>Дык, ва-аще никакой разницы :) Ни по групповым, ни по
>спектральным свойствам. Обратные задачи и вовсе один в один

Донельзя смешное замечание. Посчитайте к примеру
размерность пространства гармонических спиноров
(решений уравнения Дирака) на каком-нибудь простом
пространстве. На группе Ли SU(3) например. Или найдите
минимальное ненулевое собственное значение оператора
Дирака.

А это задачи, центральные и в математике и в физике
(и вам неведомые, увы). Знание асимптотики решений
PDE на \R^n еще никому в подобных вопросах еще не помогло.

>Что нужно лично мне, то необходимо в обязательном порядке
>всем и каждому

Нужно для понимания современной научной литературы.
Сходите на http://arxiv.org к примеру.

Математика это язык, и к этому языку происходящее
на мехмате не имеет отношения с середины 1960-х.

Привет

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> найдите минимальное ненулевое собственное значение
> оператора Дирака.

?!! По моим сведениям, оператор Дирака, он... как бы помягче выразиться... немного неполуограниченный.

> А это задачи, центральные и в математике и в физике

Знаете, Вы мне сейчас очень напоминаете лузинских мастодонтов :)) Те тоже были уверены, что кроме сходимостей тригрядов на множествах разной меры в математике нет ничего заслуживающего внимания (а которые ещё живы, и посейчас в этом уверены).

> Сходите на http://arxiv.org к примеру.

Т.е. Вы хотите сказать, что все тамошние препринты поголовно ссылаются на теорему об индексе? :))

> Математика это язык

Математика — это наука. А язык — это богословие. И оно меня не привлекает совершенно; Вы уж меня за это простите, ладно?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Т.е. Вы хотите сказать, что все тамошние
> препринты поголовно ссылаются на
> теорему об индексе?

Математиков (людей, цитируемых на
MathSciNet) в мире в общей сложности 40 тысяч, из них
геометров тысяч 5. Думаю, что из этих 5 тысяч
4 знают теорему об индексе, и 2 тысячи ею
пользуются (в совершенно неожиданных контекстах:
в комплексном анализе или алгебраической
геометрии она часто нужна).

В общей сложности в архиве.орг есть
4540 статей, ссылающихся на формулу Атьи-Зингера.

>По моим сведениям, оператор Дирака,
> он... как бы помягче выразиться... немного
> неполуограниченный.

Это эллиптический оператор, а эллиптические
операторы имеют дискретный спектр
http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_operator

Привет

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> В общей сложности в архиве.орг есть
> 4540 статей, ссылающихся на формулу Атьи-Зингера.

Давайте теперь, что ли, возьмём общее число препринтов и оценим количество не ссылающихся на эту формулу?

> Это эллиптический оператор,
> а эллиптические операторы имеют дискретный спектр

Кому Вы парите мозги, Козюльский? (c) Во-первых, если кто и неэллиптичен, то как раз Дирак (символ у него ни разу не положительно определённый). Что, впрочем, и неудивительно: электроны и позитроны он задаёт куском, в одном флаконе (электронам отвечают положительные энергии, позитронам — отрицательные; оператор получается неполуограниченным). А во-вторых, оператор \(-y''\) на всей оси очень даже эллиптичен — символ \(p^2>0\) — а вот спектр у него чисто непрерывный.

Так что Вы хотели сказать этой Вашей тирадой? Проверить моё владение предметом, что ли?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Во-первых, если кто и неэллиптичен, то
> как раз Дирак (символ у него ни разу не
> положительно определённый).

Эллиптичность к положительной определенности отношения не имеет.
Эллиптический оператор - оператор, символ которого обратим
вне компактного множества.

Вот учебник
http://www.emis.de/monographs/gilkey/

Привет

(Reply to this) (Parent) (Thread)

В учебники меня тыкать не обязательно: я в матшколах не учился, а потому привычки рассуждать о вещах, в которых вообще не разбираюсь, не имею ;) С Дираком я действительно лажанулся (привык к чётным степеням, а у Дирака она 1, и потому тут "хорошее" поведение главного символа определяется обратимостью матрицы, а не знакоопределённостью квадратичной формы). А вот что касается дискретности спектра, то Вы таки забыли "малость": компактность области. Может, конечно, в струнной физике некомпактных многообразий и не рассматривают (не знаю и знать не особо рвусь), но вот в обычной, неструнной — сколько угодно.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Так я с этого и начал: определить размерность ядра
и минимальное ненулевое собственное значение Дирака
на каком-нибудь простом компактном многообразии.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Во-первых, минимальное по абсолютной величине, я так полагаю? Он ведь таки неполуограничен (с чего, в свою очередь, начал я).

Во-вторых, не вижу тут ни малейшей необходимости ни в Атье, ни в Зингере (вариационных принципов для СЗ выше крыши будет).

В-третьих, я не зря выше упоминал про корректные задачи: задача определения суммарной кратности на некоторой области спектра приближённо заданного оператора (т.е. у которого потенциалы etc. известны лишь с некоторой погрешностью) для приложений едва ли не более интересна, чем задача о точном нахождении спектра точно заданного оператора. И вот те же вариационные методы с такой задачей заведомо справятся, а как насчёт Атьи-Зингера?

В-четвёртых, на любой оператор (и оператор Дирака тоже) можно смотреть с тысячи разных сторон, и прямая спектральная задача — лишь одна из них. Ещё можно исследовать группу симметрий диффура; обратную спектральную задачу и решаемые на её основе нелинейные уравнения; задачу управления решениями и прочая, прочая, прочая. Со всех этих точек зрения уравнение Дирака тоже ничем не будет отличаться от уравнения теплопроводности?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

В том же учебнике можно посмотреть про эллиптичность Дирака,
и про дискретный спектр эллиптических операторов

(Reply to this) (Parent)