А, теперь я понял, в чём вопрос.
Хотя это и не обязательно, для простоты предположим, что многообразие ориентировано.
Тогда у нас есть изоморфизм де Рама из старших когомологий в вещественные числа.
Отобразим форму старшей степени в её когомологический класс, а затем применим изоморфизм де Рама.
Это и будет оператор интегрирования.

Функции можно интегрировать неканоническим образом,
умножая их на всюду ненулевую дифференциальную форму.

В неориентированном случае всё надо подкрутить на пучок ориентации.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Напомни, а существует доказательство конечномерности де Рамовских когомологий без пространств Соболева?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Да, конечно.
Когомологии де Рама изоморфны клеточным,
компактное гладкое многообразие имеет тип конечного CW-комплекса,
конечный CW-комплекс очевидным образом имеет конечномерные клеточные когомологии.

(Reply to this) (Parent)

По-моему, этот изоморфизм проходит через интеграл, определение которого висит у нас в воздухе.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ни в коем случае!
По поводу доказательства двойственности Пуанкаре
смотри May, A Concise Course in Algebraic Topology,
или Hatcher, Algebraic Topology.
Понятие интеграла там даже не упоминается.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А что происходит с R^n? Там никаких гомологий нет. Значит не интегрируем?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Что именно ты имеешь ввиду?
У R^n гомологии и когомологии тривиальны,
и двойственность Пуанкаре в этом случае очевидна.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Но тогда не существует нетривиальной формы с которой можно интегрировать.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А, понял.
В одном случае нужны формы с компактным носителем, а в другом — просто формы.
Двойственность Пуанкаре существует в разных вариациях.
Одна из них связывает когомологии с компактным
носителем и обычные гомологии.
Другая, менее распространённая, связывает обычные когомологии и гомологии Бореля-Мура.
Гомологии Бореля-Мура для R^n нетривиальны,
поэтому всё сходится.
Интегралы нигде не нужны.

(Reply to this) (Parent)

А почему у этого оператора будут нужные свойства, к примеру какая нибудь положительность?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Да. Не умаляя общности, считаем многообразие связным.
Если дифференциальная форма везде ненулевая, то она отображается в ненулевое число.
Теперь, если у нас есть базовая дифференциальная форма,
которая отображается в положительное число,
и мы умножаем её на неотрицательную функцию,
то новая форма тоже будет отображаться в неотрицательное число.
Доказывается так.
Не умаляя общности, считаем, что функция всюду положительная (можно добавить эпсилон).
Теперь у нас есть две всюду ненулевые дифференциальные формы.
Их можно соединить отрезком.
Все точки отрезка также являются всюду ненулевыми дифференциальными формами.
Стало быть, все точки отрезка отображаются в одну компоненту связности вещественной прямой без нуля.
Начальная точка отображается в положительную компоненту, стало быть и весь отрезок тоже.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Если есть две всюду не нулевые дифф. формы, то совсем не значит что любая их выпуклая комбинация будет _всюду_ не нулевой.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Все точки отрезка будет ненулевыми дифференциальными формами потому, что в каждом слое мы имеем отрезок, связывающий две точки в одной компоненте дополнения к нулю.
Стало быть, и весь отрезок лежит в одной компоненте.
Тут надо помнить, что формы старшей степени имеют одномерные слои как расслоение.

(Reply to this) (Parent)