[	Current Mood	|	hopeful	]
[	Current Music	|	Jim Sullivan - U.F.O.	]

Проблема книги Харстсхорна, что он по своему написана очень не педагогично. Ее стиль мне больше напоминать обзорную научную статью а не учебник. Потому что Харстхорн всегда старается рассказать о современных сильных вариантах теорем в том числе в самом начале. И тут он уже сразу начинает ссылаться на сложную коммутативную алгебру, которую студент с большой вероятностью не знает. А именно в тот момент, когда студент начинает читать Харсхорна. он привыкает, что все нужно уметь доказывать из первых принципов (потому что прошлые курсы были так построенны). И это может вводить в ступор. При этом я не имею ничего против курсов построенных по Хвартсхорны или людей, которые самостоятельно занимаются по Харстхорну. Потому что умение работать со статьями — это тоже важный навык. Но я никому бы не рекомендовал писать в ровно в таком же стиле. И почему я пишу про Хартсхорна? Потому что Шафаревич как раз его полная противоположность в смысле гладкого вката в алгебраическую геометрию. В том плане, что Шафаревич начинает с очень понятных определений и примеров, которые в значительной степени строятся вокруг понятных, думаю, даже школьником комплексных многочленов и рациональных функций. У Щафарафевича действительно много примеров. И большинство из них разбирается в координатах, чти по сути делает их доступными аудитории, которая владее только элементарной алгеброй, калькулюсом и может быть элементами абстрактной алгеброй. При этом из этой доступности не следует примитивность. Потому что у Шафаревича есть достаточно подробные отступление по продвинутым вопросам, которые могли к этому моменту заинтересовать читателей. Но в отличие Хартсхорна Шафаревич отлично разделяет это просветительское расширение кругозора и основной сюжет. Если сравнивать с другими книгами с фокусом на элементарной геометрии, то возможно именно Шафаревич самая насыщенная и продвинутая. Единственная книга, которую Шафаревич не перекрывает это как-раз Норскот, который намного подробней пишет про алгебраические группы, их теорию представлений, алгбебры Ли и вопросы связанные с расширением полей. Остальные книги, они все почти написаны в той же конве, что и Шафаревич, но упоскают какие-то блдее продвинутые темы типа теормы Римана-Раха или теории пересечений.

Но в этой книге Шафаревича, мне на самом деле тоже не все понравилось. Несмотря на то, что я назвал ее простой для вкатывания, я не назвал бы ее крайне ясной. В доказательствах достаточно много неочевидных «очевидных» переходов. И я заметил в этой книге достаточно много опечаток, и ситуаций, когда в одном фрагменте одна и та же буква обозначал сразу несколько разных сущностей. Это все несложно преодолеть при внимательном чтении. И мне намного чаще хотелось придумывать свои доказательства, чем запоминать доказательства Шафаревича. Не уверен плохо ли это или хорошо. Но во всяком случае мне показалась, что это книга не простая и не для пассивного чтения, не смотря на нарочитую элементарность некоторых формулировок. Другая вещь, которая мне не понравилась, но я отнес бы ее скорее к своему личному вкус — это то, что тут скорее вводятся ad hoc. То есть в каком-то смысле тут топология не рассматривается как пререквизит вообще. И мне бы лично было бы проще если бы наоборот общую топологию тут бы активно эксплуатировали. И вообще интересно было бы посмотреть на курс алгебраической геометрии, где все бы отталкивалось бы от общей топологии. Какие-то зачатки этого я видел у Викерса в конце его книги «Topology via Logic». И само собой эта книга (1 том) почти не использует теорию категорий. Но этого и следовало ожидать от курса элементарной алгебраической геометрии.

Как я уже писал выше. Шафаревич начинает с очень доступных конструкций в координатах в аффинного пространства. Как я уже писал выше. Но я в основном начал с разбора той части материала, где речь шла про проективные многообразия. Потому что они меня особенно интересовали. Там тоже все получается достаточно просто. Берется обычное проективное пространство и там с помощью локально определенных однородных уравнений высекается алгебраическое многообразие. Плохо, что однородные многочлены не являются кольцом. Но однородные рациональные функции степени 0 вполне себе являются полем. Но важный момент, это что в центре внимания оказываются не просто проективные многообразия, а квазипроективные многообразия, которые включают в себя все замкнутые или открытые в топологии Зариского подмножества проективных пространств. Простой трюк с координатами, показывает, что обычные аффинные пространства являются квазипроективными. Поэтому в определённом смысле проективная алгебраическая геометрия включает в себя аффинную. С самого начала повествования Шафаревич также обсуждает две темы, которые как мне показались достаточно важны. Это теорема Безу и бирациональная эквивалентность. Теорему Безу говорит о числе пересечений гиперповерхностей и в самом элементарном случае кривых на плоскости. А бирациональная эквивалентность несмотря на совершенно не похожее определения оказывается правильным аналогии гомотопической эквивалентности в алгебраической геометрии. (Или не оказывается, но это сложная тема.) . Грубо говоря эта эквивалентность достигается путем построения рационального изоморфизма, который игнорирует проблемы на подпространстве меньшей размерности.

Дальше Шафаревич переходит к разным концепциям «гладкой» алгебраической геометрии и коммутативной алгебры: касательные пространства и конусы, дифференциальные формы, Кэлеровы дифференциалы, особые точки и пополнения (псевдо-разложения элементов колец в ряд Тейлора). С этими темами я уже сталкивался при чтении Норскотта и Айзенбада и уделял им достаточно внимания. Но показалось, что у Шафаревича эти темы изложены особенно понятно и изящно, без большого зазора между алгеброй и геометрия. Поэтому я считаю, что тут получилось очень неплохое повторение и пополнения уже имевшегося у меня материала.

Дальше собственно Дивизоры. Дивизоры на квази-проективном пространстве определяются как свободная абелевы группа над неприводимыми подмногообразиями коразмерности 1. То есть это фактически и есть эти гиперповерхности только теперь их можно складывать и умножить. Чтобы представить зачем это нужно, можно представить себе рациональную функцию, у которой и числитель и знаменатель разложены в произведение неприводимых компонент. И степени этих компонент собственно и образуют дивизор. И собственно для каждой такой функции можно так определить дивизор. И такой дивизор будет называться главным. В Аффинном пространстве любой дивизор главный, но в общем случае это не так. Если факторизовать группу всех дивизоров по подгруппе главных дивизоров то мы получим группу классов. Можно еще рассматривать группу локально главных дивизоров. И ее факт этой группе по группе главных дивизоров будет называться группой Пикара. Но пространств с группой Пикара отличной от группы классов я пока что-то не могу придумать. Также можно определить дивизор дифференциальной 1-формы на алгебраической кривой и линейное пространство регулярных функций, ограниченных дивизором (пространство Римана-Роха). Кажется, что все эти конструкции могут быть очень полезны в гомологических построениях. Но в итоге грубо говоря, дивизоры это такое обобщение гиперповерхности, которая не просто состоит из нулей регулярных функций, но и полюсов. Но . мне больше нравится слово « анти-нули» из-за симметричности. Ну и видимо они называются дивизорами, потому что гиперповерхности разделяют исходное пространство на две части. Группа классов важно в том плане что говорит про класс дивизора с точностью до бирациональной эквивалентности внутри исходного пространства.

Потом Шафаревич доказывает теорему Римана-Роха для кривых на плоскости. Теорема Римна-Роха утверждает определенное соотношение между разностью размерностей пространств Римана-Роха Дивизора и его разницы с каноническим классом кривой и степени этого дивизора и рода кривой. Степень Дивизора это просто сумма его коэффициентов, а род кривой это размерность пространства Римана-Роха ее канонического класса. А канонический класс — это дивизор 1-формы на этой кривой типа dt, который всегда получается одинаковым В любых координатах. Мне понравилось доказательство этой теоремы. Оно достаточно сложное. И опирается на бесконечно-мерную линейную алгебру. Грубо говоря доказательство построено на равенстве размерностей двух линейных пространств. Оно доказывается через двойственность. То есть между этими пространствами строиться билинейное спаривания. Но эти пространства являются факторами бесконечномерных пространств Распределений. И там это спаривание получается уже между распределениями и рациональными дифференциальными формами и оно само выглядит как сумма вычетов (в смысле рядов Лорана и комплексного анализа). И нужно доказать, что сумма вычетов почти всегда равно нулю. И это делается чисто алгебраически через определенные упражнение с коммутаторами. И это вроде как не комплексный анализ. Но очень похоже по духу. И становится понятно, почему он так эффективен в алгебраической геометрии. Теорема Римана-Роха дает большой вклад в развитие чистой математики. Но кроме этого у нее есть и приложения в других областях науки: теории струн, алгебраических кодах с исправлением ошибок, и теории солитоных уравнений.

Том завершается главой про теорию пересечений. В значительной степени это развитие идей классической теоремы Безу. Честно скажу, что тут я уже начал теряться и плохо понимать общую логику, или что мы пытаемся доказать. Поэтому я решил, возможно вернуться к этой теме, после более глубоко погружения в пучки. В элементарном изложении теория пересечения дает разные соотношения для наборов дивизоров. Но в менее элементарной форме они могут превращаться в отношения между алгебраическим объектами (группы Чжоу). Я не думаю что в этом есть большая трагедия. Потому что многие авторы выносят теорию пересечений в отдельный том. А Шафаревич все укладывает в одну главу. Основной мотивация у меня для возвращения к этой теме является то, что там изучают раздутия алгебраических многообразий в классическом смысле. Хотя меня интересовали бы неклассические раздутия. Но кроме этого у теории пересечений есть и другие приложения. Они могут включать в себя высокоточную механику типа дизайна промышленных роботов и решение уравнений методом продолжения гомотопий.

В целом в Шафаревиче есть много интересных тем про которые я не успел рассказать. Например я мало что написал про анализ свойств конкретных кривых и поверхностей, наверное, потому что эта тема меня не очень интересует. Но, например тут есть прикольный результат, что на любой кривой третьего порядка в плоскости можно задать структуру группы. И кажется эта эта идея лежит в основе криптографии с эллиптическими кривыми. Также возможно стоит напомнить, что Шафаревич все время работает с алгебраически замкнутым полем. Об этом он редко напоминает, но вспоминает про другие поля там где это сразу может принести результат. Например, когда обсуждает теорию пересечений над действительными числами. Дальше я наверное, буду читать Вакила про пучки.