>в математике есть два метода только, симметрия и линеаризация
только, понятие непрерывности и замкнутости забыл. они к линеаризации и симметрии никаким боком (линеаризации, разве что косвенно). А без них никак.

>У Картана-Эйленберга и пр. с этим была полная каша. А Гротендик полностью построил и предъявил

Трудно сказать. Ответьте честно (и хотя бы понятно обьясните):
Почему только "как у Гротендика" ?
Можно ли генерировать подобные теории пачками?

>Кому как, я обычно не использую (хотя конечно да, согласен, просто не использую и потому забыл).
и ясно почему. Это понятия из анализа (диф. и интегрального исчисления), "порицаемого" в алгебре.

>Никто не генерировал пока, ни пачками, никак.
потому что мало-кто Гротендика изучил. Она очень абстрактна. А те кто изучил могли-бы, но им "что-то мешает"

>Где базовый линейный объект, на котором определены наши функторы, которые мы будем потом улучшать?
ясно, что мешает. не могут отойти на шаг от теории - рассуждают в ее смыслах. Она кажется идеальной. Итак преступим:

можно говорить о разных "уровнях абстрактности" наших историй, в качестве базового обьекта можно взять
1. Принцип подобия и сложный линейный обьект. Интуитивно, как молекула в химии или атом с электорнными оболочками. Базовый обьект, состоящий из трех, четырех, пяти...восьми чисел с двумя жестко заданными таблицами соответствия между этими числами (одна как умножение, другая как сложение). Далее, каждый "элементраный" объект конструируется из этих чисел и двух таблиц в виде А1=а_1*b_1+а_2*b_2+а_3*b_3 - это объект множества сложных линейных обьектов. Функторами служат опять сложение и умножение, которые комбинируют числа двух сложных обьектов, образуя третий сложный обьект: то есть А1+Б1 берет попарно числа из которых составлены сложные обьекты А1 и Б1 и ищет среди таблиц всех других обьектов те строки таблицы, в которых присутствуют соответствующие числа из А1 и Б1. Для умножения взять один вариант поиска (например в таблицах умножений обьектов), а для сложения второй вариант поиска (например в таблицах сложений обьектов) - тут можно поэкпериментировать и понять какой алгоритм действий не является вырожденным и является хорошим.

2.взять в качестве базового линейного обьекта - обьект с выкинутой одной цифрой, например 7. т.е. у такого обьекта 6+2=>9 (а не только нулей, как у Гротендика, вроде). Такой подход предусматривает разработки уникальной групповой арифметики и ее последующего обобщения до алгебры - все как хотел сам Гротендик (или мне это почудилось).
3. взять в качестве базового обьекта не число, а понятие замкнутости (замкнутого подмножества) - заметьте не неоткрытости, как всюду понятие замкнутого подмножества вводится в учебниках.
Тоесть "замкнутость" - это открытое подмножество с границей.
Далее инутитивно представлять себе границу - аддитивным действием (граница имеет размерность на единицу меньше размерности открытой части), а мультипликативным действием считать внутренние точки.
Отсюда два действия, задающих поле замкнутостей будет 1.соприкосновение по-границе (аддитивное действие) и
2.пересечение замкнутых подмножеств (мультипликативное действие).
Граница интуитивно соответсвует сложению, потому- что у границы ниже размерность, она как-бы ближе к линейности, а внутренние точки подмножества = мультипликативны, т.к. их разрядность выше (у них полновесная окрестность, а не пол-окрестности, как на границе)

4. добавить, использовать к алгебраической геометрии - анализ. Как гамильтониан движения некоторой жидкости на неких касательных пространствах. Создать триаду: алгебра-геометрия-анализ (ой, это уже есть, да? Келеров потенциал или как-то так.)

как вам этот первоначальный бред? совсем плохо?

еще можно было добавить:

5. взять в качестве базового линейного объекта два нелинейных, чья линейность обеспечивается их зеркальной симметрией.

а Роман Михайлов - немножко шизоидный фрик. Мне он нравится, ага.