Пётр - Частота дискретизации, замечание [entries|archive|friends|userinfo]
Пётр

[ website | My Website ]
[ userinfo | ljr userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Частота дискретизации, замечание [Jul. 18th, 2008|05:49 pm]
Previous Entry Add to Memories Tell A Friend Next Entry
Так как я пока что сумел только увеличить количество вопросов, а не ответов, написав о несовершенстве теоремы Уиттекера-Найквиста-Котельникова-Шэннона в применении к музыке, http://lj.rossia.org/users/ppkk/71101.html , за последнюю неделю особых продвижений в понимании у меня не было.

Напишу поэтому немного о математике.

Некогда мне гордый [info]qwerty обронил, что проблема в необходимости суммировать бесконечные ряды. В принципе, это обычно не самая большая проблема: если ряд с известной скоростью сходится, то найти предел частичных сумм с заданной точностью можно. Или доказать, что это невозможно из-за погрешностей в коэффициентах. Возможно, [info]qwerty имел в виду возникающий в идеальной ситуации ряд из sinc-ов в теореме Котельникова. Это сумма по всем целым n выражений x_n*sinc((t-n*T)/T), сумма принимается за значение сигнала во момент времени t, а x_n — результат n-ного по счёту измерения значения сигнала. Если бы этот принцип использовался, то для вычисления значения (о воспроизведении я стараюсь даже не думать) сигнала в почти любой момент по записанным измеренным значениям пришлось бы сначала считать все значения x_n, а потом долго и мучительно складывать хотя бы имеющиеся слагаемые (в реальности бесконечно много измеренных значений, как требуется, просто не может быть).

Интересно то, что sinc-и сейчас продолжают достаточно успешно аналитически исследоваться. Набор нескольких интересных свойств определённых (не тех, что нам нужны, но в принципе при каких-то преобразованиях в таких свойствах может быть смысл) сумм есть в следующем документе: http://users.cs.dal.ca/~jborwein/sinc-sums.pdf

Это не суммы с произвольными коэффициентами, но всё же довольно близко. Статья в основном сводится к поиску забавных формул и интересных соотношений, к какой-то "экспериментальной математике" (поиграть с пакетом Mathematica и попытаться что-нибудь доказать).


Начинается с того, что сумма sinc(n) по всем целым n равна сумме sinc^2(n), равна интегралу что sinc(x), что sinc^2(x) по вещественной оси. И равна π.

Подмечают, что (с выражениями от π для степеней постарше) сумма равна интегралу и для sinc^k(n) для k=1…6. Также подмечают похожее свойство сумм/интегралов некоторых более сложных выражений от sinc-ов, но с аналогичным ограничением.

Далее с помощью преобразования Фурье описывается целый класс похожих функций: у которых сумма значений в целых точках равна интегралу по вещественной оси (сумма и интеграл в смысле главного значения: как предел сумм/интегралов по промежуткам вида [-r,r]).

Потом формулируется теорема о суммах значений во всех целых точках функций "произведение sinc(a_k*n), где k от 0 до N", удовлетворяющих условиям на сумму a_k — это обобщение определённо не в сторону интересных нам рядов, но оно объясняет указанные выше "феномены" с суммой sinc в степенях 7 и т.д. За этим следует теорема о случае, близком к пограничному, соответствующем как раз степени 7.

Далее идёт череда примеров, которые могут кому-то показаться симпатичными (всякие разные суммы/интегралы равны между собой и очень близки или равны π/2). Заканчивают ссылкой на подсчёт кем-то с помощью известной техники сумм/интегралов sinc^a(n)cos^b(n) (a и b — параметры; стоит отметить, что sinc(x)cos(x)=sinc(2*x), это совершенно не какой-нибудь произвольный случай).

Заканчивается работа доказательством некоторого неравенства для интеграла произведения sinc-ов и открытым вопросом о том, как бы его обобщить на суммы [произведений sinc-ов].

У этого человека и соавторов, вроде бы, имеется ещё несколько статей про sinc-и.

Ну и классика какая-нибудь наверняка по теме есть. Интересно, насколько это всё-таки реально имеет отношение к практике цифрового звука? Наверное, почти никакого, но неравенства, если повезёт, могут и пригодиться иногда для оценки.
LinkОставить комментарий

Comments:
From:[info]phantom
Date:July 23rd, 2008 - 09:22 am
(Link)
Вот смешная дискуссия.
[User Picture]
From:[info]ppkk
Date:July 23rd, 2008 - 12:31 pm
(Link)
Ты не путаешь?

В сообществе "seminar" разок упоминали теорему Котельникова, я сослался на них ранее (там что-то странное написал [info]tristes_tigres), там же как раз [info]akater писал какую-то чушь про школьное образование, я ему развёрнуто ответил, но его ответа не получил. Про спектры писал смущающий меня своей картинкой [info]olegmi, но дискуссия шла не в направлении тонкостей применения теоремы.

Если о "смешной дискуссии": [info]akater сколее жалок, а [info]tiphareth — вредитель. Чистая математика никому нахрен не нужна, кроме чистых математиков, если они за неё околомошенническим путём деньги получают. Рассуждают они как недоматематик с чистым математиком. Читать в общем курсе обобщения, если они требуют более сложного аппарата, но не приносят непосредственной пользы народному хозяйству — очевидное вредительство.
From:[info]phantom
Date:July 23rd, 2008 - 02:51 pm
(Link)
>Ты не путаешь?

Просто там тоже ряды Фурье вспоминали.

>смущающий меня своей картинкой [info]olegmi

В смысле юзерпиком?

>[info]akaterсколее жалок

Тем не менее, он отчасти прав.

>Чистая математика никому нахрен не нужна,

Ну, не согласен.

>не приносят непосредственной пользы народному хозяйству — очевидное
>вредительство.

Хозяйство народное - это грубо говоря, 10 %. Остальное - сфера обслуживания, индустрия развлечений, производство информации. Мы живём в постиндустриальном обществе.
[User Picture]
From:[info]ppkk
Date:July 23rd, 2008 - 03:16 pm
(Link)
>смущающий меня своей картинкой
Да, смущающий меня своей маской.

Тем не менее, он отчасти прав.
Я могу отчасти согласиться с его общими мнениями, но не с аргументами. Или я пропустил сильный аргумент (запросто мог)?

Ну, не согласен.
Сама по себе не нужна.

Нужна только постольку, поскольку может переставать быть чистой. Её религиозное значение для некоторых я не считаю достойным слова "нужна". Та математика, от которой до практических применений доходит недлинная цепочка (1 нужно для 2, 2 для 3, 3 для 4, а 4 нужно разработчикам ассенизаторских машин) уже может рассматриваться как не совсем чистая, а если цепочки нет, то, выходит, и не нужна.

Так что сформулируй, что ты считаешь чистой математикой, тогда можно поспорить.

Я имел в виду "математику ради занятия математикой". Развивается она по каким-то социально-психологическим законам паразитизма (где присосаться к стипендиям-зарплатам, чтобы ещё и умными себя считать). Она не тотальна: известные мне такие математики толкают науку не по сложному пути, а по лёгким дорожкам, стремясь разобраться не с имеющимися объектами лучше, а придумать более сложные, про которые доказать какую-нибудь частную теорему. С рецензированием и проверкой состояние известной мне подобной математики плохое, а статьи нечитаемые.

При этом я могу считать достаточно нужными (с натяжкой) и теорему Ферма (диофантовы уравнения очевидно важны, доказательство теоремы показало развитость нескольких достаточно общих подходов к изучению их; огромное значение для популяризации и т.п., хотя и недостаточно реализованное до сих пор), и даже некоторые доказательства недоказуемости и т.п. в мат. логике.

это грубо говоря, 10 %. Остальное - сфера обслуживания, индустрия развлечений, производство информации. Мы живём в постиндустриальном обществе.
Ты проценты от тех, кому общий курс мат. анализа читают, считал?