[	Current Mood	|	contemplative	]
[	Current Music	|	Обсуждаем политфическую философию Джона Локка с историками философии и ‪@Whalesplaining‬	]

Stone Spaces By Peter Johnstone

Я все таки решил закончить изучать эту замечательную книжку Питера Джонстона «Пространства Стоуна». Долгое время время, я вообще собирался пропустить последнюю главу, про топологические упорядоченные пространства. Но в предпоследней главе появились решетки и локали Стоуна как естественные профинитные объекты соответствующих категорий. И это определенный класс топологических объектов. Тем более меня интересовали локально-компактные регулярные локали, потому что у них есть одноточечная компактификация Александрова. А в этой главе был параграф про локальную компактность. Поэтому я решил разобрать эту главушку .

Глава начинается с обсуждения упорядоченных топологических пространств. Любой предпорядок имеет естественную топологию открытых интервалов. Топологических упорядоченных пространство называется Хаусдорфовым по порядку если отношение нестрогого порядка замкнуто. Эти пространства отличаются тем что топология имеет базу состоящую из пересечений верхних и нижних множеств. Любая топологическая полурешетка Хаусдорфова по порядку. И компактная топологическая полурешетка имеет пределы всех направленных подмножеств. Поэтому она является полной решеткой. Более того они являются непрерывно дистрибьютивными решетками. И в таких решетках нижние множества замкнуты ровно тогда, когда они являются идеалами. Далее рассматриваются топологические решетки у которых обе операции минимум и максимум непрерывны. Один из способом превратить компактную топологическую полурешетку в решетку это вложить ее решетку ее же нижних компактных множеств (эта конструкция похожа на метрику Хаусдорфа в метрической топологии). Более того, оказывается у каждой решетки есть не более одной топологии, которая делает ее топологической полурешеткой. Потом рассматривается еще более сильная форма дистрибьютивности на решётке, которая называется полной дистрибьютивностью. Оказывается, что если решетка ей обладает, то обратная к ней тоже. Любое полностью упорядоченное множество полностью дистрибьютивно. Оказывается, что полностью дистрибьютивная решетка с интервальной топологией будет топологической решеткой. В то же время любая решетка Стоун будет полностью дистрибьютивной. (Весь это параграф звучит ужасно).

Следующий параграф начинается с обсуждения отношения «сильно внизу» в упорядоченном множестве с направленными объединениями. Грубо говоря, если это множество топология какого-то пространства, то оно означает, что замыкание какого-то открытого множества содержится в другом и компактно. Но на языке теории порядка это звучит так, что если нижняя верхняя грань идеала больше второго элемента, то тогда этот идеал содержит первый элемент. Непрерывным называется упорядоченное множество в котором функтор нижней верхней грани идеала сопряжен справа. Его левый сопряженный функтор оказывается отображением элемента в множество всех элементов сильно ниже его. Непрерывные подмножества непрерываного упорядоченного подмножества соответствуют идемпотентным автоморфизмам непрерывным в топологии Скотта. Любое непрерывное упорядоченное множество трезво в своей топологии Скотта. Более того, эта топология Скотта будет полностью дистрибьютивной. Любая полностью дистрибьютивная решетка будет пространственной локалью, то есть топологией какого-то пространства. А точки этого пространства будут иметь непрерывный порядок специализации. Так как обратная к любой полностью дистрибьютивной локали будет полностью дистрибьютивна, то можно взять топологию Скотта непрерывного упорядоченного множества, развернуть ее и построить новое непрерывное упорядоченное множество. Такое пространство называется двойственным, и если повторить эту конструкцию, то мы получим исходное множество. Точки двойтсвенного множества соответствуют открытым фильтрам в топологии Скотта.

Что бы превратить эту двойственность в настоящую двойственность в смысле теории категорий нужно использовать особые морфизмы, которые называются отображениями Лосона. Это монотонные непрерывные в топологии Скотта отображения, такие что прообразы фильтров переходят в фильтры. Эта двойственность будет шизофренической. Потому что это двойственное пространство можно описать как множество отображений Лосона в множество {0,1}. Cтоит заметить при этом, что полурешетки при этом переходят в полурешетки. Но решетки переходят не в решетки, а в так называемые стабильно непрерывные полурешетки, то есть в такие полурешетки, где отношение «сильно ниже» уважает операции полурешетки. Поэтму двойственность существует только для категории стабильно непрерывных решеток. Все непрерывные решетки тополгические. Их особая топология называется топологией Лосона, и эта топология всегда компактная и Хаусдорфова по порядку. Любая компактная регулярная локаль будет стабильно непрерывной.

Один из главных результатов этой главы заключается в том, что непрерывные локали — это ровным счетом топологии локально компактных пространств. И трезвое пространство локально компактно тогда и только тогда, когда его топология непрерывно. Интересно, что это означает, что его собственная топология имеет компактную топологию Лосона. Звучит забавно. Пространства, которые имеют стабильно непрерывную топологию называются стабильно локально компактными. При это стабильно локально компактные пространства будут компактными. Другое важный результат — это то, что непрерывные локали это ровным счетом экспоненциальные объекты в категории локалей. А значит локально компактные локали это ровным счетом экспоненциальные объекты в категории трезвых пространств. Этот означает непрерывность «каррирования» для таких пространств. И этот результат важный компонент теоремы Уайтхеда в алгебраической топологии.

Но вряд ли помощь в доказательстве теоремы Уайтхеда это цель этой книги или даже цель этой главы. К сожалению сформулировать общую цель этой главы мне сложно. Также жаль, что тут не рассматривается одноточечная компактификация Александрова. Интересно, заметить, что такая компактификация всегда компактная и регулярная, а значит ее топология стабильно непрерывна. Возможно, можно было бы рассмотреть забывающий функтор из категории стабильно непрерывных локалей в категорию просто непрерывных локалей. И если у него будет сопряженный, то он будет вести себя как одноточечная компактификация Александрова, если ее ограничить на регулярные локали. Или можно попробовать вложить непрерывную локаль в топологию Скотта двойственной локали.