Как предварительный дисклеймер: я не силён в топологии.

>Чисто топологически — нужно компактность установить, пути исследовать (а это
>малореально, но более реально),

Правильно ли я понимаю, что R^3 не компактно, а S^3 компактно?

>пути исследовать (а это малореально, но более реально),

В каком смысле?

>односвязность,

Односвязность можно подразумевать. Даже если пространство несвязно, мы никак не узнаем, что есть другие компоненты связности.

>гомотопические группы и т.п. Топологически, если верить, что живёшь на
>компактном связном двумерном многообразии без края, варианты — всякие сферы с
>ручками или плёнками (торы и т.п., вклеенная где попало лента Мёбиуса и т.п.).

Здесь не буду комментировать, чтобы не позориться. Замечу, однако, насколько я понимаю, в микромире подобную задачу берут на себя универсальные теории, теория струн, в частности.

>Компактность и ограниченность — довольно интересные свойства. Всё-таки если
>сферу не обойти, то эффективно мир неограниченный.

Само собой, можно до определённого предела считать, что локально мы на "тангенциальной плоскости". Поставленный в данном постинге вопрос, а позже теория относительности пытаются ответить на вопрос, к чему эта гиперплоскость тангенциальна. И само собой, последующий главный, осмысленный вопрос, который мы можем задать, - это вопрос о возможности физического эксперимента выявляющего различие между плоским и "кривым" пространством (или, скажем, между геометриями Минковского и Финслера). Вопрос, прямо следующий из этого - о приложениях, т.е. где как можем использовать, или где считаться с различием.

>Если же мы имеем в виду не топологические многообразия, а гладкие: с
>геодезическими и кучей предрассудков на тему физики,

Да, здесь имел в виду гладкие многообразия.

>то, как выше и писали, можно измерять сумму углов.

Ага.

>
>Но почему ты не пишешь о неограниченном цилиндре,

Подразумеваю анизотропность пространства!

>о плоскости, на которой есть бугры (не на буграх, даже в треугольниках вокруг
>бугров, сумма углов евклидова, а с буграми сложнее) и т.п.?

Физики уже итак бугров насажали на всю ткань Вселенной (имею в виду теорию относительности).



>Фантасты и не только думали о неоднородности нашего пространства, писали
>интересное тоже, так в двумерном случае тоже возможно всякое.

Во-первых, я различаю научную фантастику и "просто" фантастику и в большей степени ценю первую. Во-вторых, или как следствие, я остерегаюсь чересчур фантазировать, а то так и дофантазироваться можно. До циклической демонстрации собственного невежества. Предпочитаю сначала изучать доказанные теории, потом современные гипотезы, потом только пробовать предполагать свои или развивать старые. Впрочем, до последнего звена в этой цепи я вряд ли доберусь.

>Прикинь, если окажется когда-нибудь работоспособной модель, где мы живём на
>таком пупырчатом многообразии, а квантовые эффекты — проявления пупырышек
>(пупырышек очень много и они очень маленькие)?

Теория пузырящейся Вселенной? Так ведь лучше сначала её поизучать, а потом своё чего придумать. Есть ли смысл в фантазировании "на ровном месте", и должна ли быть мотивация у фантазирования, как процесса?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

0. Топология в основном о топологических пространствах. Топ. пр-во — формально простая штука, см. английскую Википедию. Соответственно, всякие там расстояния, углы, да кривизна — скорее геометрия (в топологии расстояния обычно важны постольку, поскольку задают топологию).

1. Топологическое многообразие — тоже довольно простая штука, в Википедии же, Topological Manifold (R^n там — как топологическое пространство, то есть тоже без углов и т.п.). Обычно многообразиями называют гладкие многообразия, на них есть геодезические и т.п. Потому что у них дополнительная структура, если убрать которую, топологическое многообразие останется, но углов, кривизны и т.п. уже не будет.

2. Алгебраическая топология — в целом законченная наука. И этим она очень сильно отличается от алгебраической геометрии.

3. Алгебраическая топология изучает в основном какие-то группы (или конструкции из групп). Надеюсь, что формальное понятие группы у тебя есть. Алгебраическая топология в целом остановилась в развитии на гомотопических группах (Homotopy equivalence — если группы для пространств отличаются, то пространства негомеоморфны [топологически существенно отличаются], если совпадают, то хрен знает).

4. Компактность — для любого набора ЗАМКНУТЫХ (см. опр. топ. пр-ва) множеств, объединение которых даёт всё пространство (множество), можно выбрать конечный поднабор с тем же свойством. Да, сфера компактна, а R^n — нет.

5. Односвязность — нет, односвязность — свойство путей. http://en.wikipedia.org/wiki/Simply_connected Типа отличия бублика от шара: на шаре любой путь можно непрерывно стянуть в точку, на бублике — нет.

6. Гомотопические группы (то есть — основная алгебраическая топология) — тоже в стиле односвязности, только сложнее. Тоже, полагаю, можно познавать как-то, если живёшь в топ. пространстве.

Есть ли смысл в фантазировании "на ровном месте", и должна ли быть мотивация у фантазирования, как процесса?
Поэтому я и написал: "если окажется когда-нибудь работоспособной модель". Об этом сложно рассуждать. О твоих наивных "сферических конях в вакууме", о моделях R^3, да S^3 рассуждать имеет смысл по двум причинам: 1) упражнение 2) перебрать простые модели надо — будет очень обидно, если они работают, а мы их не проверили. Сложных моделей много, как упражнения они удручают, так что их проверять имеет смысл только от большого ума, а не просто так. Фантазировать — это жижа, здесь фантазировать — далеко не самое плохое занятие.

(Reply to this) (Parent)