tiphareth: Grothendieck-Teichmueller group, operads and graph complexes: a survey

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

	kaledin 2021-04-16 01:38 (ссылка)
	По-хорошему, что такое кручение можно понять, только посмотрев на однородное пространство. Но хотя бы увидеть, что оно тензор, можно и без того. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	deevrod 2021-04-16 02:21 (ссылка)
	> посмотрев на однородное пространство а ты что-то конкретное имеешь ввиду? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2021-04-16 03:04 (ссылка)

?? Ну скобка же в алгебре Ли; один из членов (если G/H, то g/h \otimes g/h \to g/h). В симметрическом случае, когда g/h это (-1)-собственное значение инволюции, оно равно нулю, а вообще-то нет. А другой член -- g/h \otimes g/h \to h -- это кривизна. Все это для инвариантной связности на G/H, в предложении, что g/h отщеплено как H-модуль.

Узнал от Ани Абашевой кстати, она рассказывала на семинаре года полтора назад.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

deevrod
2021-04-16 06:21 (ссылка)

ну когда связность плоская, я и в общем случае могу
такое же определение дать: разнесём два вектора до
локальных параллельных векторных полей, вычислим
коммутатор. но это какая-то алгебра, а геометрический
смысл её туманен

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2021-04-16 15:15 (ссылка)

Ну, плоская! Плоская неинтересно. А это просто обьясняет известную теорему про то, что пространство симментрическое iff кривизна ковариантно постоянна. На самом деле, правильное утврждение не про симметрические, а про однородные, и надо брать метрическую связность с ков. постоянными кручением и кривизной.

>а геометрический смысл её туманен

Это может быть, но это я уж не знаю. Для меня всегда был туманен смысл слова "смысл" в выражении "геометрический смысл".

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	deevrod 2021-04-16 20:24 (ссылка)
	> не про симметрические, а про однородные а, вот этого не знал! так немного понятнее, да (Ответить) (Уровень выше)

milinda
2021-04-17 15:44 (ссылка)

Картан так его и придумал.

Я когда-то решил почитать, что он пишет про связности, мало что усвоил, зато сообразил следующее.

Пусть G < GL(m) -- связная подгруппа Ли, и пусть на m-мерном многообразии M задана G-структура. G расширяется до \tilde G = G \ltimes \R^m (подгруппа аффинной группы \R^m, порождённая G и сдвигами), а соответствующее главное G-расслоение P над M -- до главного \tilde G-раслоения \tilde P.

Теперь любая G-связность в TM -- эквивалентно, в P -- естественным образом задаёт некую \tilde G-связность в \tilde P. Кривизна этой новой связности -- 2-форма на \tilde P со значениями в \tilde g = g \oplus \R^m. Её g-компонента -- кривизна исходной сязности, \R^m-компонента -- кручение.

В терминах горизонтальных расслоений новая связность описывается следующим образом. Изоморфизм P \times^G \R^m \to TM задаёт каноническую \R^m-значную 1-форму на P ("припаивающая форма"; от связности не зависит). Исходная связность задаёт горизонтальное поднятие T_pM \to T_qP. Мы строим горизонтальное поднятие T_pM \to T_q \tilde P следующим образом: последнее пространство канонически раскладывается в прямую сумму T_qP \oplus \R^m, и наше поднятие будет такое: его композиция с проекцией на T_qP -- поднятие, заданное исходной связностью, а композиция с проекцией на \R^m равна T_pM \to T_qP \to \R^m, где первая стрелка -- поднятие, заданное исходной связностью, а вторая -- припаивающая форма.

Геометрическая картинка такая. Рассмотрим произвольный путь на M; G-связность отождествляет касательные пространства вдоль этого пути. Снесём параллельно векторы скорости нашего пути в касательное пространство к начальной точке, получим там вектор v(t), зависящий от времени, и проинтегрируем до пути dx/dt (t) = v(t), x(0)=0. Таким образом при параллельном перенесении T_pM вдоль пути, начинающегося в p, нулевой вектор 0 \in T_pM куда-то едет.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2021-04-18 03:45 (ссылка)
	Ну да. "Каждое многообразие локально есть однородное пространство". Сейчас это называют "формальная геометрия", но смысл тот же. (Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -