| Дескриптивная теория множеств 1: введение |
[Jan. 1st, 2022|03:50 am] |
| [ | Current Mood |
| |  distressed | ] |
| [ | Current Music |
| | Frank Tovey - Civilian | ] |
Как я уже писал, я собирался заняться дескриптивной теорией множеств. Для того, чтобы не заставлять ждать возлюбленных читателей cлишком долго и не увеличивать размер поста сверх меры, я решил разбить все на три части. Да еще и с возможными интерлюдиями.
Так вот, дескриптивная теория множеств занимается иерархиями множеств, где место определяется сложностью определений. Все началось с молодых и красивых французских аналитиков, которые пытались поставить анализ на рельсы теории множеств. Одной из задач у них было определить максимальное множеств функции значимое для анализа, то есть содержащее все непрерывные и замкнутое под операцией поточечного предела. Лебег считал, что он решил эту задачу, но он ошибся приняв за очевидное, что проекция измеримого множества будет измеримой. Эту ошибку обнаружил в 1917 вундеркинд Суслин, воспитанник Лузитании. Он же и начал изучать иерархию множеств, получаемую из открытых путем последовательного применения операций счетного пересечения, отображения, и применения непрерывных функций, где число нетривиальных применений этих операций определяло место в иерархии. Потом Суслин умер, но изучение иерархии продолжилось в той же Лузитании, силами уже новых молодых-красивых французских аналитиков и во вскоре возникшей львовской математической школе.
Если следовать инертности мышления, то можно предположить, что дескриптивная теория множеств относится к теории множеств. НО по моим ощущениям, и по той причине, что все основные ее понятия имеют обще-топологическую природу я бы отнес ее именно к общей топологии. Из пререквизитов тут как раз требуется хорошее знание общей топологии и ординалов. Еще хорошо знать, но не обязательно булевы алгебры, о которых я писал в прошлый раз. А также для более продвинут современных разделов все таки полезно хорошее знакомство с мат. логикой, но я туда глубоко заходить не буду.
Из учебников я для себя выбрал Kechris "Classical Descritive Set Theorty". На Русском языке есть книга "Современная Теория Множеств" Кановей,Любецкий. Она покрывает примерно те же темы, что и Кехрис, но я предпочел Кехрис, потому что он намного раньше вводит в повествование игры и группы, а именно эти темы мне особенно интересны. Есть еще совсем короткая книга Окстоби "Мера и Категория", и возможно это сам оптимальный путь освоения базовых тем, но кажется чего-то интересного там все же нет. Еще есть Мошевакис, просто "Decreptive set theory". Эта книга мне как-раз показалась более сложной, где требуется хорошее знание матлогики. Кехрис, которого я и читаю, отличается довольно легким стилем изложения, где многие занудные топологические или теоретико-множественные выкладки заменяются ссылкой на очевидность. Есть там и упражнения, но их не очень много и он не сложные, но подходят для закрепления материала.
Так вот начинается все с определения бесконечных деревьев. Причем, они определяются не как в теории графов как подмножеств конечных списков замкнутые по включению. Интересно, что если дерево не имеет висячих вершин, то его однозначно можно проассоциировать c каким-то замкнутым множеством. Но польза от этих деревьев еще и в том, чт это естественный язык описания бесконечных игр, о которых речь пойдет ниже. Еще читал о деревьях, узнал о таком интересном концепте как концы графов. Но это уже другая история.
Потом идут базовые факты из топологии польских пространств. Польскими пространствами называются полностью метризуемые сепарабельные метрические пространство. Их так назвали потому что они такие же ка Польша. Например, Польшу сепарировали один раз Россия, Пруссия и Австро-Венигрия, а потом сепарировали Сталин и Гитлер. Это тема очень важная. Есть мнение, что дескриптивная теория множеств по существу это и есть изучение категории польских пространств. Интуитивно можно себе представлять, что польские это те пространства, где работает логика 'нормального анализа'. Важнейшие нетривиальные примеры тут это пространство Кантора, бесконечные счетные произведения множества $\{0,1\}$, и пространство Бэра, бесконечные счетные произведение натуральных чисел.
Это все ноль-мерные пространства, одно компактное, а другое нет. Таким ноль-мерным пространствам Кехрис уделяет большое внимание. Тут есть однозначные признаки гомеоморфности этим двум множествам. Например, любое совершенное ноль-мерное комактно-метризуемое множество изоморфно пространству Кантора. Интересно, что очень похожая теорема есть и у Фремлина для булевых Алгебра: нетривиальная счетная алгебра без атомов изоморфна алгебре открыто-компактных подмножеств пространства Кантора. Доказательства этих утверждений очень похожи и могут быть легко получены друг-из друга. Это создает впечатление о двойственности булевых алгебр и дескриптивной теории множеств ноль-мерных пространств.
Потом идет теория множеств со свойством Бэра или почти открытых множеств. Эти множества составляют минимальную сигма-алгебру порожденную всеми открытыми и тощими множествами. При этом если факторизовать их по сигма-идеалу тощих множеств, то получится так называемая алгебра категории, которая во многом эквивалента алгебре регулярных открытых множеств или алгебре открытых областей, которая уже обсуждалась у Фремлина, и если исходное пространство Бэрово, то получается настоящая тау-алгебра.
Тут же начинаются обещенные топологические игры, которые представляют из себя бесконечные итеративные игры двух игроков с полной информацией. Вот например игра Шоки заключаются в том, что игроки поочередно выбирают непустые открытые множества так, чтобы они были вложены друг-в-друга, и первый игрок выигрывает если получается пустое пересечение. Теорема Окстоби-Шоки утверждает, что если у первого игрока нет выигрышной стратегии, то тогда пространство Бэрово. Если же у второго игрока всегда есть выигрышная стратегия, то такое пространство называется пространством Шоки, и это более сильное свойство чем Бэровость. Еще есть сильная игра Шоки, где игроки ходят открытыми множествами с отмеченными точками. И в следующей ход обязательно нужно играть множество, включающее точку предыдущего игрока. Модно доказать, что любое полное пространство является сильным пространством Шоки. Другая игра, про которую я узнал, это игра Банаха-Мазура. Эта игра играется для кого-то выбраного множества, и первый игрок выигрывает если пересечение не заключено в этом множестве, а ы остальном она аналогична игре Шоки. Есть про эту игру и ее сильный вариант и свои интересные теоремы.
В конце концов все приходи к тому, что для почти тощих и тучных множеств можно ввести нотацию очень похожую на логику кванторов: для всех значит тучное, существует значит не точное. В этой нотации теорема Улама-Куратовского в одной из своих форм просто говорит о перестановки порядка универсальных кванторов перед предикатом. А еще тут появляется форсинг: говорят что открытое множество форсит какое-то другое множество если в открытом это второе тучно. И все это выражается языком модальной логики. Вообще модальная логика это ключ к пониманию форсинга и в более широком ключе. В итоге создается впечатление, что основное достижение дескриптивной теории множеств это использования языка логики для упрощения не самых простых утверждений и выкладок в общей топологии.
Однако рано делать какие-то существенные выводы. Ведь до изучения самих иерархий мы еще не добрались, а тоько изучали необходимый инструментарий. В следующий раз хотел бы рассказать про польские группы. Но наверное, тут стоит сделать небольшую интермедию о топологических группах вообще, так как я сам хотел бы повторить этот материал. |
|
|
