ppkk: Про ZFC надо понять две вещи:
1. почему ZFC - это теория множеств, (а не правда)
2. почему ZFC - это не теория множеств (а труляляшки)
Можно узнать, где я утверждал, что ЦФ — "правда"? И я что, мало раз утверждал, что не знаю никаких "реальных множеств", что ЦФ может оказаться неверной и т.п.? Прежде чем снисходительно предлагать мне что-то "понять", имеет смысл попытаться понять, что я утверждаю, а не писать мне обращения к какой-то убогой придуманной модели меня.

почему бурбаковская лучше остальных?
Потому что у них не только теория множеств. Потому что они не остановились на первом томе. Вот они в основном уже перестали книги печатать, пожалуйста: пишите с другой логической теорией/теорией множеств многотомник с основными достижениями современной математики. Только тогда у Бурбаков (если не будет принципиальных новых достоинств этих других теорий, сохраняющих выжные общепризнанные результаты и позволяющие получить новые) останется только старшинство.

А интересных (=недоказуемых) утверждений только три штуки плюс BRT.
То есть основные достижения логики — придумывать иллюстрации к теореме Гёделя о неполноте? А то, что Бурбаки на основе логической теории и теории множеств выписали немаловажную часть математики — разве не более серьёзное достижение в области логики?

> при наличии общепринятой логической теории/теории множеств.
Нет никакой "общепринятой логической теории". Многочисленные теории труляляшек и сепулек друг дружке противоречат (потенциально) даже на утверждениях о конечных множествах.
То есть до тебя наконец дошло, что для того, чтобы считать решением проблемы Уайтхеда результат Шелаха, нужно считать ЦФ общепринятой?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Петр,

я не говорил, что ты чего-то не понимаешь. Это просто был мой комментарий к последним трем месяцам ваших тут дискуссий. Все упрощается, если разделить ваш спор на два разных спора.

Я действительно утверждаю, что:

1. ZFC - это не теория множеств. Большинство математиков того времени отвергли ZFC (а принимали Канторовскую теорию множеств). И этому есть причина.
2. ZFC - это теория множеств (=труляляшек), в отличие от осмысленных утверждений.

Насчет твоего вопроса, просто ли я иллюстрирую теорему Гёделя. Да, но лишь в той же степени в которой обычные математики иллюстрируют 0=0.
Я думаю, что обычный математик удивится, если ты начнешь формулировать суть его занятий как "переформулирование 0=0". Суть не в этом.
Я интерестюсь ни истинными ни ложными утверждениями (или утверждениями "имеющими силу") в той же степени, в какой обычный математик интересуется истинными утверждениями.
(Главное - интересность и важность, новые математические явления. Понятно, само собой разумеется, что обычный математик должен доказать истинность своих теорем, но совсем не обязательно на этом концентрироваться...)

Нет, импликация Шелаха доказывается в примитивно рекурсивной арифметике. Его теорема говорит, что ZF+V=L верит в такй-то ответ на вопрос Уайтхеда...

Теперь про формализацию. Формализация математики началась с Фреге и закончилась книжкой Рассела и Уайтхеда. Нужны ли для этого труляляшки обсуждалось много десятилетий (с 1870х годов до 1920х годов). То, что после этого Бурбаки с малым числом ошибок по-дилетантски попробовали это повторить - хорошо. Но они сопроводили свои книги какими-то объяснениями, наивными и ошибочными. За это их и критикуют. А то что они из аксиом вывели какие-то теоремы (в большом количестве) - это никто не критикует. Это правда, и это и без Бурбаков было ясно.

(Но бурбаковские аксиомы не ответят мне на некоторые простейшие вопросы про натуральные числа.)

Важнейшим событием в основаниях математики в 20 веке была Арифметизация, проведенная Расселом-Уайтхедом, Гильбертом, Гёделем, Тюрингом, Марковым, Шаниным и некоторыми другими.

То, что Бурбакам на всё историю наплевать - еще одна причина не принимать их всерьез.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

ZFC — это не теория множеств… в отличие от осмысленных утверждений
Таки "реальные множества", что ли, которые сами по себе, как у Гастрита? Можно определённее?
В отличие от каких ещё "осмысленных утверждений"?!

Да, но лишь в той же степени в которой обычные математики иллюстрируют 0=0.
Всяк кулик своё болото хвалит. Разъяснишь (хотя бы ссылками), что такое по твоим понятиям "арифметизация пятой ступени", авось можно будет понять, в чём же дело. Не увлекайся моделированием "обычных математиков", кстати: их много разных, вряд ли тебе (или мне) так легко их обобщить.

Нет,… Его теорема говорит, что ZF+V=L верит в такй-то ответ на вопрос Уайтхеда…
Почему нет-то??

То, что после этого Бурбаки с малым числом ошибок по-дилетантски попробовали это повторить - хорошо.
Я большего о них и не утверждаю. Хотя форма, более доступная для рутинной компьютеризации была бы предпочтительнее, но они давно писали. Я вот не понимаю, где же что-то лучшее (gastrir ссылался по поводу компьютеризации, но у меня пока не скачалось, ещё буду заценивать).

некоторые простейшие вопросы про натуральные числа
Можно пример?

Важнейшим событием в основаниях математики в 20 веке была Арифметизация, проведенная Расселом-Уайтхедом, Гильбертом, Гёделем, Тюрингом, Марковым, Шаниным и некоторыми другими.

То, что Бурбакам на всё историю наплевать - еще одна причина не принимать их всерьез.
Ну, это как в архитектуре важнейшими называть нереализованные проекты, если я не ошибаюсь, а не построенные здания.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> В отличие от каких ещё "осмысленных утверждений"?!

---- Ну например арифметических. Хотя тема "осмысленности" - это тоже серьезный разговор, куски из которого знамениты (например разговор Рассела с Витгенштейном).


> Почему нет-то??

---- Потому что это просто импликация. Из таких-то аксиом следует такое-то знаменитое утверждение. Не нужно подписываться ни под одной из философий, чтобы понять и проверить эту импликацию. Компьютер может ее проверить.

> Я большего о них и не утверждаю. Хотя форма, более доступная для рутинной компьютеризации была бы предпочтительнее, но они давно писали.

---- Тогда я с тобой согласен.

> Ну, это как в архитектуре важнейшими называть нереализованные проекты, если я не ошибаюсь, а не построенные здания.

---- Ну почему нереализованные? Дедекинд-Пеано-Вейерштрасс свою волну арифметизации хорошо записали, Фреге-Уайтхед и Рассел хорошо записали, Чёрч, Гёдель и Тюринг арифметизацию языка и выводимости записали со всеми подробностями, четвертая волна (Марков, Клини, Шанин и т.д.) даже до матфизики и функционального анализа добралась, вся записана в подробностях. Сейчас идет пятая волна, с новыми идеями. Она не вся записана и из-за разных философий там разные мнения да и идеи еще не кристаллизовались. Я их знаю, но так просто не рассказать.

Андрей

(Reply to this) (Parent)

я ничего не говорил про всех математиков, кроме того, что они находят доказуемые утверждения (теоремы).

Нелепо утверждать, будто вместо смысла математики концентрируются на "доказуемости" или на "переформулировании 0=0".

Точно так же и я. Не только в недоказуемости дело, а в содержании.

(Reply to this) (Parent)

Еще одна мысль: ZFC не является и "неправдой".

У Бурбаков, отставших на 50 лет от оснований математики (есть такая наука) того времени, уж точно никакого старшинства.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ага. Старшинство у Гильберта.

На 50 лет им сложно было отстать: за 50 лет до них теория множеств была, как я понимаю, ещё с канторовским определением множества, если не хуже.

От чего 50 лет отсчитываешь?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Отсчитывать можно от Кронекеровской критики теории множеств (1880?).

Можно от первых парадоксов (1895).

Можно от аргументов Пуанкаре (1900).

А можно действительно и от спора Гильберта и Брауэра (1910?).

В любом случае получается несколько десятилетий. После этого были следующие этапы: Рассел-Уайтхед, Программа Гильберта и т.д...
Может быть некоторые из Бурбаков еще не родились тогда...

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Они в 1935-м начали.

(Reply to this) (Parent)