А почему у этого оператора будут нужные свойства, к примеру какая нибудь положительность?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Да. Не умаляя общности, считаем многообразие связным.
Если дифференциальная форма везде ненулевая, то она отображается в ненулевое число.
Теперь, если у нас есть базовая дифференциальная форма,
которая отображается в положительное число,
и мы умножаем её на неотрицательную функцию,
то новая форма тоже будет отображаться в неотрицательное число.
Доказывается так.
Не умаляя общности, считаем, что функция всюду положительная (можно добавить эпсилон).
Теперь у нас есть две всюду ненулевые дифференциальные формы.
Их можно соединить отрезком.
Все точки отрезка также являются всюду ненулевыми дифференциальными формами.
Стало быть, все точки отрезка отображаются в одну компоненту связности вещественной прямой без нуля.
Начальная точка отображается в положительную компоненту, стало быть и весь отрезок тоже.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Если есть две всюду не нулевые дифф. формы, то совсем не значит что любая их выпуклая комбинация будет _всюду_ не нулевой.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Все точки отрезка будет ненулевыми дифференциальными формами потому, что в каждом слое мы имеем отрезок, связывающий две точки в одной компоненте дополнения к нулю.
Стало быть, и весь отрезок лежит в одной компоненте.
Тут надо помнить, что формы старшей степени имеют одномерные слои как расслоение.

(Reply to this) (Parent)