| Физические величины |
[Jun. 30th, 2025|01:09 am] |
| [ | Current Mood |
| |  hopeful | ] |
| [ | Current Music |
| | Husker Du -- Zen Arcade | ] |
Меня всегда очень удручало, что нет понятной, известной алгебраической структуры, которая бы охватывала все физические величины. Недавно, я прочитал статью Dimensioned Algebra: the mathematics of physical quantities, где предлагается решение этой проблемы.
Там, идея в том, что множество физических величин можно рассмотреть как расслоение над множеством размерностей. Новизна этой статьи заключается в том, что рассматриватся алгебраические операции двух. Так называемые размерностные операции (dimensional), определённые в слоях каждой размерности, например, как сложение физических величин. И это хорошо изученная структура, типа пучок абелевых групп. Второй тип операций, которую автор называет размеренными (dimensioned) определено сразу на всех точках расслоения. Причем у базы тоже есть эти операции. Это тип как умножение величин. И эти операции ⟨коммутируют⟩ с выделением размерности. И используя одну размерностноую и одну размеренную операцию автор последовательно определят размерностные кольца, поля, векторные пространства, просто алгебры, алгебры Ли и алгебры Пуасона. Причем, доказывается теорема, что любое пространственное поле может быть представлено как декартово произведение простого поля и абелевой группы. В обычной физике это что-то типа R x Z^7, если верить ИИ. Также с помощью этого языка довольно легко определить некоммутативные системы оразмеренных величин, и это может иметь какой-то смысл в квантовой физике.
Я заметил, что почти все структуры, о которых пишет автор соответствуют простым алгебраическим теориям. И становится интересно, например, если взять произвольную такую теорию с любым числом операций произвольной арности, и ввести на ней что-то вроде дополнительной сигнатуры, которая говорит какие операции размерностные, а какие размеренные, то верно ли что категория таких размерностных алгебр с множеством размерностей имеющим соответствующую алгебраическую структуру хорошо устроено? Типа имеет все пределы и копределы, и имеет функтор «свободный объект» сопряженный с забывающим. Это, например верно если все операции просто размерностные.
Другой вопрос у меня связан со структурой сечений общего вида таких пучков. Вот, например, обычные физические величины имеют в качестве базы Z^7, и эту группу естественно рассматривать с дискретной топологией. Тогда сечения, это просто функции из подмножеств Z^7 в R. А если взять в качестве множества размерностей какую-нибудь структуру с нетривиальной топологией? Я придумал один пример. Рассмотрим выпуклое компактное подмножество евклидовова пространства с мерой такой, что мера открытого множества равна 0 только если это множества пустое. И еще пусть есть вероятностная мера, которая имеет плотность f над вышеупомянутой мерой. Это выпуклое множество и будет множеством размерностей. А величинами над ним будут пары чисел и пар точек. Тогда в качестве n-арных размеренных операций можно взять усреднение с коэффициентами пропорциональными f. Можно дополнительно рассмотреть операции min, max, которые будут дистрибутивны над усреднениемя. Это не будет кольцо, потому что усреднения не ассоциативны. Можно, например потребовать, чтобы сечения были непрерывными функциями. Тогда можно еще ввести операцию интегрирования из сечения на открытом множестве в слой над центре масс этого множества. Не знаю, что это может значить. Но факт в том, что в размерности можно хранить информацию, влияющую на сами операции. И тогда получается что-то новое.
Посмотрите, какой автор красавчик:
https://czapatacarratala.wixsite.com/home |
|
|