kouzdra: Красивая задачка. Есл�

(Добавить комментарий)

	kaledin 2007-12-12 03:10 (ссылка)
	trivial'no: idesh' vpravo vverkh po celochislennym storonam (Ответить) (Ветвь дискуссии)

	kouzdra 2007-12-12 13:55 (ссылка)
	Я другое решение знаю - весьма странное, хотя несколько посложнее. (Ответить) (Уровень выше)

	avkh.livejournal.com 2007-12-13 15:07 (ссылка)
	.. и уже на третьем шаге можете оказаться в точке откуда некуда идти (Ответить) (Уровень выше)

	lqp 2007-12-12 08:15 (ссылка)
	Интуитивно оно как раз понятно. А доказательство в уме не построю уже... (Ответить)

sasha_gil
2007-12-12 11:31 (ссылка)

Слышал другую "прикольную задачку": квадрат разбит на несколько треугольников одинаковой площади; доказать, что их количество чётно? Сразу предупрежу, что задача имеет "элементарное", но отнюдь не тривиальное решение. Будучи с ним ознакомлен (интернет), уверенно скажу, что я ни сейчас её не решил бы, ни тогда, когда я решал задачки значительно лучше (в 10-м классе).

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2007-12-12 14:05 (ссылка)
	Summa uglov. 10 sekund po chasam. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kouzdra 2007-12-12 14:58 (ссылка)
	Не уверен, что верно - часть углов может прилегать к стороне треугольника/квадрата (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2007-12-12 15:07 (ссылка)
	O, tochno! -- ne vse kotu maslenica. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kouzdra 2007-12-12 15:11 (ссылка)
	С прямоугольниками кажется таже проблема - только порисовать надо. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	aculeata 2007-12-12 16:54 (ссылка)
	Конечно. (Ответить) (Уровень выше)

sasha_gil
2007-12-12 23:46 (ссылка)

Судя по тому, что я просматривал по задаче в интернете, ею кое-где мучают продвинутых студентов-математиков (ну или мучали). Любопытная коллизия возникает: от задачи гораздо сильнее пострадает сильный студент, убив на неё кучу времени - а читер найдёт решение в интернете за полчаса. Короче, однозначно подходит ну наверно для тренировки олимпиадников только.

(Ответить) (Уровень выше)

erdferkel
2007-12-14 02:09 (ссылка)

Ох. За последнее время я понял, что сильно отупел. Попадались тут задачки на математическую сообразительность разной степени сложности - ни разу не дотумкал до решения. Понимаю, что: а) возрастное; б) ЖЖ хуже, чем Альцхаймер :-) - но все-таки, не порекомендуешь книжку с задачками какую-нибудь, чтобы процесс замедлить?

Да, а в этой задачке - там в комментариях решение появилось от

p_k - почему оно бессмысленное? Похожие приемы с интегральчегами в разной физике применяются.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

kouzdra
2007-12-16 01:33 (ссылка)

У нее похоже много решений - я знаю два - громоздкая индукция и то, которое у

bgmt@lj лежит заскриненым - наложим на большой прямоугольник сетку с шагом 1/p (p - достаточно большое простое). Сдвинем все углы прямоугольников влево вверх до ближайших узлов сетки. При достаточно большом p дельта площадей сколь угодно мала. Отмасштабируем в p раз. Далее - имеем прямоугольники, одна из сторон которых кратна p (бывшая целая), а другая - целая.

Стало быть площадь большого прямоугольника - кратна p. Поскольку p - простое - одна из сторон кратна p (с учетом сказанного выше - сколь угодно близка к p). Чтд.

Оно на мой взгляд абсолютно формальное - задачку решает, но почему собственно сам факт является верным содержательно не объясняет (при том, что придумал я его быстро и в общем закономерно - идея свести к случаю с рациональными координатами естественна, а дальше рассмотреть простой знаменатель тоже кажется естественным).

Решение

p-k@lj более осмысленно, но я например этого инварианта просто не знал. У нее судя по комментам есть и какое-то нормальное решение, которого я не знаю.

Что до книжки - не знаю - может кванты старые порешать.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

erdferkel
2007-12-16 03:20 (ссылка)

Да, про "Квант" хороший совет, спасибо.

Только я все равно не очень понимаю, в каком смысле это решение "бессодержательное". Т.е. - что тут еще надо было бы "объяснять". Ну, не очень наглядно, и что?

Насчет того, что "инварианта не знал", - так сам факт, из которого исходит рассуждение

p_k, - "ачивиден", как более четверти века назад выражался иногда Коля К.; тут дело не в том, чтобы "знать" его, а в том, чтобы догадаться, что его надо использовать как "воспроизводящийся в большом из малого" необходимый и достаточный признак "полуцелочисленности" прямоугольника. Что обидно - у меня была мысль, что синусоида/комплексная экспонента могут здесь фигурировать в доказательстве, но искать дальше в этом направлении я побоялся. Хотя подобная "образность" в разных местах встречается (например, "наглядно схожий" образ двойного интеграла - только без синусоид и прочих периодических штук - присутствует в стандартном доказательстве того, что ынтеграл от нуля до бесконечности от exp(-x²) равен половине корня из π; а запись условия целочисленности через синусы-косинусы или комплексную экспоненту вообще очень частое дело).

(Ответить) (Уровень выше)

polytheme
2007-12-30 18:41 (ссылка)

я в свое время придумал решение с остаточными прямоугольниками -
если горизонтальная сторона прямоугольника нецелая, то в каждом горизонтальном сечении есть отрезок из вертикального целочисленного, при этом если идти сверху вниз, то они будут возникать и исчезать группами, т.к. сумма их длин должна на целое отличаться от дробной части горизонтальной стороны. этого уже достаточно для того, чтобы доказать, что есть цепочка из вертикально целых, такая, что как только заканчивается один, сразу начинается другой.

но задачу можно обобщить - рассматривать покрытия прямоугольника
прямоугольниками, такими, что над каждой точкой одинаковое число
прямоугольников из покрытия. и для этой версии я другого решения, кроме решения с интегралом (и моделирующего его Делиневского без использования анализа, которое я почти не помню) не знаю

кстати, если я правильно понял, при составлении n-мерного параллелепипеда из параллелепипедов с k целыми сторонами получится параллелепипед с k целыми сторонами - но это просто потому, что иначе удастся выбрать совсем нецелую n-k+1-мерную грань. ты это обобщение имел в виду ?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kouzdra
2007-12-30 19:15 (ссылка)

но задачу можно обобщить - рассматривать покрытия прямоугольника

Если я правильно понял обобщение - то мое решение тоже распространяется на него почти автоматически - просто при суммировании площадей появляется константный множитель, который ни на что не влияет.

при составлении n-мерного параллелепипеда из параллелепипедов с k целыми сторонами получится параллелепипед с k целыми сторонами - но это просто потому, что иначе удастся выбрать совсем нецелую n-k+1-мерную грань. ты это обобщение имел в виду ?

Это. Да - так тоже можно. Просто с простыми знаменателями оно получается напрямую.

(Ответить) (Уровень выше)