Настроение:	sleepy
Музыка:	Мельница -- Кицунэ
Entry tags:	геометрия, геометрия/исключительные голономии, лытдыбр

Хитчин и его алгебраическое данное
Мою guilty pleasure, браузерную версию freeciv, которая была по адресу play.freeciv.org, выпилили. Думал, что поэтому больше не буду заниматься ерундой, а буду тем, чем положено, но какое там -- вместо этого играю во вторую цивилизацию в браузерном эмуляторе DOS (меньше извращаться не выходит, потому что на компьютер у себя в офисе ничего не могу поставить, а просить сисадмина поставить игрушку совсем уж стыдно). Вчера, играя за Троцкого в стандартном сценарии ко второй цивилизации, разгромил нацизм во Второй мировой войне, в союзе с маршалом Петэном покорив Испанию по Танжер. Сидел над этим занятием в офисе до четырёх часов ночи, приехал домой в пять с чем-то, и заснул, почти не раздеваясь. Проснулся примерно в 9-40, а в 11 намечался семинар, где говорили (как не хватает в русском языке будущего-в-прошедшем) что-то про G_2, и очень хотелось мыться и есть. Решил не мучать себя, помылся и поел, и в итоге опоздал всего минут на 20, которые докладчик по американской традиции давал определение того, что такое G_2-голономия. Дальше, впрочем, был тёмный лес -- строились конические метрики с голономией то Spin(7), то G_2, у которых линк также был особым, я конечно ничего не понял, зачем.

А меня занимает такой вопрос. Гипотеза, приписываемая Яу, утверждает, что всякое почти комплексное многообразие комплексной размерности более двух допускает комплексную структуру. Тиан предложил решать это, запуская некоторый поток, который к чему-то такую структуру да сведёт (или же наоборот -- из монотонности каких-то гипотетических инвариантов можно было бы заключить, что не допускает комплексной структуры, скажем, шестимерная сфера). Потоки у него зависят от выбора метрики.

Мы же понимаем, что за уравнением к примеру потока Риччи стоит не метрика, а её связность Леви-Чивиты. Она конечно единственна, и по ней восстанавливается обратно метрика, поэтому вопрос о первенстве тут сродни вопросу о кукушке и яйце. Но в случае, когда никакой естественной метрики не имеется, мне кажется, скорее правильно думать о связности (связности проще метрик, самый простой объект дифференциальной геометрии вообще). Как построить каноническую связность по почти комплексной структуре? Да никак. Можно потребовать, помимо параллельности почти комплексной структуры, чтобы кручение равнялось тензору Нейенхёйса. Такие связности, как доказал Лихнерович, существуют, они составляют аффинное пространство над пространством сечений расслоения \Sym^2_{\C}(T^*) \o_{\C} T. Если комплексная размерность нашего многообразия равняется n, то это расслоение имеет вещественный ранг n^3 + n^2. В частности, при n = 3 это число равняется 36, что совпадает с квадратом вещественной размерности -- вещественным рангом расслоения T \o_{\R} T^*. Таким образом, есть надежда, что для довольно общего эндоморфизма касательного расслоения имеется единственная связность Лихнеровича, для которой оно параллельно. По эндоморфизму можно построить форму объёма, если так окажется, что она параллельна (а как может быть иначе? но полной уверенности у меня нет, там же надо квадратный корень извлекать), то кривизна Риччи этой связности будет симметрична (поскольку её кручение равно тензору Нейенхёйса, выражающемуся через параллельный оператор почти комплексной структуры, и тем самым параллельно, а если связность с параллельным кручением допускает параллельную форму объёма, то его кривизна Риччи симметрична).

А вообще-то мне кажется, что правильный тензор, который можно пытаться требовать иметь параллельным -- это тензор \eta : T --> \Lambda^5(T^*). Хитчин описал \SU(3)-структуры в терминах двух форм, 2-формы и 3-формы, и оператор x \mapsto \iota_x(\psi) \wedge \psi, где \psi -- пресловутая 3-форма, играет у него важную роль. Именно, поскольку \Lambda^5(T^*) \o T^* --> K, где K := \Lambda^6(T^*), -- невырожденное спаривание, имеет место канонический изоморфизм \Lambda^5(T^*) = T \o K, откуда \eta можно воспринять как отображение T --> T \o K. Его определитель есть изоморфизм линейных расслоений K^* --> K^* \o K^{\o 6}. Сокращая K^* с обеих сторон, получаем сечение K^{\otimes 6}. Поскольку всё над \R, а многообразие ориентируемо, то это сечение определяет также форму объёма. Всё то же самое можно проделать для любого тензора \eta : T --> \Lambda^5(T^*), не обязательно приходящим из 3-формы. Но почему-то полной уверенности, что он будет параллелен, у меня нет -- час уже поздний. Вроде не должно быть -- стабилизатор вектора из K^{\o 6} есть группа матриц с определителем \pm 1, и если многообразие ориентировано, то голономия лежит в \SL, откуда получается параллельная форма объёма. Но, опять-таки, возможность извлечь корень 6-й степени из параллельного тензора и получить параллельный тензор меня очень смущает.

В любом случае, что дальше, как писать хоть какой-нибудь поток -- непонятно.

Сегодня должен был полететь к azrt, но у меня нету паспорта, понеже британцы, каким я отправил его в консульство, его зажали, и я не полетел. Я очень надеялся, что рейс отменят, и я смогу получить за него свои деньги -- сегодня был по местным меркам сильный буран (по русским нормальный, за вычетом того, что он ужасно мокрый), и вчера писали, что рейс должны отменить -- но не отменили, и Никон Курносов им улетел. Во время бурана вид был довольно открыточный -- вход в Курант я даже положил у себя в инстаграме, а наряднее всего был вид на Стонвольский памятник, но объектив постоянно залепляло снегом, и я не уверен, что хоть какие-то фотографии получились. Вместо того, чтобы скрипеть, снег на земле таял и хлюпал под ногами, как кишки на поле битвы, и это -- вместе с тем, что я оделся не по погоде и быстро промок -- сильно подмораживало всякую радость. Сейчас наконец-то пообсох, и могу попробовать ехать домой, а то совсем уж засиделся.