делятся на 3. А тогда x^2 делится на 9, аналогично с y^2, а значит, x^2+y^2 делится на 9, что в нашем случае не так(2010 не делится на 9)

простое соображение - но речь тут, как видно из обсуждения, идет не понимании решения, а (пока) о понимании условия.

но для начала надо понять условие задачи - для чего и полезны простые примеры. Так что же будет с 20, 21 и 25? (Утомительных вычислений тут не требуется.)

Я не очень понимаю Ваш вопрос. Что значит "что же будет"?

представимо ли число 20 в виде суммы двух квадратов целых чисел? аналогичные вопросы для чисел 21 и 25.

20 и 25 вроде представимы, а 21 вроде нет.

но остаётся объяснить, как представимы 20 и 25 и почему не представимо 21.

20 - это 16 и 4, 25 - это 16 и 9, а почему непредставимо 21 я не знаю.

кстати, 25 ещё 5^2+0^2

но про 21 - у Вас есть полная уверенность (скажем, если бы кто-то предложил поспорить на большую сумму, Вы бы согласились) или есть сомнения?

Есть сомнения. Я понимаю, что можно написать на бумажке все варианты, но не вижу почему это так - потому что варианта не нашлось? Я не умею так думать, понимаете?

следовало бы выписывать на бумажке?

21 - 1
21 - 4
21 - 9
21 - 16

сомнения остаются и спорить бы Вы не рискнули? а почему? (отвлекаясь от того, хороша ли идея пари в принципе)

Не знаю. Может быть, потому что для того, чтобы быть уверенной, мне нужно вывести какую-то общую формулу... ну, типа (a && b ## c), и связать ряд закономерностей, и показать, что при ответе 21 закономерности противоречат друг другу. А я этого сделать не могу - не сообразить.

уверенности в том, что "найдено решение задачи", а в том, что враги неожиданно не предъявят два целых числа и их сумма квадратов окажется 21. Тут тоже сомнения?

Вроде бы вариантов для 21 всего 4 (или 5 с нулём), так что предъявить не должны. Но я не понимаю, к чему это всё ведёт. Мне тяжело, когда я не вижу, к чему это ведёт.

И ещё, может быть, нам не стоит тратить на это время? Бывают же люди, совсем неспособные к математике. Кто-то не умеет рисовать, у кого-то нет слуха, а кто-то не умеет решать задачки. Я понимаю, что у Вас, математика, это вызывает приступ смеха, но я уже доставила Вам и Вашим читателям удовольствие в этом смысле, и продолжать в таком духе мне не хочется. Я имею в виду слово "враги".

но мне кажется, что при достаточной настойчивости с обеих сторон можно было бы постепенно разобраться и в задаче, и в её решении - но, конечно, дело это не совсем простое - надо изучать деление с остатком, свойства арифметических операций с остатками, смысл логических операций и т.д. Ничего смешного я тут не предвижу, но распространение математических знаний - дело благое, так что я в принципе готов попробовать (естественно, если Вам в этом действительно хочется разобраться)

Я не пойму, мы закончили?

Солнышко, ты верни дневник.
Прости, я тут вас всех поздно нашла.

Ты же знаешь -- специалист подобен флюсу.
А что до математиков, ишь ведь как обижают
у вашего брата гуманитария ихнего Фоменку --
даром что вице-президент Академии. Смеются
над ним, охальники. И ты смеешься. А ему,
Фоменке, может, и обидно, что вы так, но по
большому счету начхать.

Насчет этой задачи, здесь не заговор математиков
или учеников матшкол. Они не то чтобы договорились
считать это -- доказательством, а это -- нет;
история концепции "доказательство", надо думать,
тебе известна, она древняя, и тут они ни при чем.

Ведь если бы Шень спросил тебя, представимо
ли число 21 в виде суммы двух одинаковых чисел --
твой ответ не состоял бы из списка вариантов?

Так что не надо этого "я не умею так думать",
все умеют и ты не лучше других. А что тебе тут
наговорили всякого -- ну ты зайди, например,
к кошководам и попробуй поговорить с ними
о кошках. Небось живой не уйдешь.

К кулинарам тоже можно заскочить, спросить про мясо по-французски.

>>> Ведь если бы Шень спросил тебя, представимо ли число 21 в виде суммы двух одинаковых чисел -- твой ответ не состоял бы из списка вариантов?

Ты провокатор. Я, конечно, ещё двести раз пожалею, отвечая тут, в
этом гнезде аспидов, но... Короче, нет, не состоял бы. Но это потому, что мне известна закономерность. Я знаю, что 21 - нечётное число, а значит, по определению, состоит их суммы чётного и нечётного. То есть, я с уверенностью могу сказать, что и 21, и 2100000021 непредставимо в виде двух одинаковых чисел. А с квадратами, кто знает. 21, может, и не представимо, а 2100000021 представимо. Поэтому -- только списоком.

Заодно уж соблюдём некоторые формальности:
Copyright: Настоящий текст запрещается читать, копировать, заучивать наизусть, цитировать и... в общем, вы поняли. Иначе смерть.

>Настоящий текст запрещается читать, копировать, заучивать наизусть, цитировать
>и... в общем, вы поняли. Иначе смерть.

Я готова к смерти! Где твое жало?

>Я, конечно, ещё двести раз пожалею, отвечая тут, в
>этом гнезде аспидов, но...

Видишь, Саша, ты сказал: "Птитца залетела в наш гадюшник," --
а культурные люди говорят вежливо: "гнездо аспидов".
И так во всем!

>Короче, нет, не состоял бы. Но это потому, что мне известна
>закономерность.

Я не сильна в терминологии, но мне почему-то представляется,
что закономерность -- вещь статистическая. А то, что
известно тебе о четных и нечетных числах, известно наверняка.
Это сведения из мира идей.

>Я знаю, что 21 - нечётное число, а значит, по определению,
>состоит их суммы чётного и нечётного.

Ну, согласись теперь, что "по определению" ты знать этого
не можешь. Ведь определение нечетного числа должно
определять это понятие через другие, уже определенные
или известные. А не через снова нечетное число
(и четное с ним).

Можно дать, например, такое определение: четное число --
то целое число, что представимо в виде суммы целого числа
двоек. А нечетное -- то целое, что непредставимо.

А из этого определения можно уже получить, что только
четное число представимо в виде суммы двух одинаковых.
Это не закономерность, а факт из платоновского железа.

Так же и с той задачей. Давай я возьму число и поделю
его на три. 7, например, это два раза по три и один
в остатке. А 6 делится нацело (ноль в остатке).
Если делю x на 3, какие остатки могу получить?

ЯЯЯЯяяя знаю. Можно я скажу? Вызовите меня!!!!!!

Если б Вам было можно, Вы бы не спрашивали.

>>>> определение должно определять через другие, уже известные [понятия]

Мда… "Давая определение, следи, дабы оно не обратилось супротив себя самого" (с) К. Прутков

>>> чётное то, что представимо в виде суммы целого числа двоек, а нечетное -- то, что непредставимо.

Потрясающе.

>>>> Если делю x на 3, какие остатки могу получить?

0, 1, 2

Но это не я. Ещё неделю назад hmvlgrs, когда я у доски стояла с красными ушами, не выдержал и кинул мне подробную шпаргалку, спасибо ему. Я не уверена, что всё поняла, но примерно так: в задачке всего одно число (2010). Смотрим, чем к нему зацепиться. Видим, делится на три, идём этим путём. 2010/3R0 => (x^2 + y^2)/3R0 => x/3R0 и у/3R0 => х^2 на 9 и y^2 на 9 => 2010 должно делиться на 9, а оно не делится. Вывод: если число делится на 3R0, оно непредставимо в виде суммы двух квадратов (??)

Тогда 21/3R0 непредставимо.

Теперь – почему представимы 20/3R2 и 25/3R1 и связано ли это с их остатками… Не знаю. Мысль остановилась. (Про 4К+3 hmvlgrs и nikaan писали).

Вроде понятно, но копни глубже – бог его знает.

Например, почему все так упирают на "поделим на три". Потому ли, что три - секретное приснопамятное математическое число и что на него не подели, тут же найдёшь ответ -- или потому что 2010 делится на 3? (Я начала с этого, т.к. для меня это логическая точка отсчёта, но не уверена. А вдруг 3 и вправду волшебное.)

Всё-таки найти своё решение и понять чужое – разные вещи. Мне кажется, лучше сначала продумать своё. Пусть оно будет громоздким (как тут выразились, «тупым») или неправильным, чужое запомнится лучше в сравнении и может по ходу выявить системные ошибки. Например, если бы ты сразу дала определение чётного-нечётного, оно бы благополучно просвистело мимо. А теперь я уже нескоро забуду, что определение не должно быть рекурсивным. Всё познаётся в сравнении, а не в сравнении не познаётся.

Прутков, конечно, ничего такого не говорил.

>2010/3R0 => (x^2 + y^2)/3R0 => x/3R0 и у/3R0

По-моему, тут еще все-таки есть над чем подумать.
Почему, если сумма (x^2 + y^2) делится на 3, то
x делится и y делится? В общем случае это неверно:
например, 1 + 2 делится на 3, а 1 не делится и
2 не делится.

Тут так можно думать: а пусть они не делятся.
Значит, дают ненулевой остаток. Хорошо, а что
это может быть за остаток?

>Например, почему все так упирают на "поделим на три".

Ну, просто никому неохота возиться именно с числом
2010. (21 еще туда-сюда, оно маленькое.) Хочется
отнести его по какому-нибудь простому признаку к
совокупности чисел, для которых, в силу этого
признака, легко понять, представляются они суммой
двух квадратов или нет.

А целые числа часто разбиваются на совокупности по
признаку делимости на какое-нибудь число (или если дают
один и тот же остаток). На 1 все делятся, 2 не
годится (хотя можно и тут посмотреть, что будет),
а 3 подходит.

Потом, дети, которые думали о числах, обычно знают,
что x^2 умеет только один остаток давать при
делении на 3 (или уж делиться сразу на 9). И это
им тогда сразу приходит в голову. Я знала в детстве,
хотя никогда не интересовалась математикой: просто
это забавно и приятно.

>А теперь я уже нескоро забуду, что определение не должно
>быть рекурсивным.

Не совсем так. Я, наверное, неудачно выразилась.
Бывают ситуации, когда определение вполне может
быть рекурсивным.

Ну, это как с определением русской национальности,
к которому К. Ю. Крылов, дорогой, всегда питал
сильные чувства: "Русский -- это тот, кого все
другие русские признают русским." Определение
хорошее и годное, точнее, оно будет годным в том
случае, если в нем будет к тому же указан хотя
бы один русский, признающий себя русским.

То есть, хорошее рекурсивное определение состоит
из двух частей:

(1) Крылов -- русский;
(2) русский -- это тот, кого все другие русские
признают русским.

Так определенное, множество русских вполне может
состоять из одного элемента, но это ничему не
противоречит: главное, что Крылов действительно
признает себя русским.

Прошу прощения, давно не спала и перепутала:
Крылов К. А., а не К. Ю. К тому же, забыла
проставить квадраты, правильно так:

*************************
Почему, если сумма (x^2 + y^2) делится на 3, то
x^2 делится и y^2 делится? В общем случае это неверно:
например, 1 + 2 делится на 3, а 1 не делится и
2 не делится.

Я пока не прочла, что ты написала. За ужином вдруг поняла, что была ошибка. И, кажется -- кажется -- в связи с ней поняла, почему 20 и 25 раскладываются.

Там, где сумма двух квадратов даёт в остатке 0, я дала вариант 0+0 для остатков слагаемых квадратов, и упустила вариант 1+2. Но остатка 2 у квадрата быть не может (может быть только 0 и 1). Тогда 20R2 расклаывается, т.к. его квадраты могут дать 1 и 1, а 25R1 -- 1 и 0.

А может, это всё и не так, иначе зачем такая сложная формула - 4k+3, что ли, не помню.

Сейчас почитаю, что ты написала -- и закончим на этом. Знания бесконечны, а я конечна. Спасибо, Юля.

Конечно, закончим. Только верни дневник.

Ошибка отлично подмечена!

Только вот насчет формулы: 4k + 3 -- это ведь число, которое
удобно делить на 4. Если бы было 4k -- разделилось бы
нацело. Получилось бы k. А 4k + 3 дает 3 в остатке.
А на 3 оно может давать любой остаток как раз.

Ну как: если k = 0, то 4k + 3 = 3 -- делится на 3.
Если k = 1, то 4k + 3 = 7, остаток 1.
Если k = 2, то 4k + 3 = 11, остаток 2.
И так далее.

Числа, которые делятся на 3, можно представить в виде
3k, где k -- целое, зато.