tiphareth: Теория Галуа: задачи коллоквиума

Настроение:	sick
Музыка:	Pink Floyd - JERSEY NOT MOTHER
Entry tags:	hse, math

Теория Галуа: задачи коллоквиума
Коллега mancunian@lj
продолжает срать кирпичами насчет
курса теории Галуа
http://mancunian.livejournal.com/1674490.html
http://mancunian.livejournal.com/1675343.html
смешно, конечно.

Отчасти он прав: на лекции ходило меньше половины
студентов, остальные думают, что все изучат
по слайдам. Это неправильно: слайды очень плохо
соответствуют контенту лекции, почти всегда с
ошибками (я дублирую контент на доске, и часть ошибок
при этом обнаруживается), и рассчитаны на то, что
слушатели будут задавать вопросы, выходить к доске
решать задачи, и так далее. В отсутствии интерактива
чтение лекций вообще никакого смысла не имеет, а
интерактива в этот раз было гораздо меньше, чем обычно.
На лаже меня, кажется, вообще ни разу не поймали,
а так ловят постоянно.

А мы тем временем провели устный экзамен
с решением задач. Народ их вполне удовлетворительно
порешал. Задачи, конечно, простые, но занятные
и требуют понимания материала.

Многие студенты не пришли, потому что у них уже
сданы листочки на верхнюю оценку, а кроме оценки
им мало что интересно. Не уважаю совершенно.

Задачи вот, генератор вариантов тут.

В составлении вариантов важно соблюсти баланс между
интересами списывающих и интересами решающих. Человек,
который сдул задачу, научится наукам чуть меньше, чем если
бы он сам ее решил. Зато тот, у кого он списал, научится
наукам чуть больше. То есть списывание есть не зло,
а благо: стимулирует социальную жизнь, и позволяет
студентам друг друга всякому хорошему научить.

Конечно, если кто-то один решает, а все у него
под копирку сдувают, это тоже малополезно.
Поэтому надо составлять варианты таким образом,
чтобы списывание было осуществимо, но не автоматически,
и не у кого-то одного, а требовало интенсивного
общения в кулуарах. Использование рандомайзера
эту задачу решает отчасти, кажется.

Следующая серия через неделю, надо будет насочинять еще
столько же задач.

Привет

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

dm_golubenko
2013-03-30 16:09 (ссылка)

Миша, привет!

В листке 8 (http://www.verbit.ru/MATH/GALOIS-2013/galois-listok-08.pdf) теорема Абеля-Руффини доказвается с помощью теоремы Галуа и по сути утверждения задачи 8.29:

"Подгруппа S_n действует транзитвно на {1, 2, 3, ... n} и содержит транспозицию. Докажите, что эта подгруппа совпадает с S_n"

Но это же просто неверное утверждение. Занумеруем вершины квадрата по порядку; диэдральная группа D_4 дейтсвует на это множестве транзитвно (все повороты) и содержит транспозицию (симметрия относительно оси, проходящей через противоположные вершины), но при этом не совпадает с S_4.

Из задачи 8.29 следует задача 8.31

"P(t) \in Q[t] - неприводимый над Q многочлен, имеющий n-2 вещественных корня. Докажите, что группа Галуа Q[t]/P равна S_n"

Это же тоже неверное утверждение: берем x^4 - 2 - неприводимый над Q многочлен с 2 вещественными корнями, и его группа Галуа не S_4, а D_4 (это нужно было, кстати, доказать и в одной задаче в листке 5, и на письменном экзамене).

Тут просто совсем вопиющая ошибка по-моему, ведь именно этим утверждением мы пользовались, чтобы доказать, что для некоторого уравнения 5-ой степени группа Галуа равна S_5 (и как следствие, неразрешимо, а значит, уравнение не решается в радикалах). Я, конечно, знаю и так, как теорема Абеля-Руффини доказывается, еще в школе изучил, но мне все-таки интересно, что ты имел в виду в этих задачах. Как стоит изменить условие задачи, чтобы доказательство основного утверждения не строилось на лаже?

Кстати, и еще: вот я знаю два подхода к группе Галуа, как быстро понять, что группа автоморфизмов расширения - то же самое, что и группа перестановок листов римановой поверхности, соответствующей уравнению?

Спасибо,
Дмитрий Голубенко (матфак, 2 курс)

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2013-03-30 21:42 (ссылка)

>"Подгруппа S_n действует транзитвно на {1, 2, 3, ... n} и содержит >транспозицию. Докажите, что эта подгруппа совпадает с S_n"

для n \geq 5, естественно
если я это не написал, меа кульпа

>как быстро понять, что группа автоморфизмов
>расширения - то же самое, что и группа
>перестановок листов римановой поверхности, соответствующей уравнению?

да, само собой,
для накрытий есть теория Галуа, совершенно идентичная
обычной теории Галуа. Все теоремы доказываются так же,
местами дословно. Автоморфизмы поля над подполем
соответствуют автоморфизмам накрытия над базой.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

_gr_
2013-03-31 21:35 (ссылка)

По моим представлениям, подгруппа S_{kn}, состоящая из перестановок, сохраняющих разбиение на k подмножеств из n элементов каждое, действует на {1, 2, 3, ..., kn} транзитивно и содержит транспозицию, но не совпадает с $_{kn} при k>1,n>1.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	posic.livejournal.com 2013-03-31 21:37 (ссылка)
	Ага. Но для S_5 утверждение верно все же. И вообще для S_p при простых p. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

posic.livejournal.com
2013-03-31 21:52 (ссылка)

Более того, всякая транзитивная подгруппа в S_n, содержащая хотя бы одну транспозицию, является полупрямым произведением транзитивной подгруппы в S_{n/k} и прямого произведения n/k копий S_k. Доказательство: рассмотрим множество всех транспозиций, принадлежащих такой подгруппе. Это такой граф (неориентированный, без петель) с вершинами, занумерованными числами от 1 до n. Далее, этот граф обладает свойством, что вместе с двумя ребрами треугольника он всегда содержит третье (потому что две различные транспозиции на трех символах порождают S_3). Таким образом, граф представляет собой несвязное объединение полных графов. Наша подгруппа S_n действует на графе, транзитивно переставляя вершины, так что всех связных компонентах число вершин одинаковое; назовем его k. Всякий элемент этой подгруппы сохраняет разбиение n элементов на n/k подмножеств по k, и принадлежность перестановки к подгруппе зависит только от того, как она действует на этом n/k-элементном фактормножестве.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	posic.livejournal.com 2013-03-31 21:58 (ссылка)
	где k > 1. (Ответить) (Уровень выше)

	_gr_ 2013-03-31 22:02 (ссылка)
	Ну да, я это понимаю, только сгоряча я не заметил, что может быть любая транзитивная подгруппа S_{n/k}, а не только S_k. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	posic.livejournal.com 2013-03-31 22:04 (ссылка)
	Ага, я тоже заметил это только тогда, когда дописал доказательство. (Ответить) (Уровень выше)

(Комментарий удалён)

posic.livejournal.com
2013-03-31 22:00 (ссылка)
Не, не обязательно из всех (см. мой длинный коммент выше). Можно взять полупрямое произведение Z/m на произведение m копий S_k.
(Ответить) (Уровень выше)

tiphareth
2013-03-31 22:01 (ссылка)
ага, спасибо
меня переклинило
поправил
(Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -