Настроение:	anxious
Музыка:	Дом Престарелых Аутистов -- Жуть
Entry tags:	геометрия, геометрия/однородные пространства, теория графов

Шестимерная геометрия и браки в коммуне пансексуалов
Многие геометры, например Громов и Дональдсон, замечают важность в четырёхмерной геометрии 'гомоморфизма Тартальи' S_4 \to S_3, заданного действием группы симметрий тетраэдра на трёхэлементном множестве совершенных паросочетаний его вершин (и аналогичного гомоморфизма SO(4) \to SO(3)). Громов вообще утверждает, что геометрия есть не более чем исторический способ думать о комбинаторике индексов; если это о чём-то и говорит, то о том, насколько сложна комбинаторика.

Если думать про совершенное паросочетание как про инволюцию без неподвижных точек, то, вспоминая, что конечное множество есть 'векторное/проективное пространство' (по мне скорее сфера) 'над полем из одного элемента', можно заключить, что совершенное паросочетание на полном графе есть комбинаторный аналог комплексной структуры на векторном пространстве. Соответственно, множество совершенных паросочетаний на K_{2n} -- это комбинаторный аналог однородного пространства SO(2n)/U(n). При n = 2 никакой более структуры на этом множестве нет, поскольку любые два паросочетания можно перевести подходящей перестановкой в любые два другие. Однако при n = 3 это уже неверно: два паросочетания могут иметь общее ребро, а могут не иметь. Это определяет на множестве паросочетаний шестиэлементного множества структуру графа. При n > 3 там будут и грани большей размерности (наверное, этот комплекс носит специальное название, но я не нашёл его даже для n = 3).

Соответствующая геометрическая картинка довольно прозрачна: на факторе SO(6)/U(3) существует семейство рациональных кривых, каждая из которых состоит из комплексных структур, относительно которых инвариантно некое присущее этой кривой двумерное подпространство. Кривые, проходящие через данную точку, параметризуются CP^2, и вообще этот фактор всего биголоморфен CP^3. Это довольно стандартный факт, grigori любезно указал мне ссылку на статью (PDF, 124,6 кБ) Апостолова, Гранчарова и Иванова, где бегло об этм пишется.

Опишем подробнее граф совершенных паросочетаний на K_6, который мы обозначим за Match(K_6). Для этого выберем раз навсегда вершину v \in V(K_6), впредь вершины, обозначаемые другими буквами, считая отличными от v. Этот выбор разбивает Match(K_6) на пять подмножеств, занумерованных вершинами, с которыми можно сочетать v. Эти подмножества трёхэлементны, и между ними имеются все рёбра (поскольку принадлежащие к ним паросочетания имеют общее ребро, начинающееся в v). Обозначим треугольник паросочетаний, для которых v ~ x, за T_x. Если \xi \in T_x, и y \neq x, то из \xi есть ровно одно ребро в T_y -- а именно в вершину, соответствующую паросочетанию, спаривающему v ~ y, x ~ \xi(y), и что там ещё осталось (здесь я снова пользуюсь конвенцией, согласно которой паросочетание это инволюция). Таким образом, для любой пары вершин x и y имеется естественная биекция между T_x и T_y. Однако эти биекции не задают тривиализации: композиция двух таких биекций отличается от сквозной биекции на транспозицию.

Чтобы сказать, какую именно, зафиксируем опять вершину u \neq v, и построенными выше биекциями T_x с T_u зафиксируем 'локальную тривиализацию' V(Match(K_6)) = V(K_5) \x T_u. Оказывается, прямая биекция между T_x и T_y в терминах этой тривиализации есть транспозиция, неподвижной точкой которой является паросочетание u ~ v, x ~ y, и что там ещё осталось. Это не особо сложно проверить, но запись этого словами громоздка, проще нарисовать картинку для какой-то одной четвёрки, а потом воспользоваться S_6-инвариантостью всей конструкции. Вместе с тем, это полностью описывает рёберную структуру графа паросочетаний: он может быть представлен как 'расслоение' на треугольники над K_5 'с неплоской связностью'. Заметим, что выбор другой вершины v приведёт к другому 'расслоению'.

Для SO(6)/U(3) параллельная картинка -- это твисторное расслоение. Выберем единичный вектор v, и отправим комплексную структуру I в вектор Iv \in S^4 \subset v^\perp. Слой этого расслоения параметризует ортогональные комплексные структуры на четырёхмерном пространстве \span{v, Iv}^\perp, то есть является рациональной кривой. Получающееся расслоение CP^3 \to S^4 со слоем CP^1 есть то же самое, что сопоставление прямой в C^4 содержащей её кватернионной прямой при рассмотрении C^4 как H^2. Слова 'то же самое' в данном случае бессмысленны, поскольку явного сопоставления кватернионной проективной прямой и единичной сферы в ортогонале к абы какому вектору я не привёл, но это можно сделать, просто мне лень. В этом расслоении имеется связность Эресманна, кривизна которой имеет коэффициенты в поворотах круглой сферы. У такого поворота имеется неподвижная точка; таким образом, пара касательных векторов к S^4 определяет конкретную точку слоя над ней (точнее, пару точек, отличающихся знаком). В этом выбор точки в S^4 параллелен выбору u в предыдущем абзаце, выбор касательных векторов -- выбору x и y. Соответственно, эта неподвижная относительно значения кривизны на этой паре векторов комплексная структура есть та, которая переводит v в u, сохраняет плоскость, натянутую на x и y, и определяющаяся этим одним из двух возможных способов, соответствующих двум ориентациям на этой плоскости.

Геометрия твисторов четырёхмерной сферы не то что бы очень сложна, но нетривиальна и далека от завершения -- недавно Форстнерич положил статью про суперминимальные поверхности на архив например (суперминимальная поверхность в S^4 -- это такая, которая в твисторное расслоение поднимается всюду перпендикулярно слоям). Так что всё сказанное служит иллюстрацией к тому, до чего сложна комплексная стереометрия: если комбинаторика индексов у ней есть дискретизация небанального геометрического сюжета, то какова же геометрия?