>Ты имеешь в виду схему Даниэля? Так лучше, да.
Да, конечно.

>С некоммутативной в первую очередь, я бы сказал.
Естественно. Просто некоммутативный случай является прямым обобщением коммутативного, то есть тут родство другого типа.
Под родством я имел ввиду не обобщение-частный случай,
а горизонтальные связи.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Горизонтальная связь с дифференциальной геометрией кажется опосредованной (либо через алгебраическую геометрию, либо некоммутативную, что с данного ракурса одно и то же).

Кстати, ты не знаешь, как бы связать напрямую два названных тобой подхода? Может быть, через оснащенные (rigged) гильбертовы пр-ва (aka тройки Гельфанда)?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Горизонтальная связь с дифференциальной геометрией кажется опосредованной (либо через алгебраическую геометрию, либо некоммутативную, что с данного ракурса одно и то же).

Неправда.
Категория гладких многообразий контравариантно эквивалентна категории
вещественных алгебр с определёнными свойствами.
То есть нет необходимости рассматривать весь пучок,
достаточно ограничиться глобальными сечениями.
Тоже самое имеем в случае меры.
А вот для алгебраической геометрии это не так.
Я бы сказал, что по этой причине связь с дифференциальной
геометрией как раз более ярко выражена.
Схожее поведение у C*-алгебр и локально компактных хаусдорфовых пространств.

>Кстати, ты не знаешь, как бы связать напрямую два названных тобой подхода? Может быть, через оснащенные (rigged) гильбертовы пр-ва (aka тройки Гельфанда)?

Интересный вопрос.

На первый (грубый) взгляд кажется, что меры — частный случай
распределений, при достаточно широком толковании последнего термина.
Поэтому здесь должна работать общая теория распределений, в том
числе оснащённые гильбертовы пространства.
Но точного ответа с хода я дать не могу. Надо думать.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

По первому вопросу -- это все так. Но никто не стартует с этого и этого даже и не упоминает, наверное, если не держит курс на сюжеты, где структурная алгебра (или пучок) становится в центр рассмотрения. Дело даже не в традициях изложения, а в том, что такой взгяд на геометрию становится естественным только с довольно специального угла зрения. И преобразование Гельфанда обычно рассматривают в рамках некоммутативной науки (кроме, может быть, рассказа о спектральной теореме, но это та еще коммутативность).

Про оснащенные г.п., может быть, надо у физиков почитать-спросить.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>а в том, что такой взгяд на геометрию становится естественным только с довольно специального угла зрения

Нельзя ли поподробнее? Что именно ты имеешь ввиду?
Например, в схемах этот взгляд уже сейчас считается
естественным, а чем мера, топология и многообразия хуже?

> Но никто не стартует с этого и этого даже и не упоминает, наверное, если не держит курс на сюжеты, где структурная алгебра (или пучок) становится в центр рассмотрения.

Я думаю, это результат исторического развития.
Дифференциальная геометрия появилась задолго до пучков,
поэтому в ней осталось много артефактов.
Сейчас ситуация меняется.
Есть элементарная книга Джета Неструева, посвящённая изложению основ многообразий с этой точки зрения.
Есть хороший учебник S. Ramanana, Global Calculus.
Начинает с определения многообразия, заканчивает
теоремами Кодаиры о вложении и занулении.
Практически не использует координаты и атласы,
всё делает в пучках.
При этом всё понятно и геометрично.
Всё это — на 300 страницах.

>а в том, что такой взгяд на геометрию становится естественным только с довольно специального угла зрения.

Взгляд на геометрию в виде двойственности кольцо-пространство и модуль-расслоение мне не кажется специальным.

>И преобразование Гельфанда обычно рассматривают в рамках некоммутативной науки (кроме, может быть, рассказа о спектральной теореме, но это та еще коммутативность).

Опять же, мне кажется что это артефакт исторического развития.
На мой взгляд, весьма полезно знать об эквивалентности
категорий коммутативных C*-алгебр и локально компактных хаусдорфовых пространств если изучаешь хотя бы одну из этих двух наук.

Вообще, идея кольцо-пространство и модуль-расслоение
на мой взгляд является самой важной (или одной из таких) нетривиальной идеей
в математике, поэтому представляется разумным подчёркивать
её везде, где только можно. В частности, в мере, в топологии, и в многообразиях.

(Reply to this) (Parent)