Below are the 20 most recent journal entries recorded in azrt's LiveJournal:

[ << Previous 20 ]

Wednesday, April 7th, 2021
5:59 pm	THUSES.COM http://thuses.com/ Сделали со Славой Наприенко минимальную версию сайта для публичного обсуждения математики. Идея — создать онлайн пространство для профессионального обсуждения математических статей и идей. Сейчас на сайте пока можно только писать посты и оставлять комментарии. Позже должна появиться возможность публично комментировать статьи на архиве (что имхо является намного более интересной вещью). В идеале, конечно, глобальной целью нужно ставить уничтожение дегенеративной культуры, когда люди боятся комментировать чужие статьи и находить там ошибки. Но пока это всё недоступно, зато можно писать разные математические посты в одном месте и комментировать их. Перевёл (криво) пару из своих старых математических постов с тифаретника туда. (10 Comments |Comment on this)
Tuesday, February 23rd, 2021
4:43 pm	Эксты в категории коммутативных групповых схем. У меня с бакалавриата есть травма. Когда я пытался понять какие-либо нетривиальные результаты про эллиптические кривые, там быстро возникали плоские конечные групповые схемы. А понять любые рассуждениями с ними я тогда не был в состоянии: определение точной последовательности очень странное, как проверять на практике непонятно, как опредять эксты тоже понять нельзя, ну и т.д. Эти вопросы почему-то почти никого рядом со мной тогда не волновали. Они считались второстепенной важности, если не третьестепенной. А где с этим можно разобраться я не знал (да и вряд ли бы смог). Но оказывается эти вопросы действительно требуют повышенной аккуратности. В чём проблема? Рассмотрим категорию C коммутативных групповых схем над полем k. Эта категория действительно является абелевой, хотя это и требует нетривиальной науки, чтобы это доказать (почему существуют факторы? Как правильно определять эпиморфизмы?). Но при этом эта категория не содержит достаточного количества ни проективных, ни инъективных объектов. Поэтому не совсем понятно как, например, определять старшие эксты Ext^i(G, H). Обычно предлагается определять по Йонеде, то есть через классы расширений H при помощи G длины i. Я так понимаю, этот подход восходит к Серру и изложен в книжке Оорта "Commutative Group Schemes". У этого подхода есть несколько очевидных недостатков: 1) Непонятно имеется ли длинная точная последовательность экстов, ассоциированная с короткой точной последовательностью групп. Я не знаю в какой общности это верно. 2) Непонятно как доказать хоть одно нетривиальное утверждение про старшие эксты. 3) Очень плохо обобщается, если база не является полем. Дальше я эти эксты буду обозначать как Ext^i_Y(G, H). Решение: Разумным решением всех этих проблем является рассмотреть вложение категории С в категорию всех пучков абелевых групп на fppf сайте Spec k (ну или произвольной базы S). Заметим, что вложение C --> Ab(Spec k_fppf) является точным вложением, и на самом деле должно быть определением точной структуры на C. Теперь категория пучков абелевых групп на любом сайте является категорией Гротендика, поэтому имеет достаточно инъективных объектов. Поэтому можно просто определить эксты в объемлющей категории всех пучков абелевых групп. Я буду эту группу экстов называть Ext^i(G, H). Насколько я понимаю, это определение восходит к Гротендику и SGA 3. Эта конструкция очевидно функториальна по обоим группам и по базе. Очевидно, имеется длинная точная последовательность экстов и вообще всё, что хотелось бы иметь. Единственная проблема, что не очень понятно как доказывать что-либо нетривиальное в таком определении. Плюс минус как обычно: из точных последовательностей сводя всё к Ext^1 и Hom. Единственное нетривиальное утверждение, которое нужно доказать следующее: Теорема: Пусть G и H две аффинные коммутативные групповые схемы над полем k. Тогда естественное отображение Ext^1_Y(G, H) --> Ext^1(G, H) изоморфизм. Реально нужно показать, что любое расширение в fppf-пучках представимо групповой схемой. Это следует из эффективности плоского спуска для аффинных морфизмов и явного описания эпиморфизмов коммутативных групповых схем. Вопрос: Верно ли что отображение Ext^i_Y(G, H) --> Ext^i(G, H) является изоморфизмов для любого i и любых двух аффинных групповых схем G и H. Оказывается, что нет! Это совершенно неверно. Дальше я приведу пример, который придумал Брин. Теорема: (Oort, Commutative Group Schemes, следствие из Corollary 8.7) Пусть G -- конечная групповая схема над алгебраически замкнутым полем k положительной характеристики, тогда Ext^i_Y(G, G_m)=0 для i>0. Я не вполне понимаю это доказательство. Но чтобы показать, что эксты не совпадают, достаточно построить конечную групповую схему над алгебраически замкнутым полем с Ext^2(G, G_m)\neq 0. Это мы и будем делать. Утверждение: Пусть k -- алгебраически замкнутое поле характеристики 2, тогда Ext^2(\alpha_2, G_m) не равно нулю. Замечание: На самом деле контрпример можно построить в любой положительной характеристике. Далее я попробую объяснить это вычисление. Мне потребуется следующий комплекс для абстрактной коммутативной группы G A(G)^i = 0 для i \geq 0, A(G)^{-1} = Z[G] группа порождена элементами вида [x], A(G)^{-2} = Z[G^2] группа порождена элементами вида [x|y] (опросто обозначение), A(G)^{-3} = Z[G^3] x Z[G^2] группа порождена элементами вида [x|y|z] и [x||z], A(G)^{-4} = Z[G^4] x Z[G^3] x Z[G^3] x Z[G] группа порождена элементами виде [x|y|z|w], [x||y|z], [x|y||z] и [x|||y] с дифференциалами d^{-1}= 0 d^{-2}([x|y]) = [x]-[x+y] - [y] d^{-3}([x|y|z]) = [y|z] - [x+y|z] + [x|y+z] - [x|y], d^{-3}([x||y])= [x|y]-[y|x] d^{-4}([x|y|z|w]) = [y|z|w] - [x+y|z|w] + [x|y+z|w] - [x|y|z+w] + [x|y|z], d^{-4}([x||y|z]) = [x||y] - [x||y+z] + [x||z] - [x|y|z] + [y|x|z] - [y|z|x] d^{-4}([x|y||z]) = [x||z] - [x+y||z] + [y||z] + [x|y|z] -[x|z|y] + [z|x|y], d^{-4}([x|||y]) = - [x||y] - [y||x] Комбинаторика этого комплекса несколько загадочна для меня, но утверждается (Картан, Эленберг-Маклейн) что когомологии этого комплекса считают стабильные гомологии пространства Эленберга-Маклейна (что тоже пока является загадкой для меня). Мы будем использовать в качестве блэк бокса следующие вычисления (в этих размерностях можно проверить руками): H^{-1}(A(G)^*) ~= G, H^{-2}(A(G)^*) ~= 0, H^{-3}(A(G)^*) ~= G/2G. Кроме того очевидно, что мы можем написать подобный комплекс для любого пучка абелевых групп F и получить \H^{-1}(A(F)^*) ~= F, (\H^i означает пучок когомологий комплекса (ker/im)) \H^{-2}(A(F)^*) ~= 0, \H^{-3}(A(F)^*) ~= F/2F. Теперь положим G=\alpha_2 и напишем спектралку для экстов E^{p,q}_2=Ext^p(\H^{-q}(A(G)^*), G_m) => Ext^{p+q}(A(G)^*, G_m). Заметим, что члены комплекса A(G)^* G_m-ацикличны, то есть Ext^i(A(G)^j, G_m)=0 для i>0. Достаточно доказать, что Ext^i(Z[G^j], G_m)=0 для i>0, но Ext^i(Z[G^j], G_m)=H^i_{fppf}(G^j, G_m)=H^i_{et}(G^j, G_m) так как G_m гладкая групповая схема. Но G^j конечная схема с алг. замкнутым полем вычетов, поэтому старшие этальные когомологии любого пучка зануляются. Поэтому Ext^n(A(G)^*, G_m) можно считать как n-ые когомологии комплекса Hom^*(A(G)^*, G_m). Теперь имеем, что в спектралке E^{3, 0}_2=0 так как \H^{0}(A(G)^*)=0 по построению, E^{1,2}_2=Ext^1(\H^{-2}(A(G)^*), G_m)=0 так как \H^{-2}(A(G)^*) из вычисления выше. E^{0,3}_2=Hom(\H^{-3}(A(G)^*), G_m)=Hom(G/2G, G_m)=Hom(\alpha_2, G_m)=0, так как \alpha_2 унипотентна, а G_m мультипликативного типа. Кроме того легко видеть, что E^{2, 1}_2 ни с чем не может сократиться, поэтому Ext^2(G, G_m)~= Ext^2(\H^{-1}(A(G)^*), G_m) ~= H^3(Hom^*(A(G)^*, G_m)). То есть достаточно построить ненулевой элемент в третьих когомологиях комплекса Hom^*(A(G)^*, G_m). Hom^3(A(G)^*, G_m) = Hom (Z[\alpha_2^3], G_m) \oplus Hom (Z[\alpha_2^3], G_m) = H^0(\alpha_2^3, G_m) \oplus H^0(\alpha_2^3, G_m) = (k[x,y]/(x^2,y^2))^* \oplus (k[x,y,z]/(x^2,y^2, z^2))^* То есть любой элемент представлен двумя функциями (f,g) и аналогично можно видеть, что дифференциал лежит в Hom^4(A(G)^*, G_m)=(k[x,y,z,w]/(x^2,y^2,z^2,w^2))^* \oplus (k[x,y,z]/(x^2,y^2,z^2))^* \oplus (k[x,y,z]/(x^2,y^2,z^2))^* \oplus (k[x,y]/(x^2,y^2))^*. Утверждается, что для любого с\in k, элемент (1, 1+cxy)\in (k[x,y]/(x^2,y^2))^* \oplus (k[x,y,z]/(x^2,y^2, z^2))^* есть коцикл, который не является кограницей. Это формальное вычисление, которое использует только определение комплекса выше. Я покажу только где используется что характеристика 2. 4-ая координата дифференциала d(f,g) есть h(x,y)=g(x,y)^{-1}g(y,x)^{-1}\in (k[x,y]/(x^2, y^2))^*. В нашем случае получается (1-cxy)(1-cxy)=1-2cxy=1 так как характеристика есть 2! Таким образом мы построили ненулевые элементы в Ext^{3}(A(G)^*, G_m)=H^3(Hom^*(A(G)^*, G_m)) и показали, что Ext^{3}(A(G)^*, G_m)=Ext^2(G, G_m). Из чего следует, что Ext^2(G, G_m) не равно нулю для \alpha_2! Комбинируя с результатом Оорта, получаем что Ext^2(\alpha_2, G_m)\neq Ext^2_Y(\alpha_2, G_m). (2 Comments |Comment on this)
Saturday, February 20th, 2021
4:16 pm	Контрпример к обобщению теоремы Лазара. Теорема: (Lazard) Пусть R (коммутативное) кольцо и M -- плоский R-модуль. Тогда M является фильтрованным копределом свободных модулей конечного ранга. Доказательство теоремы Лазара не гарантирует, что свободные модули конечного ранга можно выбрать подмодулями модуля М. Вопрос: Можно ли любой плоский модуль представить как фильтрованный копредел свободных подмодулей конечного ранга. Похожий вопрос у меня спросил Ярик Хроменков (в более разумной форме). Ниже я напишу несколько очевидных контпримеров к этому вопросу, несколько попыток исправить это утверждение, и контрпримеров к этим исправлениям. По-видимому, никакая форма вопроса выше не имеет положительного ответа. Контрпример: Достаточно взять R= \Z \oplus \Z и M = \Z \oplus 0. Это проективный R-модуль, который (очевидно) не содержит свободных ненулевых R-подмодулей. Вопрос 2: Что если M строго плоский модуль? Контрпример 2: Достаточно взять такое же кольцо R=\Z \oplus \Z и M' = M \oplus R, где M -- модуль из предыдущего контрпримера. Вопрос 3: Что если требовать представить плоский R-модуль как копредел проективных подмодулей конечного ранга? Два предыдущих глупых контрпримера не годятся (модули M и M' сами проективны). Но это утверждение всё равно не верно. Я дальше напишу мою интерпретацию примера, который мне рассказал Бхатт. Пусть S -- произвольное проконечное множества без изолированных точек (например, S=\Z_p). Тогда возьмём в качестве кольца R кольцо С(S, F_2) -- непрерывных функций из S в F_2. А в качестве модуля M -- локалькое кольцо любой точки x\in Spec R. Утверждается, что M плоский R-модуль (очевидно), который не содержит ни одного проективного подмодуля. Утверждение 1: Имеется естественный гомеоморфизм S ~= |Spec R|. Действительно, если S -- конечное множество, то утверждение очевидно. Теперь пусть S = lim S_i является представление S как кофильтрованного предела конечных множеств (если S=Z_p, то S_i=Z/p^i Z). Тогда C(S, F_2)= C(lim S_i, F_2)= colim C(S_i, F_2). Значит Spec С(S, F_2)= Spec colim C(S_i, F_2)= lim Spec C(S_i, F_2). Наконец, взятие подлежащего топологического пространства в схемах коммутирует с фильтрованными пределами по системам с аффинными отображениями перехода, поэтому |Spec C(S, F_2)| = lim |Spec C(S_i, F_2)| = lim S_i = S. Утверждение 2: Кольцо R имеет размерность Крулля 0. Действительно, |Spec R| ~= S, поэтому там нет никаких специализаций. Поэтому |Spec R| имеет размерность 0. Значит, R имеет круллевскую размерность 0. Утверждение 3: Для любой точки x\in Spec R, локальное кольцо \O_{X,x} ~= F_2 как абелева группа. Действительно, кольцо R не имеет нильпотентов. Поэтому его локализация \O_{X,x} не имеет нильпотентов. Более того, \O_{X, x} имеет круллевскую размерность 0 как локализация кольца размерности 0. По определению \O_{X, x} имеет единственный максимальный идеал, он же единственный простой идеал, так как кольцо размерности 0. Значит \m_x = nil(\O_{X,x})= (0) ибо \O_{X,x} не имеет нильпотентов. Ну а значит, что \O_{X,x} имеет единственный простой идеал, который (0), то есть \O_{X,x} есть поле. Поле вычетов \O_{X,x} является очевидно (из конструкции) F_2, а так как \O_{X,x} само уже поле, то получаем \O_{X, x} ~= F_2 как абелевы группы. Утверждение 4: \O_{X, x} не содержит ненулевых проективных R-подмодуей конечного ранга. Действительно, \O_{X,x} как множество состоит из двух элементов, поэтому оно имеет два подмодуля: семя самого и нулевой подмодуль. Поэтому достаточно доказать, что \O_{X, x} не является проективным R-модулей. Но это очевидно, так как Supp \O_{X, x}= x, то есть rk_x \O_{X, x}=1, но rk_y \O_{X,x}=0 для любого y\neq x. Так как ранг проективного модуля конечного ранга локально постоянен получаем противоречие (тут используется, что x не изолированная точка S). Утверждение 5: \O_{X,x} плоский R-модуль, но не является фильтрованным копределом проективных подмодулей конечного ранга. Очевидно из всего выше. \O_{X, x} плоский R-модуль, так как локализация R. Но не содержит вообще ненулевых проективных подмодулей. Замечание Кольцо R не является нётеровым (например, потому что Spec R имеет бесконечное число неприводимых компонент). Вопрос 4: Существует ли контрпример к Вопросу 3 с нётеровым кольцом R? Я думаю, что контрпример должен сущестовать. Но не знаю ни одного явного примера. (3 Comments |Comment on this)
Thursday, January 7th, 2021
6:30 pm	Раскол в либертарианской партии США В ЛП УС похоже произошёл раскол. Мизесианцы отделились от кохианцев (точнее хотят устроить takeover). Довольно похожи на световскую версию ЛПР. https://twitter.com/LPMisesCaucus/status/1346937900605313027?s=09 Очень хорошие, очень на них надеюсь. (2 Comments |Comment on this)
Friday, November 6th, 2020
1:21 am	Я сумасшедший фанатик очень опасной экстремальной идеологии Путинский министр Милов тут решил выписывать либертарианцев из русских оппозиции. Хз кто этого дегенерата-путиноида туда вписал, абсолютнейший выродок. Пора собирать, конечно, списки представителей русской "оппозиции", которые сейчас поддерживают американский вариант голосования на пеньках. С этими людьми нельзя сотрудничать в ПРБ. (20 Comments |Comment on this)
Tuesday, August 4th, 2020
12:28 am	Генератор вс Классический Генератор Пример генератора в трингулированной категории, который не является классическим генератором. Прежде чем строить пример, я напомню определения. Определение 1: Элемент P триангулированной категории D называется генератором, если любой K\in D с Hom(P[i], K)=0 для всех i\in Z, изоморфен нулевому объекту. Определение 2: Элемент P триангулированной категории D называется классическим генератором, если минимальная полная, насыщенная (замкнутая относительно прямых слагаемых) триангулированная подкатегория D, содержащая P, является всей категорией D. Пример: Пусть R - кольцо, тогда модуль R[0] является классическим генератором в ограниченной производной категории D^b(R). При этом R является генератором в неограниченной производной категории D(R). Легко видеть, что любой классический генератор является обычным генератором. Вопрос: Верно ли обратное? Ответ: (Очевидно,) Нет. Пример выше показывает, что R[0]\in D(R) генератор, не являющийся классическим генератором. Более разумный вопрос можно ли построить контрпример для ``ограниченных категорий''. Контрпример очень простой. Возьмём в качестве нашей категории D^b_{coh}(Z_p) производную категорию комплексов над целыми п-адическими числами Z_p с конечномерными когомологиями. Тогда F_p[0]\in D^b_{coh}(Z_p) является генератором, но не является классическим генератором. Утверждение 1: Модуль F_p[0] является генератором в D^b_{coh}(Z_p). Доказательство: Допустим Hom(F_p[i], M)=0 для любого i\in Z. Тогда заметим, что (производно) двойственным модуль F_p^{\vee}:=RHom(F_p, Z_p) изоморфен F_p[-1] (легко видеть из резольвенты Z_p -p-> Z_p --> F_p). Тогда Hom(F_p[i], M)=H^{-i}(RHom(F_p, M))=H^{-i}(F_p^{\vee} \otimes^L M) = H^{-i}(F_p[-1] \otimes^L M)=H^{-i-1}(F_p \otimes^L M). Поэтому условие на зануление всех Hom(F_p[i], M) влечёт, что F_p\otimes^L M = 0. Легко видеть из леммы Накаямы, что это влечёт M = 0. А значит F_p действительно генератор. Утверждение 2: Модуль F_p[0] не является классическим генератором в D^b_{coh}(Z_p). Доказательство: Действительно, рассмотрим полную подкатегорию D^b_{coh, p}(Z_p) \subset D^b_{coh}(Z_p) комплексов, у которых все когомологии убиваются какой-то степенью p^m. Тогда это полная, насыщенная, триангулированная подкатегория в D^b_{coh}(Z_p), содержащая F_p. А значит < F_p[0] > \subset D^b_{coh, p}(Z_p), и D^b_{coh, p}(Z_p) строго меньше D^b_{coh}(Z_p). А значит F_p не классический генератор. Замечание: На самом деле можно показать, что < F_p[0] > = D^b_{coh, p}(Z_p) Следствие: Элемент F_p[0] \in D^b_{coh}(Z_p) генератор, который не является классическим генератором. Послесловие: Почему это ``важный'' и естественный вопрос? Допустим мы хотим доказывать формальную ГАГУ, то есть что если X собственная схема над I-адически полным, нётеровым кольцом А. Тогда функтор D^b_{coh}(X) --> D^b_{coh}(\X) является эквивалентностью, где \X -- это формальное I-адическое пополнение X. Теорема о формальных функциях утверждает, что функтор D^b_{coh}(X) --> D^b_{coh}(\X) является строго полным, поэтому реально достаточно доказать существенную сюрьективность. Фейковый аргумент такой: Выберем компактный генератор P_0 в D^b(X\otimes_A A/I), тогда этот комплекс можно рассматривать как элемент D^b_{coh}(\X). C некоторой работой можно показать, что P_0 будет генератором в D^b_{coh}(\X). Если бы этот комплекс был классическим генератором, то D^b_{coh}(X) \subset D^b_{coh}(\X) была бы строго полной, насыщенной триангулированной подкатегорией в D^b_{coh}(\X), содержащей классический генератор. Значит эта подкатегория обязана быть всей категорией. Аргумент не работает никогда по причинам описанным выше. Если пытаться обобщить этот аргумент таким образом: пусть мы знаем, что образ содержит все комплексы с точностью до I, то содержит все комплексы. Тогда с некоторым (большим) трудом можно восстановить доказательство формальной ГАГИ из статьи Джека Холла https://www.math.arizona.edu/~jackhall/papers/get.pdf. Послесловие 2: Почему этого недостаточно? Доказательство Джекка Холла ломается для (артиновых) стэков. Хотя есть независимое доказательство формальной ГАГИ для собственных стэков, собственность достаточно ограничительное условие для стэков. Например, BG_m не является собственным стэком или, более общо, BG не является собственным стэком, если dim G>0. Более разумное (но, вероятно, слишком общее) условие -- это когомологическая собственность. Это условие на то, что когомологии когерентных пучков на X-->Spec A является конечными А-модулями. Стэки типа BG для редуктивных G являются когологически собственным, а в хар. 0 BG является когомологически собственным для любой аффинной группы G. Когомологическая собственность формально (по крайней мере при минимальных ограничениях) влечёт теорему о формальных функциях. Поэтому если X --> Spec A когомологически собственный, то D^b_coh(X) --> D^b_coh(\X) строго полный функтор. Вопрос: Всегда ли это экивалентность, то есть всегда ли этот функтор сущетсвенно сюрьективный. Ответ: Нет. BG_a в характеристике 0 даёт контрпример. Вероятно, я в какой-то момент запишу этот контрпример. Значит, по крайней мере для стэков, предложенный выше ``аргумент'' нельзя сделать строгим аргументом. Есть гипотеза, что формальная ГАГА должна быть верна для всех когомологически собственных артиновых стэков с adequate moduli space + (что-нибудь ещё, мб нужна аффинность диагонали) (я не знаю кому принадлежит эта гипотеза, но я услышал этот вопрос в первый раз от Бхатта). Более точно, если А I-адически полное нётерово локальное кольцо с когомологически собственным морфизмом X --> Spec A, таким что Spec A является adequate moduli space стэка X в смысле https://sites.math.washington.edu/~jarod/papers/adequate.pdf, тогда формальная ГАГА верна для X --> Spec A (плюс, скорее всего, надо требовать, что диагональ Х является аффинным морфизмом). Было бы интересно понять какое ещё абстрактное условие надо наложить на категории, чтобы строгая полнота + сюрьективность мод I влекла сюрьективность. Морально это обобщение утверждения, что если M I-адически полный модуль над I-адически полным кольцом А, то сюрьективность морфизма N --> M можно проверять по модулю I. В нашем случае можно доказать, что D^b_{coh}(\X) действительно является lim D^b_{coh}(\X_n) в ``oo-смысле'', поэтому D^b_{coh}(\X) должна быть ``I-адически полной категорией". Плюс морфизм D^b_coh(X) --> D^b_coh(\X), очевидно, сюрьективный мод I, так это это просто тождественный изоморфизм D^b_coh(X\otimes_A A/I) --> D^b_coh(\X\otimes_A A/I). В частности, если бы получилось формализовать аргумент выше, то это (скорее всего) доказывало бы гипотезу выше. P.S. Вроде есть отдельная гипотеза, что когомологическая собственность для adequate moduli space должна быть тоже автоматически верна. Но я не знаю статус этой гипотезы. (2 Comments |Comment on this)
Sunday, December 8th, 2019
10:38 pm	Равенства в математике Не так давно я стал записывать своё доказательство Двойственности Пуанкаре для жёстко-аналитических пространств. Я пытался всё сделать максимально строго, чтобы быть уверенным, что там точно нет никаких ошибок и что я понимаю каждый шаг доказательства. Это оказалось очень времязатратно, и я решил что несколько фактов я всё-таки приму на веру, но если у утверждения нет записанного доказательства, то я буду писать строгое полное доказательство. Я быстро столкнулся с проблемами, которые сразу же привели к вопросам "оснований" математики, которые я не понимаю. Я попробую ниже быстро сформулировать контекст, это не очень важно для остального поста, но я хочу объяснить свою мотивацию. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ У меня есть некоторое гладкое жёстко-аналитическое многообразие Х над алгебраически-замкнутым неархимедовым полем С с формальной моделью \X над \O_C. Главный шаг в аргументе -- определить определить морфизм m_C\otimes R\mu_* \O^+_X -->\omega^\bullet_\X(-d)[-2d], где \mu есть морфизм (X_\proet, \O_^+) --> (\X_\Zar, \O_\X), а \omega^\bullet_\X относительный дуализирующий комплекс на \X (его ещё надо определить, тут две проблема:\X это формальная схема, а не схема и \O_C-ненётерово). Аргумент строится таким образом, комплекс m_C\otimes R\mu_* \O^+_X живёт в степенях [0, d] (неверно если не умножать на максимальный идеал!), а комплекс omega^\bullet_\X(-d)[-2d] в степенях [d, 2d], поэтому достаточно определить морфизм R^d\mu_* \O^+_X --> \omega_\X(-d), где omega_\X=H^{-d}(omega^\bullet_\X) есть дуализирующий модуль на \X. Из работы Бхатт-Морроу-Шольце легко построить морфизм \Omega^d_\X{-d} --> R^d\mu_* \O^+_X, где Omega^d_\X{-d} есть старшие дифференциальные формы, подкрученные по Брёлю-Кисину на -d. Этот морфизм имеет два недостатка: он бьёт в неправильную сторону и из неправильного объекта. Однако можно проверить, что этот морфизм изоморфизм на общем слое (в смысле Рэйно) и на гладком локусе этот морфизм есть изоморфизм на (\zeta_p-1)^d R^d\mu_* \O^+_X. Поэтому на общем слое и на замкнутом слое мы можем 'поделить' этот морфизм на (\zeta_p-1)^d и 'обратить' (перед этим отфакторизовав всё про (\zeta_p-1)-кручению). Теперь 'общая теория' двойственности Гротендика показывает, что на гладком локусе omega_\X "канонически" (это слово не имеет никакого смысла без уточнения точного значения) изоморфно \Omega^d_\X, и можно проверить, что на общем слое имеется изоморфизм (\omega_\X)_C\cong \Omega^d_X. Это несколько сложнее, так как общий слой есть жёстко-аналитическое многообразие, и там нет никакой общей теории функтора f^!. Далее вопрос как это продолжить с общего слоя+гладкого локуса на всю модель. Оказывается, что если замкнутый слой геометрически приведён, то дуализирующий \omega_\X рефлексифен (аналогично факту, что на нормальной нётеровой схеме дуализирующий модуль рефлексивен) и равен "пересечению" (\omega_\X)_C \cap j_*\omega_\X^{\sm}, где X^\sm -- гладкий локус. Дальше теорема о приведённом слое/теореме Герритзена-Грауэрта говорит, что всегда есть конечный морфизм, который изоморфизм на общем слое, f:\X'--> \X с X' имеющей (геометрически) приведённый замкнутый слой. Тогда на общей модели \X мы определяем морфизм сверху на \X', берём пушфорвард и компонируем со следом в двойственности Гротендика Rf_* \omega^\bullet_\X'(-d)[-2d]--> \omega^\bullet_\X(-d)[-2d]. Более точно определение такое 1) В случае (геом) приведённого замкнутого слоя морфизм определяется так \m\otimes R\mu_*\O^+_X --> \m \otimes R^d\mu_*\O^+_X --> \omega_\X(-d)[-2d] --> \omega^\bullet_\X(-d)[-2d], где первый морфизм это проекция на старшие когомологии в комплекс, а последний морфизм "вложение" младших когомологий комплекса. Морфизм посредине приходит из рефлексивности omega_\X(-d)[-2d] плюс на общем и гладком локусе это обратный к поделённому морфизму из BMS прокомпонированному с изоморфизмами \omega_{\X^\sm}\cong \Omega^d_{\X^\sm} и (\omega_\X)_C \cong \Omega^d_X 2) В общем случае мы выбираем конечный морфизм, который изоморфизм на общем слое, X'-->X и определяем как композицию \m\otimes R\mu_*\O^+_X --> \m\otimes (Rf_*R\circ \mu'_*\O^+_X) --> Rf_*(\m\otimes R\mu'_* \O^+_X ) --> Rf_*(\omega^\bullet_{\X'}(-d)[-2d]) --> \omega^\bullet_\X(-d)[-2d]. Теперь я должен пояснить все отображения в этой композиции: первое отображение каноническое отождествление R\mu_* с Rf_*R\circ \mu'_*, которое приходит из коммутативной диаграммы X-\mu'-> \X' -f-> \X и композиция \mu, второе отображение -- отображение "проекции" (определяется как здесь https://stacks.math.columbia.edu/tag/0B53), третье отображение -- это Rf_* применённое к морфизму сверху. И последний морфизм -- это след в двойственности Гротендика. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Теперь возникает вопрос, насколько этот морфизм "не зависит от выбора модели". Например, верно ли что если есть морфизм моделей \X' --> \X, то морфизм снизу есть "пушфорвард" морфизма снизу (этому легко придать строгий смысл по аналогии с пунктом 2 сверху). Второй вопрос является ли этот морфизм морфизмом Галуа-эквивариантных пучков, если само многообразие X определено не над алгебраически замкнутым полем С, а над каким-то, например, конечным расширением Q_p. Главная сложность в этих примерах заключается в том, что мы хотим равенства(!) морфизмов, настоящего равенства, а не равенства с точностью до блаблабла. Эти вопросы довольно быстро требуют хотя бы умения отвечать на два более простых вопроса: 1) Пусть есть два собственных морфизма (формальных) схем \X'' -g-> \X' -f-> \X, верно ли что след R(f\circ g)_* \omega^\bullet_{\X''} -{ Tr_{f\circ g} }-> \omega^\bullet_{\X} совпадает с композицией Rf_*(Rg_* \omega^\bullet_{\X''} ) -{ Rf_*(Tr_g) }-> Rf_*(omega^\bullet_{\X'}) -{ Tr_f }->\omega^\bullet_X. 2) Верно ли что если есть коммутативный квадрат \X' --> \X | | S' --> S c гладкими вертикальными морфизмами, то замена базы \O_S' \otimes^L \omega^\bullet_{\X/S} \to \omega^\bullet_{\X'/S'} после отождествления \omega^\bullet_{\X/S} c \Omega^d_{\X/S} (и тоже самое для \X'/S') совпадает со стандартным морфизмом \Omega^d_{\X/S}\otimes \O_{S'} --> \Omega^d_{\X'/S'} Теперь нужно понять что всё это значит. Чтобы первый вопрос имел смысл нужно выбрать изоморфизм функторов R(f\circ g)_* c Rf_*\circ Rg_*. Во втором случае объект omega^\bullet_{\X/S} определяется как f^!(\O_S), где f^! левый сопряжённый к Rf_*, но левый сопряжённый функтор не единственный, а единственный с точностью до изоморфизма, поэтому утверждение должно быть скорее для каждого выбора функтора f^!. Но проблемы начинаются раньше, функтор Rf_* тоже не вполне определён, как оказывается. Обычно в менее строгих книжках/лекциях говорят, что функтор Rf_* (на D^+) определяется так: выбираем инъективную резольвенту у объекта K и применяем к ней f_*, ответ не зависит от выбора резольвенты. Но это, конечно, полная чушь и бред, ответ, конечно, зависит от выбора резольвенты, он не зависит с точностью до изоморфизма, единственного с точностью до гомотопии. Поэтому это никакой не функтор, функтор обязан сопоставлять каждому объекту один объект, а не класс изоморфизма(!) объектов. А нужно делать как в более строгих книжках: выбрать обратный морфизм к эквивалентности K^+(Inj)--> D^+ и определять Rf_* на K^+(Inj) как f_* почленно. Конкретно это значит, что мы у каждого объекта выбираем инъективную резольвенту насильно с помощью которой считаем f_*. То есть ответ зависит от выбора резольвенты с точностью до канонического изоморфизма. Но тогда если мы хотим определить Rf_* для всех схем, то нам нужно выбрать резольвенты для всех (ограниченных снизу) производных категорий всех схем, но категория схем не малая, объекты не образуют множество, а только класс. Я не знаю почему там одновременно можно выбрать резольвенты везде, но допустим мы ограничились какой-нибудь малой подкатегорией схем, чтобы она была (существенно) малой в техническом смысле. Тогда в любом случае Rf_*\circ Rg_* и R(f\circ g)_* не равны (как часто пишут на стэкспроджекте!), а только 'канонически' (опять же слово бессмысленное, пока человек точно не сказал что имеет в виду) изоморфны! Изоморфизм приходит из того, что f_* от инъективного пучка (абелевых групп) есть инъективный пучок, поэтому если K-->I^* инъективная резольвента, то f_*(I) есть инъективная резольвента объекта Rf_*(K). Теперь изоморфизм любых двух выборов Rf_* определяет (по сопряжённости) изоморфизм любых двух функторов f^! вместе с данным сопряжённости! Затем если расписать, что значит коммутативность диаграммы (1), то она идейно сведётся к тому, что сопряжённый к композиции функторов есть ``композиция сопряжённых''. Но тут, строго говоря, всё-таки ни одна из стрёлок не определена "канонически", а зависит от выборов хотя и с точностью до "канонического изоморфизма", и реальное утверждение заключается в том, что при любом согласованном(!) выборе для Rf_*, f^!, Tr_f, Rg_*, g^!, Tr_g диаграмма будет коммутировать. Но теперь вспомнив, что определение моего морфизма m_C\otimes R\mu_* \O^+_X -->\omega^\bullet_\X(-d)[-2d] требует огромного числа отождествлений, становится понятно, что если мы хотим абсолютно строго доказывать равенства разных морфизмов, полученных из этого морфизма, то это становится полным кошмаром. Всегда когда у меня есть композиция двух производных функторов, то становится необходимо помнить все отождествления и проверять, что эти отождествления согласованны правильным образом. На практике можно придать смысл коммутативности почти любой нужной мне диаграммы, и даже проверить строго эту коммутативность, запоминая выборы, но это быстро выходит из под контроля. Далее я понял, что дела обстоят ещё значительно хуже. На самом деле проблемы начинаются гораздо раньше, ну или вообще в самом начале. Функтор f^* не вполне определён, а даже если и определён, то нет никакого равенства g^*\circ f^*=(f\circ g)^*, а только изоморфизм g^*\circ f^*\cong (f\circ g)^*. Это, конечно, часто пишут в книжках по стэкам, но я никогда этому не придавал большого внимания (Мне объяснили, что и проблемы выше связанные с производными категориями тоже обычно аккуратно объясняют в книжках, но я никогда не понимал настоящей цели). Но хуже того, нет даже равенства (AxB)xC с Ax(BxC) в множествах, а только выбранный изоморфизм. Поэтому, если мы хотим делать всё абсолютно строго, то нужно все эти изоморфизмы повсюду таскать за собой как только они встречаются. Поняв, что я не в состоянии доказать строго равенство никаких двух морфизмов, я решил открыть лекции Воеводского по его унивалентным основаниям. Тогда я понял, что вообще дела обстоят во много раз хуже, чем я мог бы об этом думать. Он приводит такой пример, который меня абсолютно шокировал: Пусть C категория, которая состоит из двух объектов X и Y, между X и Y морфизмов нет ни в одну сторону, а Mor(X, X)=Mor(Y,Y)=:A есть непустое множество. Равенство морфизмов тут есть равенство множеств, не изоморфизм, а точное равенство. Тогда утверждается, что нельзя построить "глобальное" множество морфизмов Mor с двумя функциями source и target: Mor --> Ob(C), что Mor(X, X)={f\in Mor | source(f)=target(f)=X} и Mor(Y, Y)={f\in Mor | source(f)=target(f)=Y}, где = подразумевается как настоящее равенство, а не изоморфизм. Действительно, пусть f\in Mor(X, X)=Mor(Y,Y), тогда с одной стороны source(f)=X, с другой стороны source(f)=Y, противоречие. Не то, чтобы я когда-либо использовал существование такого множества и функций source и target, но это имхо показывает, что в математике на каждом шагу происходят отождествления, за которыми мы не в состоянии следить, и которые, видимо, иногда просто не имеют строго смысла. Теперь я не понимаю как можно быть уверенным в верности хотя бы одного утверждения в математике. Я бы никогда в жизни не смог бы найти ошибку как выше. (67 Comments |Comment on this)
Wednesday, October 30th, 2019
10:55 pm	Пустой копредел не коммутирует с пустым пределом Одно из важных свойств фильтрованных копределов -- это коммутирование с конечными пределами в категории множеств Sets. Теорема: Пусть F:CxD --> Sets функтор, где C есть фильтрованная малая категория и G конечная категория. Тогда естественное отображение colim_C lim_D F(c,d) --> lim_D colim_C F(c, d) является изоморфизмом. Это утверждение, например, полезно, чтобы проверять, что непрерывный морфизм сайтов D-->C, коммутирующий с конечными пределами, индуцирует морфизм топосов Shv(C)--> Shv(D) (отображение пулбэка f^-1 точно). Отмечу, что непрерывный морфизм сайтов не индуцирует морфизм топосов в общем случае (!). В определении фильтрованной системы есть странное условие непустоты этой системы, я долго не мог понять зачем оно нужно. Оказывается, что без этого условия фильтрованные копределы не будут коммутировать с конечными пределами. А именно пустой копредел не будет коммутировать с пустым пределом (и только с ним!). Действительно, предел по пустой диаграмме в любой категории есть просто финальный объект. Само определение предела влечёт, что для (единственного) функтора из пустой категории F:\emptyset--> C, lim_{\emptyset} F суть объект в C, что любой другой объект имеет ровно один морфизм в lim_{\emptyset} F. Финальный объект в Sets есть одноточечное множеств {*}. Аналогично, копредел по пустой диаграмме colim_{\emptyset} F есть ни что иное, как начальный объект в категории С. В случае категории Sets это есть пустое множество \emptyset. Тогда замечаем, что для пустой диаграммы F:\emptyset--> Sets отображение colim lim FxF --> lim colim FxF есть естественное отображение \emptyset --> {*}, которое очевидно не является изоморфизмом! (4 Comments |Comment on this)
Monday, October 28th, 2019
11:51 pm	Компактные топологические пространства не компактные объекты в категории топологических пространств В этом посту я построю простой пример компактного топологического пространства, которое не является компактным объектом в категории топологических пространств. Этот пример демонстрирует иронию с выбором определений (я их напомню чуть ниже). Обычно говорят, что компактные объекты призваны ``моделировать'' компактные топологические пространства в абстрактных категориях. На сами компактные пространства не являются примером компактных объектов в категории топологических пространств, как покажет пример в этом посту. Более подробная история связи этих определений мне неизвестна. Определение: Объект X категории С называется компактным, если функтор Hom_C(X, -- ) коммутирует со всеми фильтрованными(!) копределами. Более точно, естественной отображение colim Hom_C(X, Y_i) --> Hom_C(X, colim Y_i) изоморфизм для любой фильтрованной системы Y_i. Это определение ``моделирует'' компактность. Так как в случае категории топологических пространств Top и открытых вложений(!) Y_i--> Y_{i+1} условие, что colim Hom_C(X, Y_i) --> Hom_C (X, colim Y_i) есть изоморфизм -- это ровно условие на компактность образа X в colim Y_i. Более того, сложная часть доказательства равенства этого естественного отображения -- это, как правило, проверка того, что любое отображение X --> colim Y_i пропускается через какой-то ''конечный уровень'' X--> Y_i --> colim Y_i. Это похоже на компактность. Однако оказывается, что компактность не влечёт это условие! Пример очень простой. В качестве компакта Х нужно взять замкнутый отрезок [0,1]. Тогда я утверждаю, что [0,1] является фильтрованным копределом всех своих счётных подмножеств (с топологией подмножества). Обозначим все такие подмножества за X_i, i\in I. Тогда легко видеть, что копредел colim X_i фильтрованный, так как для любых двух множеств можно взять их объединение. Тогда из универсального свойства имеется естественное непрерывное отображение colim_{i\in I} X_i --> X. Нужно проверить, что это гомеоморфизм. Это отображение очевидно биективно из построения. Осталось проверить, что это отображение топологической факторизации. Из определения топологии копредела это сводится к проверке того, что подмножества U\subset X=[0,1] открыто, если все пересечения U\cap X_i открыты для счётных подмножеств X_i \subset X. Допустим, множество U не открыто, но пересечения U\cap X_i открыты. Тогда множеств Z:=[0,1]-U не замкнуто, то есть существует последовательность x_i\in Z, которое имеет предел в U. Обозначим предел за x. И возьмём счётное подмножество Y\subset [0,1], состоящее из x_i и x. Из условия на U заключаем, что U\subset Y открыто, и оно содержит x по построению. Но x_i стремится к x, следовательно x_i\in U для больших i, но это не так по построению, противоречие. Значит U открыто, то есть отображение colim_{i\in I} X_i --> X есть отображение топологической факторизации, а значит гомеоморфизм. Теперь заметим, что отображение colim Hom_{Top}(X, X_i) --> Hom_{Top}(X, colim X_i)=Hom_{Top}(X, X) не может быть изоморфизмом! Действительно, правая часть содержит тождественный морфизм \id_X, и если бы он лежал в образе левой части, то этот морфизм пропускался бы через какое-то X_i, но это очевидно не так. Значит отрезок [0,1] не является компактом в категории топологических пространств. Замечание: На самом деле этот аргумент показывает больше, отрезок [0,1] не является компактом в категории хаусдорфовых компактно-порождённых топологических пространств. Это изначально сэттинг, который мне был нужен. Нетривиальный факт заключается в том, что colim_I Hom_C(X, Y_i) --> Hom_C (X, colim_I Y_i) изоморфизм, если 1) X и colim_i Y_i -- компакты 2) Все Y_i являются компактно-порождёнными 3) Фильтрованная система I суть прямая система (то есть это копредел по натуральным числам с единственными нетривиальным морфизмами i-->j, если i < j). 4) Все отображения Y_i --> Y_{i+1} вложения (3 Comments |Comment on this)
Sunday, October 6th, 2019
11:04 pm	Два тривиальных примера теорем о перфектоидах Когда я учил теорию перфектоидных пространств, то я всё время удивлялся как люди умудряются доказывать теоремы в такой огромной общности. Перфектоидные пространства почти никогда не нётеровые, даже подлежащие топологические пространства не являются нётеровыми (в отличии от Spec \O_{C_p}), интересные морфизмы почти никогда не являются морфизмами (топологически) конечного типа, нет разумной теории когерентных пучков, неизвестно является открытое вложение плоским морфизмом или нет, етц. Тем не менее Шольце (и другие) развили какую-никакую теорию, которая помогает решать некоторые *реальные* задачи (например) про этальные когомологии F_p-локальных систем на собственных (и гладких) жёстко-аналитических многообразиях. До Шольце никто даже не умел доказывать, что для собственных жёстко-аналитических пространств над C_p когомологии H^i(X, F_p) конечны! Доказательство Шольце использует теорию перфектоидных пространств критическим образом. Однако я в разумности этой теории убедился только когда проделал два упражнения по ``общей топологии'', которые на мой взгляд во многом проясняют что тут происходит. Я приведу два примера теорем про перфектоиды и их ``классических аналогов'', которые имеют очень простое доказательство. Пример 1: Для начала мне нужно определить понятие про-этального морфизма перфектоидных пространств (для простоты аффинноидных перфектоидов). Морфизм Spa(S, S^+) --> Spa(R, R^+) называется про-этальным, если есть фильтрованная система этальных морфизмов Spa(R_i, R_i^+)--> Spa(R, R^+) что пара (S, S^+) изоморфна пополненного копределу (colim(R_i, R_i^+))^. [Это определение не совпадает с определением про-этального морфизма нётеровых адических пространств] Это определение на первый взгляд максимально ужасно. В этом определении замкнутое(!) вложение точки в перфектоид является про-этальным морфизмом. Грубо говоря, в качестве системы этальных морфизмов нужно взять все открытые подмножества, содержащие нашу точку. Тогда по аналогии с комплексным анализом пересечение (предел) всех таких открытых будет ровно наша точка. Можно дать строгое доказательство, но это потребует некоторого аргумента, ортогонального теме этого поста. В частности, мы видим, что проэтальные морфизмы не обязательно открытые! Это определение задаёт понятие топологии, а именно: мы называем систему отображений (X_i)_{i\in I}--> X аффинноидных перфектоидов покрытием, если есть конечное подмножество X_j, таких что они в сумме сюрьективно отображаются в X. В частности, дизъюнктное объединение точек не является покрытием в этой топологии. Теорема 1: Для любого аффинноидного перфектоида Y представимый предпучок Hom_{Perf}(-, Y) является пучком в про-этальной топологии. Другими словами, мы можем клеить морфизмы в перфектоидные пространства относительно про-этальных накрытий. Выглядит как бред ибо проэтальные морфизмы, как мы видели, не обязаны быть открытыми. Даже с топологической точки зрения не очень понятно почему это должно быть верно. Однако следующее чисто топологическое утверждение проясняет что тут происходит. Перфектоидные пространства над точкой (Spa(C, \O_C)) это ровно проконечные множества, и эта биекция устанавливает изоморфизм категорий. Легко видеть, что любое отображение проконечных множеств является про-этальным, потому что любой морфизм проконечных множеств можно представить как предел отображений конечных множеств, а проэтальные морфизмы (между аффинноидами) замкнуты относительно пределов. При любом разумном определении этальных морфизмов, любой морфизм конечных множеств должен быть этальным. Используя эту эквивалентность категорий легко видеть, что Теорема 1 в этом игрушечном случае говорит следующее: Теорема 1': Для любого проконечного множества Y представимый предпучок Hom_{Profinite}(-, Y) является пучком в категории проконечных множеств (с компактными сюрьективными отображениями в качестве покрытий). Но что это значит явно? Явно это значит, что если у меня есть сюрьективное отображение проконечных множеств X' --> X, то непрерывные отображения X-->Y находятся в биекции с непрерывными отображениями g:X' --> Y, такими что g\circ p_1=g\circ p_2, где p_i:X'\times_X X' --> X' есть две проекции. Ещё более конкретно это значит, что непрерывные отображения X-->Y в биекции с непрерывными отображениями X'-->Y, постоянными на слоях X'-->X. Но это ровно условие на то, что X'--> X является отображением топологической факторизации (U\subset X открыто <=> прообраз открыт). И это оказывается автоматически выполнено в нашем контексте! Теорема 1'': Любое непрерывное сюрьективное отображение f:X --> Y является топологической факторизацией при условии, что X квази-компактно , а Y хаусдорфово. Доказательство: Пусть U\subset Y множество, такое что f^{-1}(U) открыто в X. Мы хотим показать, что тогда U открыто в Y. Так как X квази-компактно, то мы видим, что Z:=X -- f^{-1}(U) обязано быть квази-компактным как замкнутое в квази-компакте. Тогда Y -- U= f(Z) тоже квази-компактно как образ квази-компакта, из хаусдорфовости Y мы видим, что Y -- U обязано быть замкнутым. Значит U -- открыто. Теперь заметим, что проконечные множества (с проконечной топологией) -- это ровно квази-компактные, хаусдорфовые, вполне несвязные топологические пространства. Следовательно, Теорема 1' доказана. Вторая вещь, которую я хотел обсудить -- это зануление когомологий на аффинноидных перфектоидах. Теорема 2: Пусть X=Spa(A, A^+) аффинноидный перфектоид, тогда H^i(X, \O_X)=0 для любого i>0. (На самом деле теорему можно усилить и показать, что зануляются на самом деле и этальные когомологии \O_X, но это уже сложнее увидеть в классическом мире) Как мы уже выяснили, аналогом перфектоидных пространств служат проконечные множества. Я докажу ``аналог'' этого утверждения для проконечных множеств. На этот раз аналогия будет не совсем точной, но достаточной, чтобы убедиться в том, что эта теорема может быть верной. Теорема 2': Пусть X -- проконечное множество, тогда H^i(X, Z)=0 для любого i>0. Нужно сказать, что я беру реально когомологии X в смысле когомологий пучков. Проконечные множества (практически) никогда не являются CW комплексами, поэтому сингулярные когомологии дают неправильный ответ на таких пространствах. На самом деле можно показать, что когомологии любого пучка на X зануляются в размерности в положительных степенях (https://stacks.math.columbia.edu/tag/0A3G). Но я дам доказательство, которое ближе к доказательству, которое реально работает в контексте перфектоидов. Док-во: Любое проконечное множество можно записать как фильтрованный предел конечных, поэтому мы можем написать X=lim X_i, где каждое X_i является конечным множеством. Теперь воспользуемся https://stacks.math.columbia.edu/tag/0A37, чтобы заключить H^p(X, Z)=colim H^p(X_i, Z). Но каждое X_i -- конечное множество! Поэтому H^p(X_i, Z)=0 для p>0, поэтому H^p(X, Z)=0 для p>0! (4 Comments |Comment on this)
Monday, February 18th, 2019
1:45 am	ПИСЬМО К ШОЛЬЦЕ (ЗДРАВСТВУЙТЕ, МАРТИН АЛЕКСЕЕВИЧ...) Сегодня долго не мог доказать результат про жёстко-аналитические пространства, который выглядит "очевидно" (напишу в комментариях результат, вдруг кто умеет такое доказывать), но при доказательстве возникает куча проблем. В основном потому, что в определении адического пространства пучок \O_X^+ должен быть целозамкнут в \O_X, поэтому при всех конструкциях (расслоенное произведение, открытое подмножество) необходимо насильно добавлять целое замыкание. Контролировать это очень сложно, возникает миллион технических проблем. В какой-то момент отчаялся и решил посмотреть как с этой проблемой справился Шольце вот тут (Lemma 5.5 Lemma 5.6). Так как Лемма 5.5 сформулирована максимально идиотским способом (S_0 должно быть R_0 алгеброй, иначе это не имеет смысла), то я думал, что Лемма 5.5 верна только для в предположении плоскости над R_0 (а не над Z_p). В доказательстве Леммы 5.6 Шольце применяет Лемму 5.5 к морфизму R_{m}^+ --> S_m^{(j),+}, который приходит с этального морфизма Spa(R_m, R_m^+)--> Spa(S_m^{(j)}, S_m^{(j), +}). Более того, в другой статье на странице 65 явно утверждается, что этот морфизм должен быть плоским. Естественная гипотеза, что должно быть верно следующее утверждение Гипотеза: Пусть Spa(S, S^+)--> Spa(R, R^+) этальный морфизм жёстко-аналитических пространств, тогда R^+ --> S^+ есть плоский морфизм. Оказалось, что это неверно! (на самом деле не очень удивительно, если об это немного задуматься, но конкретный пример мне было сложно придумать. Заняло весь день) Я написал Шольце и спросил объяснить его доказательство. Он извинился за дебиков, которые неправильно его цитируют, за "your confusion" и объяснил, что на самом деле Z_p-плоскости хватает, вкратце потому что всё приходит "заменой базы с \O_K". Толку мало, в моём случае это мало помогает (а плоскость бы сильно упростила мне жизнь!). Ниже контрпример к гипотезе, мне лень переводить на русский. Копирую из письма к Шольце (прошу прощения за плохой английский). Example: Let \X --> Spec Z_p be an arbitrary (proper) flat morphism s.t. its generic fibre is smooth, \X is normal as a scheme but not regular. For example, one can take an elliptic curve over Q_p with multiple components in a special fibre of its Neron Model, then its Minimal Weierstrass form is flat, normal over Z_p but not regular. Then Lipman's resolution of singularities for excellent surfaces shows that there is a resolution f:\X' --> \X s.t. \X' is flat over Z_p (because it doesn't have p-torsion), \X' is regular and a morphism f induces the identity morphism on generic fibres. I claim that f can't be flat since regularity descends along faithfully flat morphisms of noetherian schemes. Hence we can choose some open charts where morphism is not flat g:Spec A' --> Spec A. Now by fibral criterion for flatness we know that A/p --> A'/p can't be flat (since both A and A' are flat over A' and this map is an isomorphism on generic fibres). And this map g: Spec A'[1/p] --> Spec A[1/p] is an open immersion since both schemes are open subschemes of X_{\Q_p}. Now we can complete both A and A' with respect to the ideal (p). To get a map A^-->A'^, since a completion morphism is regular (EGA IV_2 7.8.3(v)) for excellent rings we conclude that A^ and A'^ are both normal again (R1+S2 criterion). Note that A^-->A'^ can't be flat since mod p it coincides with A/p --> A'/p which is not flat. But if we pass to generic fibres we get an open immersion Spa(A'^[1/p], A'^+) --> Spa(A^[1/p],A^+) since Raynaud generic fibre of a completion of a scheme is an open subspace of the analytification of the generic fibre of a scheme and (Spec A'[1/p])^{an} --> (Spec A[1/p])^{an} is an open immersion. So, T:=Spa(A'^[1/p], A'^+) --> S:=Spa(A^[1/p],A^+) is an open immersion of rigid-analytic spaces. Finally, since A'^ and A^ are normal we conclude that A'^+=A'^ and A^+=A^. Thus a map \O_T^+(T)-->\O_S^+(S) coincides with a map A^-->A'^ and fails to be flat. (3 Comments |Comment on this)
Sunday, January 27th, 2019
12:35 am	Этальные когомологии аффинноидов с коэффициентами в F_p Один из главных результатов SGA 4 1/2 гласит, что для любой схемы конечного типа над полем высшие прямые образы сохраняют конструктивность пучков N-кручения, если N взаимно-просто с характеристикой поля k. Теорема 1: Пусть f:X --> Y морфизм схем конечного типа над полем k и F -- конструктивный пучок N-кручения на X, где N взаимно-просто с характеристикой поля k. Тогда R^if_*F является конструктивным пучком для всех i. Доказательство: SGA 4 1/2, Th. Finitude Thm. 1. Замечание 1: На самом деле (как бы это ни было парадоксально) самый сложный случай в этой теореме -- это случай открытого вложения j:X --> Y. Любой отделимый морфизм конечного типа в квази-компактную квази-отделимую схему можно представить как композицию открытого вложения и собственного морфизма. Доказательство сохранения конструктивности при взятии высших прямых образов относительно собственных морфизмах не очень сложно и доказано в любой книжке по этальным когомологиям. Поэтому реально весь вопрос в открытых вложениях. Замечание 2: В характеристике 0 это утверждение намного легче благодаря разрешению особенностей. Следствие: Пусть Х схема конечного типа над алгебраически замкнутым полем k и натуральное число N взаимно-просто с характеристикой N, тогда (этальные) когомологии H^i(X, Z/N) и H^i(X, \mu_N) являются конечными группами для всех i. Доказательство: Применить теорему к морфизму X--> Spec k и пучкам Z/N и \mu_N. Конструктивность R^if_*(--) в этом случае соответствует ровно конечности групп H^i(X, --) Вопрос, которым можно было бы задаться, есть ли аналог этого утверждения для жёстко-аналитических пространств. Зафиксируем полное алгебраически-замкнутое неархимедово поле K с кольцом целых O_K и полем вычетов k. Так как жизнь с жёстко-аналитическими пространствами и так очень сложная, то упростим себе немножко жизнь и предположим, что K характеристики 0. Теорема 2: Пусть Х квази-компактное отделимое жёстко-аналитическое пространство над полным алгебраически замкнутым неархимедовым полем K смешаной характеристики (0,p). Тогда для любого конструктивного пучка F N-кручения, где N взаимно-просто с p, (этальные) когомологии H^i(X, F) являются конечными группами. Доказательство: Cм. статью Хубера "A finiteness result for direct image sheaves on the etale site of rigid analytic varieties" (Насколько я понимаю, в такой общности этот результат не был известен до Хубера) Замечание: Ситуация с высшими прямыми образами (да и высшими прямыми образами с компактным носителем) для произвольного (квази-компактного) морфизма жёстко-аналитических пространств намного сложнее. По аналогии с Теоремой 1 мы хотели бы сказать, что условие на взаимную простоту N с p излишне. В этом случае p -- это характеристика поля вычетов, хотелось бы, чтобы, например, на жёстко-аналитических пространствах над Q_p (или C_p) была хорошая теория когомологий с коэффициентами в F_p (как она существует в случае схем над Q_p). Первый шаг в этом направлении это теорема сравнения алгебраических этальных когомологий и аналитических. Теорема 3: Пусть Х cхема конечного типа над алгебраически замкнутым неархимедовым полем K характеристики 0, тогда для любого конструктивного пучка F этальные когомологии H^i(X, F) совпадают с когомологиями аналитификации H^i(X^{an}, F^{an}). Доказательство: Теорема 3.7.2 книжки Хубера "Etale cohomology of rigid analytic varieties and adic spaces" (Опять же, насколько я понимаю, в такой общности теорема была неизвестна до Хубера) То есть для аналитификаций схем мы имеем теорему конечности и в случае аналитических этальных когомологий (Теорема 1+Теорема 3). Можно предположить, что мы должны иметь разумную теорию когомологий с коэффициентами в F_p для любых жёстко-аналитических пространств. Но оказывается, что это совершенно неверно! Этальные когомологии аффинноидов с коэффициентами в F_p практически всегда бесконечномерны! Контрпример: Рассмотрим замкнутых единичный p-адический диск X:=Spa(\C_p< T>, \O_{C_p}< T>) (\C_p< T> -- одномерная алгербра Тейта над полем \C_p)и постоянный пучок \F_p на нём. Так как C_p алгебраически замкнуто, то мы можем выбрать какой-нибудь корень p-ой степени из 1 и отождествить пучок \mu_p корней p-ой степени из 1 с пучком \F_p. Тогда имеется короткая точная последовать Куммера 0 --> \mu_p --> G_m --> G_m --> 0, где первое отображение -- это естественное вложение, а второе -- это возведение в p-ую степень. Так как характеристика \C_p равна 0, то эта последовательность точна в этальной топологии. Поэтому мы имеем длинную точную последовательно когомологий 0 --> \mu_p(\C_p< T>) --> \C_p< T>^* --> \C_p^* --> H^1(X, \mu_p) --> H^1(X, G_m) --> ... Заметим, что H^1(X, G_m) это просто группа Пикара, то есть эта группа классифицирует линейные расслоения с точностью до изоморфизма. Утверждение: На замкнутом единичном шаре X=Spa(\C_p< T>, \O_{C_p}) все линейные расслоения тривиальны (изоморфны \O_X). Доказательство: Выберем линейное расслоение L на X, тогда по теореме Киля (Thm 6.1/4 из книжки Bosch "Formal and Rigid Geometry") L задан каким-то конечным A:=\C_p< T> модулем. Обозначим этот модуль за M, давайте докажем, что M является проективным модулем ранга 1. Это достаточно проверить для всех локализаций M в максимальных идеалах алгебры А. Но для любого максимального идеала \m\subset A и соответствующей точки x_{\m}\in Spa(A, A^0) мы знаем, что пополнение слоя пучка L в точке х совпадает с пополнением локализации модуля M в \m. Другими словами, верно следующее L_{x}^=M_{\m}^. Таким образом мы знаем, что для любого максимального идеала \m \subset A пополнение локализации модуля M в идеале \m есть свободный модуль ранга 1. Но так как отображение A_{\m} --> A_{\m}^ является строго плоским (А нётерово!!), и M_{\m}=M\otimes_A A_{\m}^ (в силу конечности А-модуля M), то строго плоский спуск для конечно-представленных проективных модулей говорит нам, что M_{\m} тоже является проективным модулем ранга 1. Суммируя, мы показали, что любое линейное расслоение приходит из проективного модуля ранга 1 над алгеброй А. То есть мы свели задачу к проверке Pic(A)=0. Но это следует напрямую из того факта, что А есть область главных идеалов (Cor 2.2/10 из той же книжки Bosch'a). Победа! Отлично, значит H^1(X, G_m)=0, следовательно H^1(X, \mu_p)=\C_p< T>^*/(\C_p< T>^*)^p=A^*/(A^*)^p (фактор алгебры Тейта по p-ым степеням). Теперь нужно понять почему это алгебра бесконечна. Поcтроим отображение q:A^* --> \C_p как q(f)=f'(0)/f(0). Стандартный факт из неархимедового анализа утверждает, что функций обратима в алгебре Тейта <=> она не зануляется на замкнутом единичном шаре. В частности, для любой обратимой функции f мы имеем f(0) \neq 0. А значит это отображение корректно определено. Заметим, что q является гомоморфизмом (в аддитивную группу \C_p) в силу правила Лейбница. Несколько свойств отображения q: 1) Образ q лежит в \O_{C_p}. Действительно, Следствие 2.2/4 из всё той же книжки Bosch'a говорит, что функция f=a_0+a_1T+a_2T^2+... обратима в алгебре Тейта <=> валюация a_0 строго больше валюаций a_i для любого i>1. В терминах рядов отображение q записывается как q(f)=a_0/a_1, а значит в силу критерия выше v(a_1/a_0)<1 <=> a_0/a_1 лежит в \O_{\C_p} (это ровно элементы с валюацией <1). 2) Гомоморфизм q сюрьективен. Действительно, для любого a\in \O_{C_p} просто рассмотрим функцию f=1/a+T. Легко видеть, что она обратима (из критерия выше или можно построить обратную руками), и значение q(f)=1/(1/a)=a. Получаем, что пункт 1) гарантирует, что отображение q:A^* --> \O_{C_p} индуцирует отображение p:A^*/(A^*)^p --> \O_{C_p}/p, и пункт 2) гарантирует, что это отображение сюрьективно. Последний шаг: замечаем, что \O_{C_p}/p является бесконечной группой, потому что имеет фактор \O_{C_p}/ \m_{\O_{C_p}}=\bar{F_p} -- алгебраическое замыкание конечного поля F_p, поэтому сама является бесконечной. В частности, она бесконечномерна как векторное пространство над F_p. P.S. Отмечу, что Шольце доказал, что для (гладких) собственных жёстко-аналитических пространств этальные когомологии H^i(X, F_p) всё-таки являются конечными группами! Доказательство вполне нетривиально и критическим образом использует развитую им теорию перфектоидов и проэтальных морфизмов. Ситуация с этальными когомологиями жёстко-аналитических пространств с коэффициентами в F_p напоминает ситуацию с кристаллическими когомологиями в хар-ке, где мы имеем разумную теорию (например, конечномерность) только на гладких(это условие необязательно? я не знаю) собственных многообразиях. (1 Comment |Comment on this)
Thursday, December 27th, 2018
1:41 am	Ненётерово кольцо с конечно-порождённым максимальным идеалом Примерно года полтора назад я нашёл следующую забавную лемму на стэкспроджекте: Теорема: Пусть I конечно-порождённый идеал в кольце R, тогда нётеровость кольца R/I влечёт нётеровость R^ (пополнение в I-адической топологии). Доказательство: https://stacks.math.columbia.edu/tag/05GH. Следствие: Пусть R есть локальное полное (относительно топологии, заданной степенями максимального идеала) кольцо с конечно-порождённым максимальным идеалом \m, тогда R является нётеровым кольцом. Следствие не суперважное, но достаточно интересное, и я пару раз применял его на практике. Естественный вопрос верно ли это следствие без предположения полноты. Не то, чтобы он было совсем уж наивным вопросом (как это демонстрирует следующая теорема), однако кажется, что ответ должен быть очевидно отрицательным. Теорема (Cohen): Пусть R кольцо, в котором каждый простой идеал конечно-порождён, тогда R является нётеровым кольцом. Доказательство: Matsumura "Commutative Ring Theory" Theorem 3.4. Придумать пример ненётерова локального кольца с конечно-порождённым максимальным идеалом у меня долго не получалось, но внезапно (для меня) конструкция ультрапроизведения позволяет построить очень простой и понятный пример такой алгебры. Контрпример: Возьмём любое локальное кольцо главных идеалов А с ненильпотентым максимальным идеалом \m (например, подходят кольца Z_{(p)} или Z_{p}) и выберем произвольный нетривиальный ультрафильтр на множестве натуральных чисел \N. Под нетривиальным ультрафильтром я понимаю любой ультрафильтр, который содержит фильтр коконечных множеств (множество принадлежит фильтру, если его дополнение конечное), такой ультрафильтр существует по лемме Цорна (ультрафильтры это в точности максимальные фильтры). Везде далее ультрапроизведением я буду называть ультрапроизведение относительно какого-нибудь нетривиального ультрафильтра на множестве натуральных чисел \N. Возьмём наконец ультрапроизведение счётного числа копий А относительно этого ультрафильтра. Что это значит? Сначала мы берём \prod_{i=1}^{\infty} A счётное произведение копий А, а потом факторизуем по соотношению (a_i)=(b_j), если множество индексов, где a_i=b_i, лежит в нашем ультрафильтре (Далее если множество индексов, где a_i=b_i, лежит в ультрафильтре, мы будем говорить, что a=b почти везде). Обозначим теперь наше ультрапроизведение за A_*, у нас имеется сюрьективное отображение \prod_{i\in \N} A --> A_* (a) |--> [(a)] (квадратными скобками я обозначаю образ в факторе) Лемма 1: Если А поле, то ультрапроизведение A_* является полем. Доказательство: Рассмотрим любой ненулевой элемент [(a)]\in A_* и любой его представитель a\in \prod_{i\in \N} A. Так как он ненулевой, то множество индексов, где a_i=0 не лежит в ультрафильтре. Значит множество индексов i, где a_i\neq 0 лежит в ультрафильтре как дополнение до элементов вне ультрафильтра (определение ультрафильтра!). Поэтому класс [(a)] равен классу [(a')], где (a')_i=a_i, если a_i\neq 0 и a'_i=1 иначе. Но в таком случае a'\in (prod_{\i \in \N} A)* и класс [(a')^{-1}] является обратным к [a']=[a]. То есть элемент [a] - обратим. Лемма 2: Если А локальное кольцо с максимальным идеалом \m, то ультрапроизведение A_* является локальным кольцом с максимальным идеалом (\m)_* (ультрапроизведение идеалов \m относительно того же выбранного заранее ультрафильтра) и полем вычетов (A/\m)_*. Доказательство: Существует естественное отображение (\m)_* --> A_*, которое переводит элемент [(a)], где (a) \in \prod_{i\in \N} \m, в элемент [(a)], где (a) рассматривается как элемент произведения \prod_{i\in \N} A (идеал \m является подмножеством в A). Это отображение очевидно инъективно из определения ультрапроизведения. Образ является идеалом, так как он состоит ровно из классов, у которых существует представитель (a), где все координаты a_i лежат в максимальном идеале \m. Заметим, что для проверки максимальности этого идеала достаточно проверить, что A_*/\m_*=(A/\m)_*, так как Лемма 2 гарантирует, что правая сторона равенства является полем. Имеется очевидная стрелка A_* --> (A/\m)_* , и идеал (\m)_* лежит в ядре этого отображения. Сюрьективность этого отображения очевидна из определения, нужно проверить только инъективность. Действительно, пусть класс [(a)] переходит в нуль в (A/\m)_*, это означает, что для почти всех индексов i мы имеем a_i\in \m. Определим теперь элемент (a') как a'_i=a_i, если a_i\in \m, и a'_i=0 иначе. Из определения ультрапроизведения следует, что [(a)]=[(a')], но теперь класс [(a')] очевидно лежит в \m_* (представлен последовательностью со значениями в максимальном идеале для каждого индекса)! Таким образом [(a)]=\m_*. Обобщая всё сказанное выше, получаем, что A_*/\m_* --> (A/\m)_* изоморфизм, а значит \m_* является максимальным идеалом в A_*. Последняя часть доказательства -- проверить локальность кольца A_*. Локальность A_* равносильна тому, что любой элемент [(a)], который не лежит в максимальном идеале \m_*, является обратимым. Выберем любой элемент [(a)]\notin \m_*, тогда множество индексов i, таких что a_i\in \m_* не лежит в нашем ультрафильтре, а значит множество индексов i, что a_i\notin \m_* лежит в нашем ультрафильтре (как дополнение до множества вне ультрафильтра!). Сделаем стандартный трюк с заменой последовательности (a) на последовательность (a'), определённой по правилу a'_i=a_i, если a_i\notin \m_*, и a'_i=1 иначе. Тогда [(a)]=[(a')] и [(a')] уже обратим с обратным [(a'^{-1})], что и требовалось доказать. Теперь вернёмся к нашему случаю, когда А -- локальная область главных идеалом с максимальным идеалом \m=(x). Тогда Лемма 2 говорит нам, что A_* -- это локальное кольцо с максимальным идеалом \m_*. Из определения \m_* следует, что этот идеал главный и порождён элементом [(x,x,x,x,x,x,x,...)]. То есть A_* есть локальное кольцо с главным максимальным идеалом. Осталось доказать, что оно не может быть нётеровым. Вспомним, что Теорема Крулля о Пересечении говорит, что в локальном нётеровом кольце пересечение всех степеней максимального идеала есть нулевой идеал. Покажем, что это не так в нашем случае. Рассмотрим элемент t_1:=[(x, x^2, x^3, x^4,...)] (класс последовательности a_i=x^i) в A_*. Очевидно, что t_1 лежит в максимальном идеале \m_*. Далее заметим, что t_1=t_2:=[(x^2, x^2, x^3, x^4, ...)], так как наш ультрафильтр содержит все коконечные подмножества \N, делаем вывод, что изменение конечного числа элементов в последовательности не меняет его класс в ультрапроизвдении. Таким образом t=1=t_2 лежит в (\m_*)^2. Далее элемент t_1=t_3:=[(x^3, x^3, x^3, x^4, x^5, ...)] содержится в (\m_*)^3, продолжая увеличивать индекс t, получаем, что t_1=t_N:=[(x^N, ... N раз, x^N, x^{N+1}, x^{N+2}, ...)] \in (\m_*)^{N}. Как следствие, t_1\in \cap_{i=1}^n (\m_*)^i. Последняя вещь, которую осталось проверить, -- это что построенный элемент t_1 не равен нулю. Ровно в этом месте необходимо использовать условие на ненильпотентность идеала \m. Действительно, допустим, что t_1=0. Это значит, что множество индексов i, таких что x^i=0, лежит в нашем ультрафильтре. Пустое множество не лежит в ультрафильтре из определения ультрафильтра! Следовательно, существует некое M, что x^M=0. Но это противоречит ненильпотентности идеала \m=(x). Значит t_1\neq 0. Таким образом мы проверили, что A_* является локальным кольцом с главным максимальным идеалом, но само при этом не является нётеровым! Предудыщие работы на ту же тематику https://www.youtube.com/watch?v=SZRKOcWuDA8 (13 Comments |Comment on this)
Wednesday, December 26th, 2018
4:37 pm	Ненётерово кольцо с конечно-порождённым максимальным идеалом Примерно года полтора назад я нашёл следующую забавную лемму на стэкспроджекте: Теорема: Пусть I конечно-порождённый идеал в кольце R, тогда нётеровость кольца R/I влечёт нётеровость R. Доказательство: https://stacks.math.columbia.edu/tag/05GH. Следствие: Пусть R есть локальное полное (относительно топологии, заданной степенями максимального идеала) кольцо с конечно-порождённым максимальным идеалом \m, тогда R является нётеровым кольцом. Следствие не суперважное, но достаточно интересное, и я пару раз применял его на практике. Естественный вопрос верно ли это следствие без предположения полноты. Не то, чтобы он было совсем уж наивным вопросом (как это демонстрирует следующая теорема), однако кажется, что ответ должен быть очевидно отрицательным. Теорема (Cohen): Пусть R кольцо, в котором каждый простой идеал конечно-порождён, тогда R является нётеровым кольцом. Доказательство: Matsumura "Commutative Ring Theory" Theorem 3.4. Придумать пример локального кольца с конечно-порождённым максимальным идеалом у меня долго не получалось, но внезапно (для меня) конструкция ультрапроизведения позволяет построить очень простой и понятный пример такой алгебры. Контрпример: Возьмём любое локальное кольцо главных идеалов А с ненильпотентым максимальным идеалом \m (например, подходят кольца Z_{(p)} или Z_{p}) и выберем произвольный нетривиальный ультрафильтр на множестве натуральных чисел \N. Под нетривиальным ультрафильтром я понимаю любой ультрафильтр, который содержит фильтр коконечных множеств (множество принадлежит фильтру, если его дополнение конечное), такой ультрафильтр существует по лемме Цорна (ультрафильтры это в точности максимальные фильтры). Везде далее ультрапроизведением я буду называть ультрапроизведение относительно какого-нибудь нетривиального ультрафильтра на множестве натуральных чисел \N. Возьмём наконец ультрапроизведение счётного числа копий А относительно этого ультрафильтра. Что это значит? Сначала мы берём \prod_{i=1}^{\infty} A счётное произведение копий А, а потом факторизуем по соотношению (a_i)=(b_j), если множество индексов, где a_i=b_i, лежит в нашем ультрафильтре (Далее если множество индексов, где a_i=b_i, лежит в ультрафильтре, мы будем говорить, что a=b почти везде). Обозначим теперь наше ультрапроизведение за A_*, у нас имеется сюрьективное отображение \prod_{i\in \N} A --> A_* (a) |--> [(a)] (квадратными скобками я обозначаю образ в факторе) Лемма 1: Если А поле, то ультрапроизведение A_* является полем. Доказательство: Рассмотрим любой ненулевой элемент [(a)]\in A_* и любой его представитель a\in \prod_{i\in \N} A. Так как он ненулевой, то множество индексов, где a_i=0 не лежит в ультрафильтре. Значит множество индексов, где a_i\neq 0 лежит в ультрафильтре, как дополнение до элемента вне ультрафильтра (определение ультрафильтра!). Из определения ультрафильтра следует, что множество индексов i, таких что a_i=0, лежит в нашем ультрафильтре. Поэтому класс [a] равен классу [a'], где (a')_i=a_i, если a_i\neq 0 и a'_i=1, если a_i=0. Но в таком случае a'\in (prod_{\i \in \N} A)* и класс [(a')^{-1}] является обратным к [a']=[a]. То есть элемент [a] - обратим. Лемма 2: Если А локальное кольцо с максимальным идеалом \m, то ультрапроизведение A_* является локальным кольцом с максимальным идеалом (\m)_* (ультрапроизведение идеалов \m относительно того же выбранного заранее ультрафильтра) и полем вычетов (A/\m)_*. Доказательство: Существует естественное отображение (\m)_* --> A_*, которое переводит элемент [(a)], где (a) \in \prod_{i\in \N} \m, в элемент [(a)], где (a) рассматривается как элемент произведения \prod_{i\in \N} A (идеал \m является подмножеством в A). Это отображение очевидно инъективно из определения ультрапроизведения. Образ является идеалом, так как он состоит ровно из классов, у которых существует представитель (a), где все координаты a_i лежит в максимальном идеале \m. Заметим, что для проверки максимальности этого идеала достаточно проверить, что A_*/\m_*=(A/\m)_* потому что Лемма 2 гарантирует, что правая сторона равенства является полем. Опять же имеется очевидная стрелка A_* --> (A/\m)_* и (\m)_* лежит в ядре этого отображения. Сюрьективность этого отображения очевидна из определения, нужно проверить только инъективность. Действительно, пусть класс [(a)] переходит в нуль в (A/\m)_*, это означает, что для почти всех индексов i мы имеем a_i\in \m. Определим теперь элемент (a') как a'_i=a_i, если a_i\in \m, и a'_i=0 иначе. Из определения ультрапроизведения следует, что [(a)]=[(a')], но теперь класс [(a')] лежит в \m_* (представлен последовательностью со значениями в максимальном идеале для каждого индекса)! Таким образом [(a)]=\m_*. Обобщая всё сказанное выше, получаем, что A_*/\m_* --> (A/\m)_* изоморфизм, а значит \m_* является максимальным идеалом в A_*. Последняя часть доказательства -- проверить локальность кольца A_*. Локальность A_* равносильна тому, что любой элемент [(a)], который не лежит в максимальном идеале \m_*, является обратимым. Выберем любой элемент [(a)]\notin \m_*, тогда множество индексов i, таких что a_i\in \m_* не лежит в нашем ультрафильтре, а значит множество индексов i, что a_i\notin \m_* лежит в нашем ультрафильтре (как дополнение до множества вне ультрафильтра!). Сделаем стандартный трюк с заменой последовательности (a) на последовательность (a'), определённой по правилу a'_i=a_i, если a_i\notin \m_*, и a'_i=1 иначе. Тогда [(a)]=[(a')] и [(a')] уже обратим с обратным [(a'^{-1})], что и требовалось доказать. Теперь вернёмся к нашему случаю, когда А -- локальная область главных идеалом с максимальным идеалом \m=(x). Тогда Лемма 2 говорит нам, что A_* -- это локальное кольцо с максимальным идеалом \m_*. Из определения \m_* следует, что этот идеал главный и порождён элементом [(x,x,x,x,x,x,x,...)]. То есть A_* есть локальное кольцо с главным максимальным идеалом. Осталось доказать, что оно не может быть нётеровым. Вспомним, что Теорема Крулля о Пересечении говорит, что в локальном нётеровом кольце пересечение всех степеней максимального идеала есть нулевой идеал. Покажем, что это не так в нашем случае. Рассмотрим элемент t_1:=[(x, x^2, x^3, x^4,...)] (класс последовательности a_i=x^i) в A_*. Очевидно, что t_1 лежит в максимальном идеале \m_*. Далее, заметим что t_1=t_2:=[(x^2, x^2, x^3, x^4, ...)], так как наш ультрафильтр содержит все коконечные подмножества \N, поэтому изменение конечного числа элементов в последовательности не меняет его класс в ультрапроизвдении. Но теперь t=1=t_2 лежит в (\m_*)^2. Далее элемент t_1=t_3:=[(x^3, x^3, x^3, x^4, x^5, ...)] лежит в (\m_*)^3, продолжая увеличивать индекс t, получаем, что t_1=t_N=[(x^N, ... N раз, x^N, x^{N+1}, x^{N+2}, ...)] \in (\m_*)^{N}. Таким образом t_1\in \cap_{i=1}^n (\m_*)^i. Последняя вещь, которую осталось проверить, это что построенный элемент t_1 не равен нулю. Это ровно место, где нужно использовать условие на ненильпотентность идеала \m. Действительно, допустим, что t_1=0. Это значит, что множество индексов i, таких что x^i=0, лежит в нашем ультрафильтре. Пустое множество не лежит в ультрафильтре из определения ультрафильтра! Следовательно, существует некое M, что x^M=0. Но тогда это противоречит ненильпотентности идеала \m=(x). Значит t_1\neq 0. Таким образом мы проверили, что A_* является локальным кольцом с главным максимальным идеалом, но само при этом не является нётеровым! (Comment on this)
Friday, May 25th, 2018
12:03 am	Ошибка! В предыдущем посту я совершил ошибку. Довольно забавно, что я в первый раз решил не записывать строго детали, и сразу вышла довольно типичная ошибка. На самом деле я достаточно часто совершаю идиотские ошибки, не вижу способа с этим бороться, кроме как заставлять себя каждый раз строго прописывать все детали доказательства. Иногда оказывается, что сделать это невозможно, коммутирование некоторых диаграмм находится выше моих сил. Тем не менее утверждение про коммутирование пушфорварда с заменами базы неверно, и всё ещё можно изготовить сколь угодно хорошие примеры, однако оказывается, что сделать это несколько сложнее, чем я думал. Завтра запишу новый контрпример, и скажу где у меня была ошибка. Пример, конечно, стандартный, нужно добиться, чтобы H^0(X_s, \O_{X_s}) подскакивало ровно в одной точке, проблема в том, что это не связано с (не)приведённостью слоя. Построить пример с регулярным/нормальным тотальным пространством семейства чуть более сложно, но возможно. (Comment on this)
Wednesday, May 23rd, 2018
11:53 pm	Когомологии и замена базы. Меня немножко утомили люди, которые считают, что когомологии когерентных пучков коммутируют с произвольными заменами базы при достаточных условиях собственности/плоскости морфизма/пучка. Это просто неверно, я сейчас построю конкретный контрпример, с некоторым трудом его можно сделать настолько хорошим, насколько это в принципе возможно. Для простоты мы ограничимся прямым образом, уже для него коммутирование с произвольными заменами базы будет неверно. Утверждение: Пусть f:X-->S проективный плоский морфизм нётеровых схем и F -- векторное расслоение на X, тогда f_*F коммутирует с произвольной заменой базы. Это утверждение неверно даже при таких хороших условиях. Мы построим пример, в котором S будет спектром DVR, X -- проективной относительной кривой со связными слоями и геометрически целым гладким общим слоем, а F просто структурным пучком. При некотором усердии можно добиться, чтобы X была регулярной схемой (но не S-гладкой), то есть это утверждение неверно при любых сколь угодно хороших условиях. Сначала я скажу почему утверждение выше не имеет никаких шансов быть верным. Пусть S=Spec R и R -- кольцо дискретного нормирования (конечного типа над \C, если угодно), а f:X-->S плоский собственный морфизм, такой что общий слой гладкий и геометрически связный, то есть f:X-->S есть "семейство" многообразий, в котором общий слой геометрически связный и гладкий. Тогда из конечности прямого образа при собственных морфизмах мы заключаем, что f_*\O_X -- когерентный \O_S-модуль, то есть A:=H^0(X,\O_X)--конечный R-модуль. Далее, так как X_0, общий слой морфизма f, является геометрически целым и собственным, то мы заключаем, что H^0(X_0,\O_{X_0})=Frac(R)=:K (стандартный факт, из собственности X_0 мы понимаем, что A_0:=H^0(X_0,\O_{X_0}) -- конечная алгебра над полем Frac(R). Так как X_0 геометрически связная, то A_0\otimes_K \overline{K} не имеет идемпотентов. А так как X_0 геометрически приведённая, то A_0\otimes_K \overline{K} не имеет нильпотентов. Из классификации конечных алгебр над полем легко увидеть, что при таких условиях A_0=K). Таким образом, мы знаем, что A есть конечная R-алгебра и Frac(A)=A\otimes_R K=K. Из плоскости X над S мы видим, что естественное отображение R-->A инъективно. Но тогда A является конечным расширением R внутри поля вычетов R, это влечёт R=A в силу нормальности R! То есть мы можем заключить, что \O_S-->f_*\O_X изоморфизм! А тогда принцип связности Зарисского влечёт, что все слои f:X-->S связные. Давайте поймём что вообще значит условие коммутирования с заменой базы. Рассмотрим замкнутое вложение замкнутой точки s в S i_s:Spec k(s) -->S. Тогда f_* F коммутирует с i_s <=> H^0(X,F)\otimes_R k(s)= H^0(X_s, F|_s), где X_s слой над замкнутой точкой и F|_{s} -- ограничение пучка на X_s. Посмотрим, что это значит в нашем случае. У нас F=\O_X, и H^0(X,\O_X)=R, таким образом мы видим, что условие коммутирования с заменой базы на замкнутое вложение замкнутой точки равносильно равенству k(s)=H^0(X_s,\O_{X_s}). Но это довольно сильное равенство! В частности, оно влечёт, что замкнутый слой приведён. Аналогичное рассуждение, применённое к отображению геометрической замкнутой точки в S i_{\overline s}:Spec \overline{k(s)}-->S, показывает, что замкнутый слой должен быть и геометрически связный. Используя связность замкнутого слоя при наших условиях и теорему Cohomology and base change (FGA Explained, глава про формальные схемы), можно понять, что эти два условия на самом деле эквивалентны при наших условиях. Это показывает, что нет никакого шанса, что \O_X будет коммутировать с произвольными заменами базы, потому что, конечно, бывают плоские морфизмы, в которых общий слой (геометрически) связен и гладкий, а замкнутый слой имеет нильпотентны (кратности). Более того, можно добиться, чтобы отображение было относительной кривой, тотальное пространство "семейства" было регулярным, база была гладкая конечного типа над \C, что хотите. Я приведу самый простой, но не самый эффективный, пример. В моём случае S=Spec \C[t]_{(t)} (R=\C[t]_{(t)})--спектр локального кольца аффинной прямой в нуле (эта схема не конечного типа над \C, но предел таковых. Легко можно написать мой пример над открытым куском A^1, если хочется добиться конечного типа). А Х=Proj R[x,y,z]/(x^2-tyz), тогда схема X естественным образом отображается в S. Заметим, что X не имеет вложенных точек, так как задано одним уравнением, которое не является (локально) делителем нуля, в регулярной схеме, поэтому X является Коэн-Маколеевой => не имеет вложенных точек (или можно просто проверить руками). Тогда R-плоскость равносильна тому, что в аффинных картах X не имеет t-кручения, это в свою очередь следует из того, что R[x,y,z]/(x^2-tyz) не имеет t-кручения. Следовательно, f:X-->S плоский морфизм, легко видеть, что каждый слой есть кривая (теорема Крулля о размерности). Осталось понять, что общий слой гладкий и геометрически связный. Гладкость следует из якобиева критерия гладкости (важно что мы не над полем характеристики 2!). Для геометрической связности достаточно доказать геометрическую неприводимость, это, в свою очередь, следует из целости кольца \overline{\C(t)}[x,y,z]/(x^2-tyz) (это следует из того, что x^2-tyz -- неприводимый многочлен). Поэтому общий слой морфизма f:X-->S действительно гладкий и геометрически связный! Осталось понять, что замкнутый слой является неприведённым, тогда из рассуждения выше будет автоматически следовать, что f_*\O_X не коммутирует с заменами базы. Действительно, так как Proj-конструция коммутирует с произвольными заменами базы, то замкнутый слой есть Proj \C[x,y,z]/(x^2), ну а эта штука уже приведена (имеет нильпотент x в аффинных картах). Таким образом мы построили желамый контрпример. P.S. Верная теорема, связанная с коммутирование (высших) прямых образов и замены базы, называется Cohomology and Base Change. Она не является тавтологией, и она не является универсальной. В каждом конкретном случае, чтобы её применить, нужно знать что-то дополнительно про геометрию отображения f:X-->S. UPD: Из этого примера, кстати, можно соорудить пример плоской собственной схемы X над аффинной схемой Spec R, такой что глобальные сечения структурного пучка не являются R-плоским модулем. Это тоже ошибка, которую я встречал миллион раз. В частности, она присутствует в книжке Qing Liu. Не совсем такая, но похожая ошибка встречается и в статье Артина "Algebraization of Formal Moduli I". (1 Comment |Comment on this)
Friday, May 11th, 2018
11:11 pm	Квази-когерентные пучки на (жёстко-)аналитических пространствах В этом посте я хочу показать, что квази-когерентные пучки на жёстко-аналитических пространствах ведут себя не так, как можно было бы ожидать. Например, существуют квази-когерентные пучки на аффиноидных пространствах с ненулевыми старшими когомологиями. Кроме того, категория квази-когерентных пучков на жёстко-аналитических пространствах не замкнута относительно фильтрованных копределов (но это я покажу в одном из следующих постов). Следует отметить, что все конструкции применимы в случае комплесно аналитических пространств с некоторыми оговорками: аффинноидные пространства нужно заменить на Штейновы, Sp k< T> на открытый одномерный диск радиуса 1, и некоторые конструкции нужно делать чуть более аккуратно в комплексном случае, потому что в этом сеттинге нет явной биекции между алгебрами/конечными модулями и Штейновыми многообразиями/когерентными пучками на них. Определение: Пучок F на жёстко-аналитическом пространстве называется когерентным, если 1) существует допустимое открытое покрытие {U_i}_{i\in I} пространства X, такое что для каждого i\in I существуют натуральное число s_i с сюрьективным морфизмом f:\O_{U_i}^{s_i}-->F. 2) для любого допустимого открытого подмножества U\subset X и любого морфизма f:\O_U^t-->F ядро является пучком конечного типа (удовлетворяет пункту 1). Замечание: Для определения когерентных пучков на комплексно-аналитических пространствах (или вообще на любых локально-окольцованных пространствах) нужно просто убрать везде из определения слово "допустимый" (проблема в случае жёстко-аналитических пространств заключается в том, что они не являются топологическими пространствами, а только G-топологизированными пространствами) Определение: Пучок F на жёстко-аналитическом пространстве Х называется квази-когерентным, если существует допустимое покрытие {U_i}_{i\in I} пространства X и индуктивная система когерентных пучков {F_{i,n}} на U_i для каждого i\in I, что F|_{U_i} изоморфен индуктивному пределу colim_n F_{i,n}. В жёстко-аналитической геометрии существует две важные теоремы про когерентные пучки: Теорема Киля: Для любого аффиноидного пространства X=Sp A и когерентного пучка F на Х cуществует конечный А-модуль M, такой что F=M^~ (то есть F(Sp B)=B\otimes_A M для любой аффиноидной подобласти SpB \subset SpA) Теорема Картана B/Тейта:Для любого аффиноидного пространства X=Sp A и когерентного пучка F на Sp A старшие когомологии H^i(X,F)=0 для любого i>0. Замечание: Теорема Киля не имеет аналогов в комплексном случае, теорема Тейта же верна в комплексной ситуации и называется просто теоремой Картана B. Естественный вопрос:"верны ли аналоги этих теорем для квази-когерентных пучков?" (В случае потенциальной теоремы Киля для квази-когерентных пучков нужно убрать требование конечности для модуля М). По крайней мере мы знаем, что оба аналога верны в случае схем. Оказывается, что ответ:"нет". На самом деле достаточно построить контрпример к теореме Картана B, потому что если посмотреть на доказательство Тейта своей теоремы, то можно увидеть, что на самом деле Тейт доказывает эту теорему для любого пучка вида M^{~} (важно, что в определении M^~ мы берём обычное тензорное произведение, а не пополненное!). Поэтому любой пучок \O_X-модулей на аффиноидном пространстве, для которого неверна теорема Картана B, автоматически не может быть вида M^~ для любого А-модуля M. Давайте теперь построим пример такого пучка. Пусть X=Sp K< T> есть "единичный неархимедов шар" (в комплексном случае нужно брать открытый шар радиуса 1). И выберем две произвольные точки x,y\in X(K). Определим U':=X\{x} и U'':=X\{y} -- открытое допустимое покрытие пространства Х, и пусть U будет пересечением U'\cap U''. Определим пучок F':=\sum_{i\in \Z} \O_{U'}a_i на U' и пучок F'':=\sum_{i\in \Z} \O_{U''}b_i на U'' и заметим, что оба пучка являются квази-когерентными как прямые суммы когерентных (когерентность структурного пучка \O в комплексном случае -- это содержательная теорема Ока. В жёстко-аналитическом случае это проще, но там неочевидно, что структурный "пучок" вообще является пучком. По модулю этого факта когерентность не так сложна). Теперь чтобы склеить F' и F'' нужно задать их изоморфизм на пересечение U'\cap U''=U. Для этого выберем произвольную аналитическую функцию h на U с существенными особенностями в x и y (которая не продолжается до мероморфной в обе точки) и зададим два изоморфизма свободного пучка счётного ранга \sum_{n\in \Z}\O_U e_i с обоими ограничениями F'|_{U} и F''|_{U} следующим образом: \phi: \sum_{n\in \Z}\O_U e_i --> F'|_{U}, где \phi/(e_{2m})=a_{2m}|_{U} и \phi(e_{2m+1})=a_{2m+1}|_{U}+he_{2m+2}|_{U} \psi: \sum_{n\in \Z}\O_U e_i --> F''|_{U}, где \psi(e_{2m})=b_{2m}|_{U}+hb_{2m+1}|_{U} и \psi(e_{2m+1})=b_{2m+1}|_{U}. Теперь мы можем склеить наши пучки F' и F'' на U по \phi\circ \psi^{-1} (очевидно, что f и g являются изоморфизмами), так как у нас покрытие из всего двух карт, поэтому нам не нужно проверять никакие условия коцикла. Обозначим эту склейку F' и F'' за F, который уже является пучком на X. Пучок F является квази-когерентным по определению, так как F|_{U'}=F' и F|_{U''}=F'' являются пределами когерентных пучков и покрытие {U',U''} является допустимым. Теперь нам нужно показать, что у пучка F имеются старшие когомологии. Сведём задачу к вычислению глобальных сечений F, а именно рассмотрим точную последовательность: 0 --> F-T->F--> F/TF --> 0, где первое отображение есть умножение на T (напомню, что T есть выбранная образующая в K< T>), это отображение очевидно инъективно (из локального описания F) и фактор равен пучку небоскрёбу в нуле, поэтому H^0(X, F/TF)\neq 0. Более того, мы имеем точную последовательность когомологий H^0(X,F) --> H^0(X,F/TF)-->H^1(X,F), поэтому чтобы доказать, что H^1(X,F) не равен нулю, достаточно доказать, что пучок F не имеет глобальных сечений! А это уже посильная задача. Но нам понадобится следующая техническая лемма: Лемма: Пусть X нормальное (все локальные кольца нормальны) жёстко-аналитическое (или комплексно-аналитическое) пространство, V\subset X допустимое подмножество и G локально (то есть в каком-то допустимом открытом покрытии) изоморфен \sum_{i\in \Z} \O_X, тогда морфизм ограничения G(X) --> G(U) инъективен. Доказательство: Я докажу это в жёстко-аналитическом случае. В комплесном случае аргумент можно адаптировать, по существу ничего не меняется. Шаг 1: Свести к случае G=\O_X, нужно сначала показать, что достаточно работать локально, чтобы считать, что G=\sum_{i\in \Z} \O_X. Далее практически тавтологичный аргумент позволяет считать, что G=\O_X. Шаг 2: Свести к случаю X=Sp A есть связный аффиноид и V=Sp B есть связная аффиноидная подобласть. Доказательство достаточно простое: выберем допустимое покрытие X аффиноидами, чтобы свести к случае аффиноида Х, потом выберем допустимое аффиноидное покрытие V, чтобы свести к случае аффиноидной подобласти. Повторим аргумент, чтобы добиться связности SpA и SpB. Шаг 3: Доказать, что любой подаффиноидной области Sp B \subset Sp A канонический морфизм A-->B является плоским. Это стандартный факт в теории жёстко-аналитических (комплексных) пространств, это теорема 4.1/7 в книжке Bosch "Rigid and Formal Geometry". Шаг 4: Доказать, что из нормальности Sp A (все локальные кольца A в смысле жёсткой геометрии) следует нормальность кольца А. Вкратце доказывается это следующим образом: A--нормально если и только если все локализации А в максимальных идеалах нормальны. Поэтому достаточно показать, что все локализации в максимальных идеалах A_{\m_x} нормальны (Идеал \m_x соответсвует точке x\in Sp A). Теорема Киля (другая) гарантирует нам превосходность всех локальных колец \O_{X,x}, а тогда теорема 23.9 из книжки Матсумуры "Commutative Ring Theory"+критерий нормальности Серра говорят нам, что \O_{X,x} нормально, если и только если его пополнение \O_{X,x}^ нормально. Но в теорема 4.1/2 книжки Bosch'a доказано, что \O_{X,x}^=A_{\m_x}^, воспользуемся ещё раз теоремой 23.9 из книжки матсумуры (зная нётеровость A_{\m_x} для любой аффиноидной алгебры А!), чтобы заключить нормальность A_{\m}. Шаг 5: Конец аргумента. Из всех предыдущих шагов имеем, что Sp A -- связно => А без идемпотентов + нормально => область целостности. Морфизм A=\O_X(X)-->\O_X(V)=B плоский => инъективный, так как А не имеет делителей нуля. Победа. Окей, теперь посчитаем глобальные сечения. Лемма гарантирует, что F(X)-->F(U) есть вложение. Поэтому достаточно показать, что все глобальные сечения F зануляются на U. Из построения F мы знаем, что F|_{U}=\sum_{i\in \Z} \O_U e_i, хочется сказать, что любое сечение F над U есть конечная линейная комбинация e_i'ых. Но тут есть небольшая проблема, так как мы берём бесконечную прямую сумму, то наивная конструкция прямой суммы не будет давать нам пучок и нам нужно пучковизовывать наивную конструкцию. Но также U не является квази-компактным жёстко-аналитическим пространством, поэтому априори непонятно почему любое сечение есть конечная линейная комбинация e_i'ых (например, это неверно для топологического пространства X:=\Z c дискретной топологией и набора пучков небоскрёбов в каждой точке \Z_n. Тогда (\sum_{\i \in \Z}\Z_n)(X)=\prod_{i\in \Z} \Z_n(X)!). Однако нас спасает наша Лемма! Выберем любой подаффинод V\subset U, тогда F(U)--> F(V) инъективен, а на F(V)=\sum_{i\in \Z} \O_V(V)e_i из-за нётеровости V/явной конструкции прямой суммы когерентных пучков на аффиноидном пространстве [этот шаг требует чуть другого аргумента в комплексном случае, который в свою очередь тоже основывается на Лемме выше]. Окей, таким образом мы всё-таки можем сказать, что любое сечение f\in F(U) есть конечная прямая сумма f=\sum_{i=M}^N f_ie_{i}, где f_i\in \O_U(U). Нужно понять какие ограничения на f_i накладывает условие, что f на самом деле есть глобальное сечение F. С одной стороны мы знаем, что если f=g|_{U} для некоторого g\in F(X), тогда f=(g|_{U'})|_{U}, то есть ограничение какого-то сечения с U'. Но согласно нашему построению F (а точнее выбору \phi и \psi) это влечёт следующие условия: * f_i аналитично в x при чётном i и f_i-hf_{i+1} аналитично в х при нечётном i. Аналогичное рассуждение с заменой U' на U'' показывает, что у нас есть ещё одно условие на f_i. А именно, * f_i-hf_{i+1} аналитично в y при чётном i и f_i аналитично в y при нечётном i. Но теперь применим эти условия к i=M и i=M-1. Пусть M чётно, если оно нечётно аргумент ровно такой же с точность до замены x на y. Тогда первое условие для i=M влечёт аналитичность f_M в х. Первое же условие для i=M-1 уже влечёт аналитичность f_{M-1}-hf_M, но f_{M-1} равно 0 в силу выбора M! Следовательно hf_M тоже аналитично в x. Но это значит, что h=(hf_M)/f_M есть мероморфная функция в x, противоречие с выбором h! Подытоживая всё сказанное выше, мы получаем, что H^1(X,F)\neq 0 и F не равен M^~ для любого А-модуля M! (7 Comments |Comment on this)
Monday, April 30th, 2018
5:57 am	Великолепно! Уже 6 утра, сижу смотрю стрим митинга. Лучший митинг эвер. Не слушайте никого кроме либертарианцев (по крайней мере в России). TOP 10 ANIME CROSSOVERS UPD: https://twitter.com/lifenews_ru/status/990931399019565057 Ещё лучше, чем я думал! (1 Comment |Comment on this)
Saturday, April 28th, 2018
12:52 am	Митинг против Роскомнадзора, 30 апреля, 14:00, Пр. Cахарова Либертарианская Партия России организует митинг против Роскомнадзора. 30 Апреля, 14:00, Проспект Сахарова. http://digitalresistance.moscow/ https://www.youtube.com/watch?v=FT6TVvAQ5OY Сам я, к сожалению, не смогу там быть, но если был бы в Москве точно бы вышел (я и так всегда выходил, когда выходило больше 30 фриков). Если бы знал хотя бы за месяц, то обязательно бы прилетел. Так перевёл им 1500р, завтра переведу столько же ФК партии. Напомню, что Либертарианская Партия России -- это единственное приличное оппозиционное движение в России. Будем надеяться на рождение новой оппозиции 30 Апреля. Пора уже навсегда распрощаться с Пархомбюро, Венедиктовым, Собчак, Митей Алешковским и прочими ублюдками, с помощью которых у нас отобрали победу в 2011. (9 Comments |Comment on this)
Wednesday, April 25th, 2018
11:30 pm	Гладко-этальный сайт схемы (стэка) не функториален. В этом посте я расскажу про знаменитую ошибку в книжке "Champs Algebriques" Laumon'a и Morret-Bailley, которую обнаружил Габбер и заделал Олссон. Для определения квази-когерентных пучков на Артиновых стэках обычно используется гладко-этальная топология (lisse-etale topology), но оказывается, что топос, заданный этой топологией, не функториален, что создаёт кучу проблем в основаниях теории. Везде далее можно считать, что X--это схема. Пример нефункториальности данной топологии будет виден уже на уровне схем, единственная причина говорить тут про Артиновы стэки--это контекст в котором актуальна гладко-этальная топология. Определение: Объектами гладко-этального сайта артинова стэка Х являются схемы с гладким морфизмом в U. Набор отображений {U_i}-->U является покрытием объекта U, если все отображения U_i-->U этальные и объединение образов совпадает со всем U. Для того, чтобы доказать, что гладко-этальный топос не функториален нужно для начала определить понятие морфизма топосов (под топосом я понимаю просто категорию пучков множеств на каком-то сайте). Определение: Пусть T_1 и T_2 два топоса (реально можно думать, что T_i=Shv(C_i) для какого-то сайта C_i, никакие больше случаи мне важны не будут), тогда морфизм топосов (f^{-1}, f_*): T_1-->T_2 пара сопряжённых функторов f_*:T_1-->T_2 и f^{-1}:T_2 --> T_1 (f^{-1}-левый сопряжённый, f_*-правый сопряжённый) с условием, что f^{-1}-точен. Замечание 1: Что вообще значит, что f^{-1} есть точный функтор? Категория пучков множеств Shv(C_i) не абелева. На самом деле это просто жаргон для функтора, который коммутирует со всеми конечными пределами и копределами (равносильно коммутирует с (ко-)эквалайзерами и (ко-)прямыми произведениями). Несложно показать, что в случае морфизма абелевых категорий понятие точного функтора равносильно понятию аддитивного точного функтора в обычном смысле. Замечание 2: По определению f^{-1} является сопряжённым слева функтором, поэтому он автоматически точен справа (коммутирует с конечными копределами). Следовательно, точность этого функтора равносильна его точности слева, что в свою очередь равносильно сохранению эквалайзеров и конечных произведений. Замечание 3: Почему это "правильное" определение? Во-первых, мы знаем, что в случае непрерывного морфизма топологических пространств f:X-->Y функтор f^{-1} действительно точен. Ну и вообще это выполняется во многих естественных случаях. Но это объяснение не математическое, давайте скажем почему это важное условие чисто математически. Для простоты ограничимся случае T_i=Shv(C_i), хотя это, конечно, не обязательно. Прежде всего стоит заметить, что f^{-1} должен коммутировать с конечными прямыми произведениями, чтобы переводить пучки абелевых групп на С_2 в пучки абелевых групп на C_1! Действительно, если вы попробуете это строго доказать, то чтобы определить операцию умножения вам будет необходимо требовать, чтобы f^{-1}(AxA) было равно f^{-1}(A)xf^{-1}(A). OK, то есть любое разумное определение морфизма топосов должно требовать, чтобы f^{-1} коммутировал с прямыми произведениями. Что насчёт эквалайзеров? Тут возникают две проблемы, одну я обсужу сейчас, а другую позже на конкретном примере. Первая проблема состоит в том, что без точности f^{-1} непонятно как строить спектралку Лере-Серра. То есть пусть у меня есть два морфизма топосов (f^{-1}, f_*):T_1-->T_2 и (g^{-1},g_*):T_2-->T_3, тогда хочется сказать, что существует спектральная последовательность E_2^{p,q}=R^pg_*(T_2, R^qf_* F)=> R^{p+q}(g\circ f)_* F. Действительно, это "просто" спектралка Гротендика композиции производных функторов (казалось бы). Но нет, чтобы спектралка Гротендика существовала необходимо требовать, чтобы f_* переводил инъективные объекты (пучки) в g_*-ацикличные! И единственный способ это доказывать в такой общности -- это сказать, что f_* есть правый сопряжённый к точному функтору f^{-1}, поэтому он сохраняет инъективные объекты! (Тут важно ещё, что мы считаем производные функторы в категории абелевых пучков, а не Qcoh или \O_X-модулей, чтобы f^{-1} был точен, f^* как правило не точен! Апостериори оказывается не важно считать прямые образы в \O_X-модулях или абелевых группах) Поэтому условие на точность функтора f^{-1} вполне естественно, иначе бы все основания были сильно хуже. Вернёмся теперь к нашему случаю. Что мы имеем в виду под функториальностью гладко-этального топоса для артиновых стэков? Мы хотели бы для каждого морфизма f:X-->Y артиновых стэков (опять же можно думать, что везде схемы, это не суть важно) построить морфизм топосов (f^{-1}, f_*):Shv(X_{l-e})-->Shv(Y_{l-e}), но не произвольный, а с заранее выбранным f_*. Предположим опять для простоты, что f:X-->Y представим алгебраическими пространствами (или даже схемами). Тогда у нас есть естественный кандидат на f_*, а именно, мы определяем (f_*F)(U)=F(U\times_Y X)(заметим, что при наших условиях U\times_Y X есть алгебраическое пространство (схема) с гладким морфизмом в Х, следовательно мы можем вычислять значение нашего пучка F на этом объекте. Строго говоря, это требует некоторой аккуратности в случае морфизма представимого алгебраическими пространствами (в моём определении сайте участвуют только схемы), но я не буду этого касаться). В случае произвольного морфизма артиновых стэков см. определение f_* в книжке Олссона "Algebraic Spaces and Stacks" гл.9. Теперь чтобы построить морфизм топосов необходимо построить функтор f^{-1}, сопряжённый к f_* и доказать его точность. Отметим, что у нас уже нет никакой свободы выбора по сути, если f^{-1} существует, то он единственен (вероятно, я должен сказать единственный с точностью до единственного изоморфизма)! Поэтому как только мы выбрали f_*, все остальные данные в определении морфизма топосов становятся условиями. Оказывается, что f^{-1} всегда существует и конструкция примерно такая же как обычно: нужно взять некоторый копредел, а потом пучковизовать получившийся предпучок (это дело работает для произвольного непрерывного морфизма сайтов, доказательство и конструкция также содержатся в книжке Олссона). И, более того, f^{-1} всегда коммутирует с конечными копределами, что можно увидеть из явной конструкции. Остаётся единственный вопрос:"Верно ли что f^{-1} есть точный функтор?" Оказывается, что нет! По существу проблема состоит в том, что предел, который необходимо брать в определении f^{-1} не является фильтрованным, поэтому непонятно почему он должен быть точным слева. Но вместо этого я лучше построю конкретный контрпример в категории пучков абелевых групп на гладко-этальном сайте (это допустимо, так как f^{-1} коммутирует с конечными произведениями, поэтому переводит пучки абелевых групп в пучки абелевых групп). Явный пример: рассмотрим замкнутое вложение f:Y:=Spec(k)-->X:=A^1_k=Spec(k[t]) как нулевое сечение (k-поле). Тогда я утверждаю, что f^{-1}\O_X=\O_Y (пулбэк в категории гладко-этальных пучков). Тут я должен объяснить что такое структурный пучок в гладко-этальной топологии, я определяю его как \O_X(U)=\O_U(U), легко проверить, что это действительно пучок абелевых групп в гладко-этальной топологии. Я не описал явную конструкцию для f^{-1}, но для того, чтобы это доказать мы ничего и не будем использовать кроме сопряжённости к функтору f_*. OK, заметим, что пучок \O_X представлен схемой A^1_X, действительно \O_X(U)=\O_U(U)=Hom_X(U,\A^1_X). Теперь выберем произвольный пучок G в Shv(Y_{l-e}) и посчитаем Hom(f^{-1}\O_X, G) (я обозначаю за h_Z (пред-)пучок представленный схемой Z. Все представимые объекты в нашей топологии являются пучками по стандартному аргументу с строго плоским спуском). Hom(f^{-1}\O_X, G)=Hom(\O_X, f_*G)=Hom(h_{A^1_X}, f_*G)=(f_*G)(A^1_X)=G(A^1_X\times_X Y)=G(A^1_Y)=Hom(\O_Y,G). Чем я пользовался, чтобы написать эти равенства? Первое равенство -- сопряжённость f^{-1} и f_*, второе, четвёртое и пятое -- просто определения. Но чтобы написать третье (и шестое) равенство мне критически важно, что A^1_X лежит в гладко-этальном сайте Х, то есть что А^1_X гладко над Х. Иначе я бы просто не мог вычислять f_*(G) на A^1_X, эта схема бы не лежала в сайте и это значение было бы не определено! Также я пользуюсь леммой Йонеды в равенствах 3 и 6. Теперь мы замечаем, что лемма Йонеды влечёт, что равенство Hom(f^{-1}\O_X,G)=Hom(\O_Y,G) равносильно f^{-1}\O_X=\O_Y. Хочу отметить, что это вычисление совершенно неверно в зариской топологии (не путать с f^*!)и в малой этальной топологии, например (A^1_X-->X не является объектом этих сайтов). Наконец можно построить конкретный пример, когда f^{-1} не сохраняет точность слева. Рассмотрим морфизм пучков \O_X-->\O_X, заданный просто умножением на t. Этот морфизм инъективный, так как любая схема U c гладким морфизмом g:U-->A^1_k=X является гладкой над Spec k, значит там нет t-кручения, следовательно \O_X(U)-->\O_X(U) инъективно для любого объекта в гладко-этальном сайте X. Но как только мы возьмём пулбэк этого морфизм на Y=Spec k, то это будет морфизм \O_{Spec k}-->\O_{Spec k}, который есть умножение на "t", но t=0 на Spec k (f:Y-->X есть нулевое вложение), поэтому этот морфизм не будет инъективным! То есть f^{-1} не является точным функтором! То есть гладко-этальный топос действительно не функториален. Удивительно, что никто не замечал эту ошибку до Габбера. OK, теперь можно задаться насколько плохи наши дела из-за этого факта. Второй вопрос: можно ли использовать другую топологию, чтобы решить проблему нефункториальности? [Далее могут быть какие-то неточности или мелкие ошибки, я не уверен, что я ничего не пропустил или не перепутал] Начнём с первого. Как я уже говорил непонятно почему существует спектралка Лерэ-Серра для морфизма артиновых стэков. Есть вторая проблема (которую я упоминал выше), а именно, непонятно как определять производный функтор Lf^*:D^{-}_{Qcoh}(\O_Y-mod)-->D^{-}_{Qcoh}(\O_X-mod) на уровне производных категорий для (представимого) морфизма f:X-->Y. Для определения квази-когерентного пучка на артиновом стэке нужно опять же смотреть в книжку Олссона. В чём проблема с Lf^*? Для начала мне нужно сказать что значат все эти символы. Напомню, что функтор f^* определяется как сопряжённый к f_* но в категории пучков \O_X-модулей (легко проверить, что f_*:Shv(X_{l-e})--> Shv(Y_{l-e} переводит пучки \O_X-модулей в пучки \O_Y-модулей), явная конструкция такая:f^*(F)=f^{-1}(F)\otimes_{f^{-1}(\O_Y)}\O_X. Теперь D^{-}_{Qcoh}(\O_X-mod) является ограниченной снизу производной категорией комплексов \O_X-модулей с квази-когерентными когомологиями. Я не знаю никакой причины (мб это неверно) почему D^{-}_{Qcoh}(\O_X-mod)=D^{-}(Qcoh(X)), в случае локально-нётеровых схем это реальная теорема, в случае артиновых стэков я не уверен что это правда. Теперь чтобы определить морфизм Lf^*:D^{-}_{Qcoh}(\O_Y-mod)-->D^{-}_{Qcoh}(\O_X-mod) нам необходимо проверить, что f^* есть точный справа аддитивный функтор на категории \O_Y-mod, который "переводит комплексы с квази-когерентными когомологиями в комплексы с квази-когерентными когомологиями" (не совсем). Оказывается, что это неочевидно, но верно, что f^* действительно сохраняет квази-когерентные пучки, но непонятно почему он сохраняет комплексы с квази-когерентными когомологиями. По сути нам необходимо проверить, что после применения f^* к комплексу \O_X-плоских модулей с квази-когерентными когомологиями получается комплекс с квази-когерентными когомологиями. Хочется сказать, что когомологии будут просто пулбэком, но для этого нужна точность f^{-1}(понятно, если попробовать строго доказать). Удивительным образом обе проблемы (и некоторые другие) были в некоторой степени решены Олссоном в его статье "Sheaves on Artin Stacks" с помощью симплициальных методов (но всё-таки Lf^* не определён на всей D^{-}). Второй вопрос: На самом деле я не знаю ответа. Большой этальный сайт и большой плоский сайт автоматически функториальны. Поэтому таких проблем не будет, будут проблемы связанные с тем, что вложение категории квази-когерентных пучков в категорию всех пучков не есть точный функтор, поэтому подкатегория квази-когерентных пучков в \O_X-модулях не подкатегория Серра и производная категория D^{-}_{Qcoh}(\O_X) имеет мало смысла, а мы действительно хотим рассматривать в основаниях именно эту категорию. Чтобы увидеть, что Qcoh(X)_{big-flat} --> (\O_X-mod)_{big flat} не является точным функтором достаточно рассмотреть ровно тот же самый пример, что я рассмотрел выше. Пусть X=A^1_k, тогда строго плоский спуск гарантирует, что категория квази-когерентных пучков в большом плоском сайте эквивалентна категории квази-когерентных пучков в Зарисской топологии. В частности морфизм пучков \O_X-->\O_X, заданный умножением на t инъективный. Но если мы ограничим это дело на Spec k-->A^1_k(нулевое сечение), то этот морфизм станет опять нулевым морфизмом \O_X(Spec k)=k-->k=\O_X(Spec k) (заметим, что тут Spec k-->A^1_k уже лежит в нашем сайте, значит мы можем просто вычислять \O_X на этом объекте и не должны уже доказывать, что f^{-1}\O_X=\O_{Spec k}). То есть в большом плоском сайте этот морфизм уже не инъективный, значит Qcoh(X)--> (\O_X-mod)_{big flat} уже не является точным для X=A^1_k. То есть, кажется, что проблема в обоих подходах по сути заключена в одном и том же, но проявляется чуть по разному. Тем не менее, на стэкспроджекте теория пучков на артиновых стэках развита в большом плоском сайте. Я это не читал, но, насколько я понимаю, от этого не становится сильно проще жить, и де Йонгу требуется всё равно огромная работа, чтобы всё работало в таком сэттинге. Поправьте меня, если я не прав. (26 Comments |Comment on this)