tiphareth: Терстон, Громов, Милнор, и тут блджад Семереди

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

tiphareth
2012-03-25 20:01 (ссылка)

спектральные последовательности это не топология вообще
это часть университетского курса гомологической алгебры
изучают их курсе на втором-третьем

а речь шла какбе о топологии

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	rus4 2012-03-25 20:35 (ссылка)
	Спектральные последовательности на втором-третьем курсе, а их приложения в алгебраической топологии - на первом? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2012-03-26 01:14 (ссылка)

а где приложения-то?
я там ничего, кроме одномерных клеточных комплексов, не обнаружил
к теории одномерных клеточных комплексов можно присобачить
спектральные последовательности, но совершенно незачем

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	rus4 2012-03-26 01:37 (ссылка)
	ну вот обзор, например http://mi.mathnet.ru/rus/umn/v63/i6/p39 (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2012-03-26 01:48 (ссылка)
	Борсук-Улам же 1920-е годы, это еще примитивнее, чем графы а где там спектральные последовательности, я не вкурил (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

rus4
2012-03-26 02:11 (ссылка)

Топологический аппарат кратко излагается на стр. 45-49 (по УМН-овской нумерации).

Используется не только в выпуклой геометрии, напр. теорема Воловикова 1996 г. (номер 19 по ссылке) используется в чистой комбинаторике. (Прошу прощения за саморекламу, просто я это лучше знаю, чем другие приложения.)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(Анонимно)
2012-03-26 02:23 (ссылка)

"In this paper we prove that the nonzero elements of a finite field with odd
characteristic can be partitioned into pairs with prescribed difference"

Хотел бы спросить вас как автора, каким образом этот результат расширяет понимание математической науки? (без всякого сарказма)

Ставилась цель разобраться, как устроены конечные поля?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	liberium 2012-03-26 10:32 (ссылка)
	Я вот уже высказывался выше: "комбинаторика главным образом доставляет tools for problem solving." Мне кажется, это именно тот случай. (Ответить) (Уровень выше)

rus4
2012-03-26 10:47 (ссылка)

Это тут случай, когда интереснее доказательства, чем утверждения.

Общая постановка задач об упаковках - дано пространство X с действием группы G и множества X1,...,Xk в G. Надо их подвергнуть каждое действию какого-то элемента группы так, чтобы повернутые множества лежали еще в одном заранее выбранном множестве Y и не пересекались. Они часто возникают, много рассматриваются и вообще естественны.

Рассмотрим для начала самый простейший случай (даже в этой заметке рассматривается не только он) - группа Z_p (p нечетное простое) действует на себе сдвигами, множества X_i двухэлементны. При каком k их заведомо можно упаковать? Ясно, что k=(p-1)/2 лучшее, на что можно надеяться, да и это выглядит несколько нагло. Однако оказыввается, что такой предельный результат верен. Как это доказывается?

Предлагается два доказательства, не те, которые всякий ожидает, глядя на задачу:

1) (топологическое) - по множествам X_i строится клеточный комплекс, применяется теорема о неподвижной точке Воловикова, являющаяся обобщением теоремы Борсука-Улама, совсем "в конечном итоге" оказывается, что такое разбиение на пары существует из-за необнуления некоторого класса Эйлера.

2) (алгебраическое) - по множествам X_i строится многочлен от нескольких переменных, в предположении, что разбиения на пары нет он обнуляется как функция. Однако для многочленов такой степени, как у нашего, имеется процедура восстановления некоторых коэффициентов по значениям (известная как комбинаторная теорема о нулях) - и нужный коэффициент нашего многочлена оказывается не равен 0. Вычисление этого коэффициента дело не простое, это так называемая "гипотеза Дайсона", которую оный Дайсон высказал в связи с изучением случайных матриц. Мы про это не знали, что хорошо, так как пришлось придумать новый более лучший способ доказательства гипотезы Дайсона и вообще вычисления коэффициентов.

Видимо, это первая работа. в которой встречаются топологические и алгебраические методы в комбинаторике.

Итак: некоторое комбинаторное разбиение существует по двум причинам:
1) не обнуляется класс Эйлера
2) не обнуляется коэффициент многочлена.

Естественное предположение, что это по сути одна причина, и имеется некоторое соответствие между когомологиями клеточных комплексов и коэффициентами подходящих многочленов. Мне было бы весьма интересно его найти, оно должно пролить свет на многие вещи.

Не знаю, насколько я ответил на Ваш вопрос. Цель разобраться, как устроены конечные поля, не ставилась (то есть ставилась и ставится, но не нами и не здесь).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	liberium 2012-03-26 11:46 (ссылка)
	Интересно. Ждём результатов, следим за вашим архивом. (Ответить) (Уровень выше)

tiphareth
2012-03-26 02:28 (ссылка)

Статью Воловикова я в сети не нашел, только абстракт, но
он совершенно не производит впечатления "современной математики",
(и судя по результатам поиска Гугле-Сколара, я не одинок в таком
впечатлении: http://scholar.google.com/scholar?as_q=&as_sauthors=Volovikov)

Я, впрочем, сильно предубежден против людей, которые не
выкладывают статей в архив, и считаю их вредителями и мудаками.

Что до страниц 45-49, топологическое содержание там состоит в определении
эквивариантных когомологий, с целью обобщить теорему Борсука-Улама на
G-эквивариантные отображения. Спектральная последовательность там
используется для вычисления эквивариантных когомологий. Это результаты
лично Карасева, а никак не "методы, распространенные среди сторонников
комбинаторики."

Конечно, это весьма здорово, но весь
топологический контент, который там используется, известен
уже 60 лет, и вполне доступен хорошему второкурснику.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

rus4
2012-03-26 10:25 (ссылка)

Статью Воловикова я в сети не нашел

Русские статьи в основном есть на матнете, вот и эта есть: http://mi.mathnet.ru/mz1735
Кто такие "сторонники комбинаторики", я не знаю. Вы говорили, что в комбинаторике из топологии используются только одномерные клеточные комплексы, оказывается, что не только - это вдруг не считается, потому что использует лично Карасев. Ну ладно, не считается так не считается.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

liberium
2012-03-26 10:41 (ссылка)

На mathnet.ru доступ к текстам по прошествии 3-х лет.
Мне уже приходилось просить авторов прислать мне препринт, когда нельзя было скачать статью с mathnet. После этого они выкладывали всё на arxiv.org. Никому не западло было совершенно.

(Ответить) (Уровень выше)

	tiphareth 2012-03-26 11:01 (ссылка)
	я говорил, что методы сугубо элементарные это так и есть же (Ответить) (Уровень выше)

	tiphareth 2012-03-26 02:29 (ссылка)
	и спасибо, да (Ответить) (Уровень выше)

tiphareth
2012-03-26 01:52 (ссылка)

притом, в выпуклой геометрии как раз современные методы используются в полный
рост, вплоть до резольвент Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда и классификации
бесконечномерных неприводимых представлений полупростых групп

но все [отмеченные мной] ссылки Карасева на эту область
ограничиваются статьями Хадвигера 50-60-летней давности

(Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -