>Задача содержательная, если она служит чему-то большему, нежели простому развитию механических навыков.

Это как то слишком обще и размыто, т.к. это итак понятно, но непонятно какие задачи лучше выбрать. Хотелось бы иметь более конкретный критерий хотя бы в области учебных задач по математики.

>Навыки будут развиваться в любом случае, при условии,
что они действительно нужны для решения содержательных задач.
А вот специально пытаться их развивать путём большого решения механических задач не нужно.

Из психологии известно, чтобы развился конкретный навык, упражнение в течении короткого времени на именно этот навык нужно повторить многократно, а не растягивать процесс от случая к случаю. Отсюда и идут требования вычислить интегралы от 50 функций. А иначе все время придется Америку открывать. Я вчера прочитал воспоминания Виталия Гинзбурга, который жаловался, что жизнь у него сложилась так, что он не получил нормальное школьное образование и из-за этого у него, теоретического физика, всю жизнь были проблемы с вычислениями и он выходил из положения благодаря физическому чутью.

>В идеале доказательства должны быть как у Гротендика:
когда определения сформулированы и осознаны,
все теоремы становятся тривиальными.

Да, я знаю о таком постулате. Но ведь тогда возникает другая проблема - становится слишком много определений и новых терминов, которые сложно быстро воспринять и удержать в голове. Теория перестает быть обзорной. Что-то подобное наблюдается в современном программировании, когда смотришь на тысячи строк кода и понимаешь, что захлебываешься в нем несмотря на все тщательно построенные структуры и комментарии. А как с этим бороться непонятно.

Я иногда читаю блог Посицельского и удивляюсь, как он умудряется удерживать, а главное манипулировать в голове очень сложными и длинно описанными математическими конструкциями. Как этого добиться совершенно непонятно. У вас есть этому объяснение? Вы ведь и сами работаете в очень сложном разделе математики. Это врожденное качество или его можно как-то развить?

>Этот идеал не везде достигнут, и тогда более полезными
являются доказательства с ясной концептуальной идеей
(в противоположность техническим вычислениям).

Не совсем понятно содержание понятия концептуально. Нельзя ли более подробно расшифровать? Все же в любом доказательстве есть идеи и они вроде бы вполне себе ясные. Доказательство обычно разбивается на этапы и это очень похоже на структурное программирование.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Это как то слишком обще и размыто, т.к. это итак понятно, но непонятно какие задачи лучше выбрать. Хотелось бы иметь более конкретный критерий хотя бы в области учебных задач по математики.

Ну почему непонятно? Например, понятно, что не надо давать задачи
вида «вычислите производную/интеграл заданной функции»
или «решите данное логарифмическое неравенство».

>Из психологии известно, чтобы развился конкретный навык, упражнение в течении короткого времени на именно этот навык нужно повторить многократно, а не растягивать процесс от случая к случаю.

И как это противоречит тому, что я сказал?
Решайте концептуальные задачи в данной теме с достаточной интенсивностью
и необходимые навыки сами разовьются.

>Но ведь тогда возникает другая проблема - становится слишком много определений и новых терминов, которые сложно быстро воспринять и удержать в голове.

На мой взгляд, изучение таких теорий подобно изучению иностранного языка.
Оно происходит постепенно и не очень быстро.
Чем больше языков уже изучено, тем проще изучить следующий.

>Все же в любом доказательстве есть идеи и они вроде бы вполне себе ясные.

Существует множество доказательств без каких-либо идей.
Тупые вычисления в большом количестве, и в конце получается ответ.
Доказательство гипотезы о четырёх красках как раз такого типа.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Ну почему непонятно? Например, понятно, что не надо давать задачи
вида «вычислите производную/интеграл заданной функции»
или «решите данное логарифмическое неравенство».

Хорошо бы привести не негативное определение, а позитивное. Ну или хотя бы примеры содержательных задач из того же интегрирования.

>И как это противоречит тому, что я сказал?
Решайте концептуальные задачи в данной теме с достаточной интенсивностью
и необходимые навыки сами разовьются.

Ну хорошо, тогда лучше пример. Навык интегрирования по частям это полезная вещь или нет? И хорошо, если бы вы расшифровали что такое концептуальная задача. Ну или хотя примеры из того же интегрирования привели.

>На мой взгляд, изучение таких теорий подобно изучению иностранного языка.
Оно происходит постепенно и не очень быстро.
Чем больше языков уже изучено, тем проще изучить следующий.

Для меня это не очень хорошая аналогия. Я например иногда не могу точно вспомнить это американское или это английское произношение конкретного слова. Потом все же как вы удерживаете и эффективно манипулируете в голове математическими понятиями с длинным перечнем в названии? Это все же явно не про иностранный язык. Скорее особенность сложной математики.

>Существует множество доказательств без каких-либо идей.
Тупые вычисления в большом количестве, и в конце получается ответ.
Доказательство гипотезы о четырёх красках как раз такого типа.

Если вы имеете ввиду компьютерное решение задачи про раскраску 4-мя красками, то это все же исключение, но даже там были какие-то идеи по перебору. Пока же большинство доказательств делается вручную. Ну а если есть два доказательства и они оба невелики. Как понять какое из них концептуальнее? Скажем если задача из теории чисел решена методами теории чисел и методами теории моделей. Может концептуальней нативные методы теории чисел?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Интегрирование по частям — содержательное, концептуальное понятие.

Но интегрировать по частям сотни конкретных интегралов не следует.

Примеры содержательных задач из интегрирования:
http://ium.mccme.ru/postscript/f10/mera-3.pdf
http://ium.mccme.ru/postscript/f10/mera-6.pdf
http://ium.mccme.ru/postscript/s05/t_measure5.ps.gz

>Потом все же как вы удерживаете и эффективно манипулируете в голове математическими понятиями с длинным перечнем в названии?

У меня нет более конкретного ответа, это скорее вопрос
к нейрофизиологам и когнитивистикам.
Как человек, говорящий на иностранном языке удерживает и эффективно
манипулирует в голове предложениями, состоящими из многих существительных,
глаголов, прилагательных, и наречий?

>Ну а если есть два доказательства и они оба невелики. Как понять какое из них концептуальнее?

По связям с другими теориями, по тому, как они обобщаются
или помогают придумывать схожие доказательства.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Но интегрировать по частям сотни конкретных интегралов не следует.

Хорошо, кажется я начинаю вас понимать. Навык вырабатывается кажется после 30-50 решенных на него задач. Вроде бы так психологи пишут.

>Примеры содержательных задач из интегрирования:

Судя по всему, более полезными вы считаете задачи на доказательства части теории по изучаемой теме.

>Как человек, говорящий на иностранном языке удерживает и эффективно
манипулирует в голове предложениями, состоящими из многих существительных,
глаголов, прилагательных, и наречий?

Тут я вас тоже понял, что математика это язык. Но все же нет ли у вас какой-нибудь методики по ускорению вхождения в тему? Язык-то очень специфический, строго логический.

>По связям с другими теориями, по тому, как они обобщаются
или помогают придумывать схожие доказательства.

Тогда получается, что напротив доказательство не нативными методами концептуальнее. А также, чем доказательство короче и более обще, тем тоже концептуальней.
Под тупыми вычислениями вы наверно также подразумевали еще тезис от Посицельского: заменяйте вычисления рассуждениями?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Судя по всему, более полезными вы считаете задачи на доказательства части теории по изучаемой теме.

Да, в какой-то степени это так.

>Тут я вас тоже понял, что математика это язык. Но все же нет ли у вас какой-нибудь методики по ускорению вхождения в тему? Язык-то очень специфический, строго логический.

Я бы не сказал, что математика — «строго логический» язык.
Я, во всяком случае, никогда не думаю о математике «строго логическим» образом.

>Под тупыми вычислениями вы наверно также подразумевали еще тезис от Посицельского: заменяйте вычисления рассуждениями?

Да, конечно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Хорошо, спасибо. Многое прояснилось.

(Reply to this) (Parent)