Настроение:	sick
Музыка:	Majdanek Waltz - ЧЕРНОЕ СОЛНЦЕ
Entry tags:	math

О некоторых вопросах комплексной и арифметической геометрии
Конспект лекции Феди Богомолова во вторник,
выкладываю, чтобы не потерялось.

Федя рассказывал про несколько
старых задач, которые он когда-то делал, но не доделал,
донельзя зажигательно. Это тот редкий случай, когда мне
захотелось взять еще несколько студентов, потому что
все задачи очень интересные, и почти про каждую можно
написать много хорошего, было бы время и энергия.

1. Для заданного компактного комплексного многообразия
X найти алгебраическое слоение на проективном и трансверсальное
ему вещественное, диффеоморфное X, такое, что комплексная
структура на X индуцирована из пространства листов слоения.

Я примерно догадываюсь, как это делается для K3.
Статья Демайи про эту задачу
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/alg_embedding.pdf
и оригинальный препринт Богомолова
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/bogomolov_RIMS1084.pdf

* * *

2. Найти в любом комплексном многообразии
"штейнову клетку", открытое штейново подмногообразие,
такое, что его дополнение это вещественно
аналитическое подмногообразие меньшей размерности.

Я примерно догадываюсь, как это делается для
всех гиперкэлеровых.

* * *

3. Объединение двух Штейноых многообразий имеет нулевые H^2,
поэтому нет препятствий к комплексной деформации.

Применяем это к поверхностям. Если задан дивизор D и элемент
группы Пикара [u] (не пропорциональный дивизору D, но обильный),
то можно найти представителя D' класса [ku], для
достаточно большого $k\in \Z$ такого, что пересечение
$D \cap D'$ лежит в небольшой сфере (*).
Дополнение к сфере это объединение Штейновых, значит,
препятствий к деформации нет, а все препятствия
лежат в заполняемости деформированной CR-структуры
на сфере.

(*) доказывается так: Pic^k(D) порожден
для достаточного большого k точками в
заданном открытом множестве на кривой D.
Применяем это к $[ku]\restrict D$
(в группе Пикара D).

Получаем, что теория деформаций поверхности
сводится к задаче о заполняемости псевдовыпуклой
CR-структуры на трехмерной сфере.

Иначе говоря, на трехмерной сфере задано
контактное расслоение с почти комплексной
структурой, при этом контактная форма эрмитова
в этой почти комплексной структуры. Такая
CR-структура называется строго псевдовыпуклой. Она называется
заполняемой, если существует комплексное многообразие,
у которого это контактное является краем, причем
комплексная структура на контактном многообразии
индуцирована из комплексной структуры на
амбиентном. В разнерности 5 и выше любая
строго псевдовыпуклая CR-структура заполняема,
в размерности 3 заполняемость это очень сложный
вопрос.

Полезная статья про заполняемость
https://arxiv.org/abs/math/0210485

On the compactification of hyperconcave ends and the
theorems of Siu-Yau and Nadel
George Marinescu, Tien-Cuong Dinh

We show that the pseudoconcave holes of some naturally
arising class of manifolds, called hyperconcave ends, can
be filled in, including the case of complex dimension 2.
As a consequence we obtain a stronger version of the
compactification theorem of Siu-Yau and extend Nadel's
theorems to dimension 2.

* * *

4. Диаметр подмногообразия есть
длина самого большого геодезического
отрезка в нем. В принципе, никто не мешает
вложить в компактное риманово многообразие
подмногообразие сколь угодно большого
диаметра, но если это подмногообразие
алгебраическое, ответ менее очевиден.
Например, объединение любого числа
прямых в CP^2 имеет диаметр 1.

Федя построил кривую сколь угодно большого
диаметра в CP^2, заменив заданную кривую на
ее двулистное накрытие в небольшой ее окрестности
(трюком Мори или как-то). А что будет с поверхностью
в CP^3? Будут ли там вообще поверхности любого
диаметра?

5. Пусть дана CP^1 в K3 с самопересечениями.
Тогда на ее нормализацию можно поднять трубчатую
окрестность и применить теорему Вуазен, получив,
что кривая выживает в любой деформации К3,
если новая голоморфная симплектическая форма
ограничивается на кривую до точной. Получаем,
что кривые есть в любой проективной K3. Это
старая теорема Богомолова-Мамфорда, но доказательство
Богомолова (более элементарное, чем все опубликованные)
не было опубликовано.

Аргумент Богомолова основан на следующей идее.
Пусть в K3 вложена рациональная кривая с двойными
точками. Для каждой ее точки, лежащей на выбранной
ветви, возьмем трубчатую окрестность этой ветви,
и склеим все такие трубчатые окрестности в
многообразие. Мы получим голоморфно симплектическое
открытое многообразие, которое проектируется
в окрестность кривой на К3 локально диффеоморфно,
причем на самой кривой это отображение равно
ее нормализации. Это дает простой результат
о деформациях: кривая с двойными точками
деформируется вместе с деформацией К3,
если новая голоморфно симплектическая
форма на этой кривой точна. Из этого результата
(доказанного вот тут
https://arxiv.org/abs/1112.1887
для любых голоморфно лагранжевых
с нормальными пересечениями) выводится Богомолов-Мамфорд.

На поверхности Куммера над алгебраическим
замыканием конечного поля, Богомолов-Чинкель
доказали, что рациональных кривых совсем много:
через любой набор F_q-точек проходит рациональная
кривая над каким-то конечным полем. Вопрос: верно
ли то же для других K3? Верно ли, что через
любую арифметическую точку на К3, определенной
над полем $\bar \Q$, проходит рациональная кривая
(определенная, вообще говоря, над другим
арифметическим полем)?

Классическая версия этой гипотезы (кажется,
ее называли "гипотезой Куликова", но я не уверен):
через любую рациональную точку на K3 проходит
рациональная кривая.

Привет