tiphareth: верхний пост

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

	topos 2016-10-29 16:36 (ссылка)
	Упражнение номер 13 к первой главе Атьи-Макдональда — это стандартное (думаю, что да)? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	sasha_a 2016-10-29 19:05 (ссылка)
	Ага. Более коцептуальное, с ултрафильтрами, указано Мишей выше. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2016-10-30 00:14 (ссылка)

ну, компактность можно и без ультрафильтров доказывать
если мы объяснили студентам теорему Мура, что булевы алгебры суть
то же самое, что непрерывные функции на вполне несвязных
компактных хаусдорфовых пространствах, то компактность
становится тавтологией (то есть та компактность и эта
компактность это одна и та же компактность: нам нужно
существование общей точки в наборе замкнутых множеств,
любой конечный поднабор которого имеет общую точку).
Для теорему Мура ультрафильтры не вредны, но можно без них
на самом деле, правильно, видимо, наоборот: определять
ультрафильтры как дополнения к максимальным идеалам
в булевой алгебре.

А теорему Мура на первом курсе в общем можно объяснить,
хотя студентам будет трудно, а на втором так просто нужно, думаю,
потому что с ней много вещей делаются сильно проще.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	sasha_a 2016-10-30 02:44 (ссылка)
	Здорово! (Утащил к себе.) (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

topos
2016-10-30 11:23 (ссылка)

Это круто, но, по-моему, компактность сама по себе тавтологична и "очевидна" (в формулировке "множество формул первого порядка имеет модель тогда и только тогда, когда каждое конечное подмножество имеет модель"). Но для этого нужно понимать про логику первого порядка, модели, формальные доказательства, теорему о полноте, вот это всё — те вещи, которые обычно рассказывают на первом курсе, и которые благополучно забываются. Думаю, там самое сложное — это понять, в чём содержательный смысл.

Я сам это выучил по современному учебнику Marker, "Model Theory: An Introduction" (Springer GTM 217), где это кратко объяснено на первых страницах, но в предположении, что читатель уже знаком с формальными доказательствами и теоремой о полноте. Там же есть вещи вроде "теоретико-модельного доказательства Nullstellensatz".

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

apkallatu
2016-10-31 16:32 (ссылка)

это всё какой-то обидный оверкилл, если кому-то интересно моё мнение

формальные доказательства компактности перпендикулярны, что видно
даже и по формулировке, а доказательство через "конструкции Хенкина"
по-моему никто, кроме логиков, читать не будет (да и сами они,
если честно, не очень читают)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	topos 2016-11-01 03:21 (ссылка)
	Ну мне показалось понятным доказательство через полноту, которое там идет прямо после формулировки теоремы, без всякого Хенкина. Как можно проще и правильнее? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

apkallatu
2016-11-01 20:02 (ссылка)

если обращаться к полноте, это неявно тоже синтаксическое
доказательство. доказательство полноты так или иначе использует
что-то типа конструкции Хенкина.

проще всего через ультрапроизведения, как по мне. для утверждения
такой общности явного доказательства всё равно не будет, уж лучше
по максимуму запихнуть неявность в одну какую-то короткую конструкцию.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	topos 2016-11-03 13:07 (ссылка)
	Понятно, спасибо! (Ответить) (Уровень выше)

sasha_a
2016-11-02 04:38 (ссылка)

Мой вопрос был как излагать для (не жутко способных) первокурсников, желательно без использования слова ультрафильтр, но так, чтобы не заметать мусор под ковер.
Мишино предложение продолжает казаться разумным.

(Ответить) (Уровень выше)

	sasha_a 2016-10-31 23:35 (ссылка)
	Да, любопытная книжка. Спасибо. (Ответить) (Уровень выше)

apkallatu
2016-10-31 16:23 (ссылка)

что за Мур? Moore? утверждение вроде бы ровно теорема Стоуна.

ультрафильтры как раз вещь простая, это ультрапроизведения
объяснять некомфортно, как мне кажется, хотя из них компактность
следует мгновенно (из теоремы \Lo\'s-а)

(Ответить) (Уровень выше)

	topos 2016-10-30 02:07 (ссылка)
	Ну да, вот тут оно изложено, вроде: http://mathoverflow.net/questions/46566/is-the-statement-that-every-field-has-an-algebraic-closure-known-to-be-equivalent (Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -