0. Топология в основном о топологических пространствах. Топ. пр-во — формально простая штука, см. английскую Википедию. Соответственно, всякие там расстояния, углы, да кривизна — скорее геометрия (в топологии расстояния обычно важны постольку, поскольку задают топологию).

1. Топологическое многообразие — тоже довольно простая штука, в Википедии же, Topological Manifold (R^n там — как топологическое пространство, то есть тоже без углов и т.п.). Обычно многообразиями называют гладкие многообразия, на них есть геодезические и т.п. Потому что у них дополнительная структура, если убрать которую, топологическое многообразие останется, но углов, кривизны и т.п. уже не будет.

2. Алгебраическая топология — в целом законченная наука. И этим она очень сильно отличается от алгебраической геометрии.

3. Алгебраическая топология изучает в основном какие-то группы (или конструкции из групп). Надеюсь, что формальное понятие группы у тебя есть. Алгебраическая топология в целом остановилась в развитии на гомотопических группах (Homotopy equivalence — если группы для пространств отличаются, то пространства негомеоморфны [топологически существенно отличаются], если совпадают, то хрен знает).

4. Компактность — для любого набора ЗАМКНУТЫХ (см. опр. топ. пр-ва) множеств, объединение которых даёт всё пространство (множество), можно выбрать конечный поднабор с тем же свойством. Да, сфера компактна, а R^n — нет.

5. Односвязность — нет, односвязность — свойство путей. http://en.wikipedia.org/wiki/Simply_connected Типа отличия бублика от шара: на шаре любой путь можно непрерывно стянуть в точку, на бублике — нет.

6. Гомотопические группы (то есть — основная алгебраическая топология) — тоже в стиле односвязности, только сложнее. Тоже, полагаю, можно познавать как-то, если живёшь в топ. пространстве.

Есть ли смысл в фантазировании "на ровном месте", и должна ли быть мотивация у фантазирования, как процесса?
Поэтому я и написал: "если окажется когда-нибудь работоспособной модель". Об этом сложно рассуждать. О твоих наивных "сферических конях в вакууме", о моделях R^3, да S^3 рассуждать имеет смысл по двум причинам: 1) упражнение 2) перебрать простые модели надо — будет очень обидно, если они работают, а мы их не проверили. Сложных моделей много, как упражнения они удручают, так что их проверять имеет смысл только от большого ума, а не просто так. Фантазировать — это жижа, здесь фантазировать — далеко не самое плохое занятие.

(Reply to this) (Parent)