Настроение:	bored
Музыка:	Jordi Savall: Lachrimae Caravaggio (Hespèrion XXI)
Entry tags:	геометрия, геометрия/задача Каповича, лытдыбр

Противоречие в математике
Раббан v_r, сын рабби К. Р., когда нашёл противоречие в математике и пришёл с ним к своему учителю рабби tiphareth, получил от него: «О, очень хорошо, значит мы на верном пути! Всякий раз, когда доказываешь стоящую теорему, находишь как минимум одно противоречие в математике». Однако я бы не советовал юношам слишком восторженно пересказывать это поучение, не побывав сперва в такой ситуации самим: в тот момент, когда ты сам находишь противоречие в математике, силы твои иссякают, и отчаяние заставляет тебя подозревать, что ты не докажешь ничего и никогда по слабости умственных сил. Потом, быть может, когда противоречие удастся разрешить, это отчаяние минет; но увидеть, как именно, из глубины падения не представляется возможным.

Давайте опять S кривая рода g, a \alpha \in \Omega(S) голоморфная 1-форма с нулями z_0, ... z_{2g-3}. Отображение пучков \alpha : T \to O имеет коядро O_Z, сумму пучков-небоскрёбов в нулях \alpha, и длинная точная последовательность когомологий читается

H^0(O) \to H^0(O_Z) \to H^1(T) \to H^1(O).

Образ связующего гомоморфизма H^0(O_Z) \to H^1(T) есть касательное пространство к изопериодическим деформациям для \alpha (то есть таким, что класс [\alpha] \in H^1(S,\C) продолжает лежать в соответствующем H^{1,0}-подпространстве). Это особенно легко увидеть, когда форма \alpha подымается с эллиптической кривой: тогда отображение в эту кривую есть ветвящееся накрытие, и нули \alpha суть дивизор ветвления. Деформация ветвящегося накрытия задаётся вариацией точек ветвления, то есть набором касательных векторов в них; подставляя эти вектора в голоморфный дифференциал эллиптической кривой, получаем по числу в каждой точке ветвления, то есть сечение O_Z. Деформация тривиальна, если все вектора в точках ветвления были сонаправленны, то есть деформация задавалась сдвигом эллиптической кривой; таким образом, тривиальные деформации задаются как раз константными сечениями O_Z.

Рассмотрим теперь пару голоморфных 1-форм \alpha и \beta без общих нулей. Коядро отображения пучков \alpha \oplus \beta : T \to O + O в таком случае есть линейное расслоение, изоморфное каноническому, и длинная точная последовательность пучков читается

H^0(O+O) \to H^0(K) \to H^1(T) \to H^1(O+O) \to H^1(K).

Как и в предыдущем случае, образ связующего гомоморфизма состоит из деформаций, сохраняющих периоды классов обеих форм. В частности, он лежит в образе связующего гомоморфизма для одной формы, то есть мы можем задаться вопросом: а как описать отображение

H^0(K)/H^0(O+O) \to H^0(O_Z)/H^0(O)?

Ответ напрашивается:

\gamma \mapsto s_\gamma = (\gamma(z_i)/\beta_{z_i})_{i=0}^{2g-3}.

Ядро этого отобажения это, натурально, только \alpha, а после факторизации по константам к ядру добавится ещё и \beta. Образ его есть g-2-мерное подпространство в 2g-3-мерном, для разного выбора \beta при фиксированном \alpha будут получаться разные подпространства...

Впрочем, пусть теперь кривая S допускает инволюцию \iota. Пусть вдобавок эта инволюция гиперэллиптична, то есть действует на всех 1-формах на кривой умножением на -1. В таком случае дивизор нулей \alpha сохраняется инволюцией; упорядочим z_i-тые так, что \iota(z_{2i}) = z_{2i+1}. Что в таком случае можно сказать про образ отображения H^0(K)/H^0(O+O) \to H^0(O_Z)/H^0(O)? Имеем:

s_\gamma(z_{2i+1}) = \gamma(z_{2i+1})/\beta(z_{2i+1}) = \gamma(\iota(z_{2i}))/\beta(\iota(z_{2i})) = (\iota^*\gamma)(z_{2i})/(\iota^*\beta)(z_{2i}) = -\gamma(z_{2i})/-\beta(z_{2i}) = \gamma(z_{2i})/\beta(z_{2i}) = s_\gamma(z_{2i}).

Таким образом, изопериодическая деформация для \alpha изопериодична также и для \beta, если она задаётся вектором из H^0(O_Z), инвариантным относительно гиперэллиптической инволюции (то есть вида (aa bb cc ...)).

Однако заметим, что таких векторов в точности g-2 (после того, как мы поделимся по константному вектору), а это и есть предсказанная размерность пространства деформаций кривой с парой классов, и в данном случае она равна подлинной размерности пространства деформаций, поскольку пространства изопериодических деформаций для двух форм \alpha и \beta могут пересекаться нетрансверсально, если только \alpha и \beta имеют общие нули. Стало быть, все вектора вида (aa bb cc ...) задают деформацию, сохраняющую периоды \beta, что абсурдно, поскольку это условие никак не зависит от \beta!

Чтобы разрешить эту загвоздку, я попытался написать явно связующий гомоморфизм H^0(O_Z) \to H^1(T). Но это очень сложная нелинейная операция: то есть мы хотим набору данных 'кривая, точка на ней, и голоморфная 1-форма с нулём в этой точке' выдать функционал на квадратичных дифференциалах на этой кривой. Ни по Чеху, ни по Дольбо я вычислить ничего не смог. Впрочем, это должно быть хорошо известно; я задал вопрос на mathoverflow и лёг спать в предвкушении того, как с утра за завтраком наслажусь ответом. Ко мне ночью даже кот пришёл и тоже спал со мной. И что же? молчание было ему ответом. А чему удивляться, люди убивать фашизмом заняты (а кто не заняты, перестали вовсе заглядывать в эту помойку).

Напишу раббану Кричеверу что ли, лол.