Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2021-09-29 10:43:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: sick
Музыка:Majdanek Waltz - ЧЕРНОЕ СОЛНЦЕ
Entry tags:math

О некоторых вопросах комплексной и арифметической геометрии
Конспект лекции Феди Богомолова во вторник,
выкладываю, чтобы не потерялось.

Федя рассказывал про несколько
старых задач, которые он когда-то делал, но не доделал,
донельзя зажигательно. Это тот редкий случай, когда мне
захотелось взять еще несколько студентов, потому что
все задачи очень интересные, и почти про каждую можно
написать много хорошего, было бы время и энергия.

1. Для заданного компактного комплексного многообразия
X найти алгебраическое слоение на проективном и трансверсальное
ему вещественное, диффеоморфное X, такое, что комплексная
структура на X индуцирована из пространства листов слоения.

Я примерно догадываюсь, как это делается для K3.
Статья Демайи про эту задачу
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/alg_embedding.pdf
и оригинальный препринт Богомолова
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/bogomolov_RIMS1084.pdf

* * *

2. Найти в любом комплексном многообразии
"штейнову клетку", открытое штейново подмногообразие,
такое, что его дополнение это вещественно
аналитическое подмногообразие меньшей размерности.

Я примерно догадываюсь, как это делается для
всех гиперкэлеровых.

* * *

3. Объединение двух Штейноых многообразий имеет нулевые H^2,
поэтому нет препятствий к комплексной деформации.

Применяем это к поверхностям. Если задан дивизор D и элемент
группы Пикара [u] (не пропорциональный дивизору D, но обильный),
то можно найти представителя D' класса [ku], для
достаточно большого $k\in \Z$ такого, что пересечение
$D \cap D'$ лежит в небольшой сфере (*).
Дополнение к сфере это объединение Штейновых, значит,
препятствий к деформации нет, а все препятствия
лежат в заполняемости деформированной CR-структуры
на сфере.

(*) доказывается так: Pic^k(D) порожден
для достаточного большого k точками в
заданном открытом множестве на кривой D.
Применяем это к $[ku]\restrict D$
(в группе Пикара D).

Получаем, что теория деформаций поверхности
сводится к задаче о заполняемости псевдовыпуклой
CR-структуры на трехмерной сфере.

Иначе говоря, на трехмерной сфере задано
контактное расслоение с почти комплексной
структурой, при этом контактная форма эрмитова
в этой почти комплексной структуры. Такая
CR-структура называется строго псевдовыпуклой. Она называется
заполняемой, если существует комплексное многообразие,
у которого это контактное является краем, причем
комплексная структура на контактном многообразии
индуцирована из комплексной структуры на
амбиентном. В разнерности 5 и выше любая
строго псевдовыпуклая CR-структура заполняема,
в размерности 3 заполняемость это очень сложный
вопрос.

Полезная статья про заполняемость
https://arxiv.org/abs/math/0210485

On the compactification of hyperconcave ends and the
theorems of Siu-Yau and Nadel
George Marinescu, Tien-Cuong Dinh

We show that the pseudoconcave holes of some naturally
arising class of manifolds, called hyperconcave ends, can
be filled in, including the case of complex dimension 2.
As a consequence we obtain a stronger version of the
compactification theorem of Siu-Yau and extend Nadel's
theorems to dimension 2.

* * *

4. Диаметр подмногообразия есть
длина самого большого геодезического
отрезка в нем. В принципе, никто не мешает
вложить в компактное риманово многообразие
подмногообразие сколь угодно большого
диаметра, но если это подмногообразие
алгебраическое, ответ менее очевиден.
Например, объединение любого числа
прямых в CP^2 имеет диаметр 1.

Федя построил кривую сколь угодно большого
диаметра в CP^2, заменив заданную кривую на
ее двулистное накрытие в небольшой ее окрестности
(трюком Мори или как-то). А что будет с поверхностью
в CP^3? Будут ли там вообще поверхности любого
диаметра?

5. Пусть дана CP^1 в K3 с самопересечениями.
Тогда на ее нормализацию можно поднять трубчатую
окрестность и применить теорему Вуазен, получив,
что кривая выживает в любой деформации К3,
если новая голоморфная симплектическая форма
ограничивается на кривую до точной. Получаем,
что кривые есть в любой проективной K3. Это
старая теорема Богомолова-Мамфорда, но доказательство
Богомолова (более элементарное, чем все опубликованные)
не было опубликовано.

Аргумент Богомолова основан на следующей идее.
Пусть в K3 вложена рациональная кривая с двойными
точками. Для каждой ее точки, лежащей на выбранной
ветви, возьмем трубчатую окрестность этой ветви,
и склеим все такие трубчатые окрестности в
многообразие. Мы получим голоморфно симплектическое
открытое многообразие, которое проектируется
в окрестность кривой на К3 локально диффеоморфно,
причем на самой кривой это отображение равно
ее нормализации. Это дает простой результат
о деформациях: кривая с двойными точками
деформируется вместе с деформацией К3,
если новая голоморфно симплектическая
форма на этой кривой точна. Из этого результата
(доказанного вот тут
https://arxiv.org/abs/1112.1887
для любых голоморфно лагранжевых
с нормальными пересечениями) выводится Богомолов-Мамфорд.

На поверхности Куммера над алгебраическим
замыканием конечного поля, Богомолов-Чинкель
доказали, что рациональных кривых совсем много:
через любой набор F_q-точек проходит рациональная
кривая над каким-то конечным полем. Вопрос: верно
ли то же для других K3? Верно ли, что через
любую арифметическую точку на К3, определенной
над полем $\bar \Q$, проходит рациональная кривая
(определенная, вообще говоря, над другим
арифметическим полем)?

Классическая версия этой гипотезы (кажется,
ее называли "гипотезой Куликова", но я не уверен):
через любую рациональную точку на K3 проходит
рациональная кривая.

Привет



(Добавить комментарий)


(Анонимно)
2021-09-29 11:56 (ссылка)
Очень интересно.

А почему в (4) рассматривается только CP^2 и CP^3? Нельзя заменить на произвольную поверхность/3-многообразие? И важно ли, что они Фано? Нельзя ли заменить на Калаби-Яу/общего типа? И что будет для произвольной размерности?

Ну и последний вопрос: в чем пойнт с __вещественной__ аналитичностью в (2)? Зачем это вообще?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2021-09-29 12:41 (ссылка)
насчет CP2 не знаю, писал что слышал
что до вещественной аналитичности, это то, что дано в ощущениях
кроме того, у морсовской функции клетки вещественно (полу)аналитичны,
так что это естественное требование

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2021-09-29 12:03 (ссылка)
Эээ, корона? Трамп? Сраная рашка? Каледин? Цензура? Путлер? Лахта?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-09-29 13:37 (ссылка)
>Сраная рашка

Вместо этого теперь преимущества евразийста будут.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-09-29 21:52 (ссылка)
возврат к истокам

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2021-09-29 13:54 (ссылка)
Миш, вопрос - прочитал и прорешал я твою красную ВШЭшную книжку. Мне зашло - сам я прикладник (нейронки, матстат и подобное), но хочу уметь научиться доказывать теоремы. Что ещё посоветуешь?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2021-09-29 18:42 (ссылка)

листочки всякие
НМУ там и все около
у меня есть пачка курсов тут
http://bogomolov-lab.ru/KURSY/
почти все с листочками

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-09-29 19:33 (ссылка)
О, спасибо.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]dolmatt
2021-09-29 20:03 (ссылка)
http://bogomolov-lab.ru/KURSY/METRIC-2016/

А есть книжки, в которых изложено вот это всё ?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2021-09-29 20:07 (ссылка)
Бураго-Бураго-Иванов же
https://books.google.co.in/books/about/A_Course_in_Metric_Geometry.html

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-09-30 01:10 (ссылка)
В книге ЧЕТЫРЕСТА опечаток btw.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2021-09-30 01:49 (ссылка)
очень мало
как автор книжек, авторитетно заявляю, число опечаток бесконечно
можно править ежедневно, годами, и еще останется

(Ответить) (Уровень выше)


[info]wieiner_
2021-09-29 20:28 (ссылка)
или первая половина первого тома Лорана Шварца (даже скорее середина -- вторая и третья четверти книги)

(ухожу-ухожу, из страха быть зобаненым вновь)

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2021-09-29 14:53 (ссылка)
Напридумывают никому не нужных сущностей и долбится в жопу - то есть исследуют их свойства и пишут препринты друг другу.
Вся эта херня не будет иметь никаких практических применений ближайшие 500 лет, а если и будет, то тогда можно будет все нужное быстро доказать или компы уже докажут.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-09-29 20:02 (ссылка)
без єтого не будет пятисот лет

(Ответить) (Уровень выше)


[info]wieiner_
2021-09-29 18:08 (ссылка)
наконец уж что-то такое, про матан
побольше бы таких постов
спасибо!

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]dolmatt
2021-09-29 20:05 (ссылка)
Не гони. Зачем тебе ?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]wieiner_
2021-09-29 20:25 (ссылка)
для достижения трансцендентности же.
эти понимания повышают плотность пустоты внутри.

из написаного Мишей в этом посте, я разобрал и понял твердых 30 процентов
без загугливания понятий. Расслоение у меня вполне используется в проекте компилятора L4.
ну конечно не так феерично как тут идет жонглирование, а наоборот более дремуче.
но все же.. и поднятия сцуко к слою и геодезические и "компактифакция шарова" и что такое проективное пространство где точки суть лучи/пряміе.
а Трансверсальность(поперечность) -- вообще "наш термин"(шизоаналитический)
))

Бураго-Бураго-Иванов, кстате тоже книжка у меня есть уже давно лежит

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2021-09-29 22:03 (ссылка)
а тебе зачем?

ты же математикой занимаешься, как я гитарой - всё спрашиваешь, собираешься, а нихуя не учишь

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-09-30 02:49 (ссылка)
акустика, электруха?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-09-30 09:02 (ссылка)
электруха
чорный фендор, разумеется

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-09-30 14:03 (ссылка)
эх, рок-говнорок

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2021-10-01 00:29 (ссылка)
сракокастер? ну такое

а комбарь?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-10-01 10:02 (ссылка)
стагг двадцаточка.
Весло зато без зацепов на грифе и током не бьёт. чуть дороже можно было индпошив б/у взять, но не был уверен, что мне такое нужно. Хоть и красивое.
Я ж совсем нуль, мне норм. В детстве бассуху дрочил, но тогда совсем не проссывал, что к чему (ведь бассисту так можно же).

Думал, как разовью чуйку, буду уже примочками и процессорами обмазываться. А когда без понятия - то дурное дело матчасть собирать.

Я не говнарь, не подумайте, я по стоунеру угораю.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2021-10-01 11:41 (ссылка)
лучше б наоборот, гитарку стагг, а комбарь пендер бггг

гитара заебись дома нужна
бывает просыпаешься трезвый, солнце в окна хуярит и наяриваешь с утра до обеда

недавно слышал в воскресенье, кто-то из соседей лабал русский рок аккордами через clean канал
я аж порадовался, о как, играют, молодцы какие

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2021-09-30 10:38 (ссылка)
а тебе зачем?

ты же гитарой занимаешься, как я математикой - всё спрашиваешь, собираешься, а нихуя не учишь

(Ответить) (Уровень выше)


[info]oort
2021-10-01 04:50 (ссылка)
к вопросу 4 еще на самом деле можно общий вопрос задать,
для каких классов метрических пространств диаметр оценивается
в терминах объема.

можно спросить, например, выполняется ли это свойство для
подмногообразий CP^n (я уверен что не может такого быть,
но пример не знаю как можно строить).

если у класса пространств кривизна униформно ограничена снизу,
то при неограниченном объеме не может быть ограниченного
диаметра (по теореме сравнения для шаров).
но для всех кривых (даже фиксированной степени) в CP^2 кривизна снизу неограничена,
например (но, кажется, существует оценка на площадь областей где кривизна отрицательна).

вот тут похожая конструкция https://mathoverflow.net/a/66347/13842
и это, кажется, часть того что делает богомолов, это позволяет делать
подмногообразие любого _объема_, а потом нужно как-то выводить отдельно,
что диаметр тоже будет неограничен.

может если брать достаточно маленькую окрестность гиперповехрности,
то кривизна такой деформации может быть можно сделать не сильно отличающейся
от кривизны самой гиперповерхности, так чтобы кривизна оставалась не сильно отрицательной,
например, при этом будет n-листно накрывать поверхность и иметь в несколько раз
больший объем.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]oort
2021-10-01 05:53 (ссылка)
а что такое трюк Мори?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2021-10-01 08:30 (ссылка)
переходишь в характеристику p, p-листно накрываешь кривую
через морфизм Фробениуса, деформируешь, переходишь обратно
в характеристику 0

(Ответить) (Уровень выше)


[info]deevrod
2021-10-01 21:26 (ссылка)
замешательство с трубчатой окрестностью нормализации
решается очень просто: надо выбрать у нормализации
достаточно мелкое покрытие, спроецировать каждый диск
из покрытия вниз, взять у него трубчатую окрестность
(это не то что бы корректно определённое понятие само
по себе, но поскольку они перекрываются, нам неважно),
а потом склеить из этих кусков росток поверхности,
продолжающей нормализацию

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2021-10-01 21:46 (ссылка)
aga
no mnogie prisutstvuyushchie tak i ne poverili
v to, chto ono rabotaet, otkazyvalis' verit' principial'no

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-10-01 21:48 (ссылка)
Потому что "а потом склеить" с доказательством даже рядом не лежало, и во многих ситуациях тупо не работает.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2021-10-01 22:21 (ссылка)

>"а потом склеить"

применяешь определение многообразия
через карты и атласы, убеждаешься, что
построенная система карт и функций склейки
дает многообразие

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-10-01 22:46 (ссылка)
Абсолютно очевидно, ага!

Ровно тот же "аргумент" доказывает, что у любой гладкой кривой в гладкой поверхности есть трубчатая окрестность (т.е. формальная окрестность, изоморфная окрестности нулевого сечения нормального расслоения).

Это утверждение неверно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2021-10-01 22:50 (ссылка)
чего-то я не нахожу слова "формальная окрестность"
в федином аргументе

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-10-01 23:24 (ссылка)
Замени на маленькую.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]deevrod
2021-10-01 23:03 (ссылка)
это склейка подмногообразий, которые и так уже открытые куски
в комплексной поверхности

это не выбор, они даны

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-10-01 23:39 (ссылка)
Так лучше, да, но все равно как-то криво (почему и не записано небось).

Собственно, все бы ничего, но тут есть существенный момент, если подумать. Верно, что при любой деформации, при которой цикл нашей кривой остается (1,1), она туда продолжается. Вопрос -- остается ли она при этом особой рациональной, или, в некоторых ситуациях, должна неизбежно сгладиться в кривую большего рода? Что-то мне сдается, что второе. А этот "аргумент" теоретически если что-то дает, то первое.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2021-10-02 10:08 (ссылка)
Богомолов отображает полученную открытую поверхность в K3,
забывает про комплексную структуру наверху, и смотрит на это
как на гладкое отображение многообразий. Дальше он начинает
деформировать комплексную структуру на K3, оттягивает её
вдоль этого фиксированного отображения, и получает деформацию
открытой поверхности. К ней он применяет свой аргумент,
и получает деформацию гладкой рациональной кривой -- а потом
отображает вниз. Удивительно в принципе; я тоже не верю.
Но это объясняет, почему для других родов это не будет иметь
места: другие кривые не стягиваются в своём нормальном
расслоении, и модули их трубчатых окрестностей бесконечномерны.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2021-10-01 21:47 (ссылка)
>а потом склеить

Так можно склеить трубчатую окрестность у произвольной гладкой кривой в гладкой поверхности. Которой, однако, у нее как правило нет.

Меня убедили, что нормальное расслоение к нормализации правильное, и для деформационного аргумента этого хватает (причем оно даже не нужно на самом деле, он должен бы проходить уже и для особой кривой, если аккуратно посмотреть). Но про глобальное отображение из окрестности нулевого сечения в T^*P^1 я думаю все-таки сомнительно, ну или надо сильно аккуратнее.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2021-10-01 22:19 (ссылка)
Пусть в K3 вложена рациональная кривая с двойными
точками. Для каждой ее точки, лежащей на выбранной
ветви, возьмем трубчатую окрестность этой ветви,
и склеим все такие трубчатые окрестности в
многообразие. Мы получим голоморфно симплектическое
открытое многообразие, которое проектируется
в окрестность кривой на К3 локально диффеоморфно,
причем на самой кривой это отображение равно
ее нормализации.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]deevrod
2021-10-01 23:00 (ссылка)
у гладкой кривой на гладкой поверхности трубчатая окрестность
есть по тавтологическим причинам

при её построении не требуется, чтобы она была биголоморфна
окрестности нулевого сечения нормального расслоения,
но для отрицательного расслоения на CP^1 это получается
постфактум

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2021-10-01 23:43 (ссылка)
>при её построении не требуется, чтобы она была биголоморфна окрестности нулевого сечения

А почему она тогда называется "трубчатая окресность"?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2021-10-02 09:55 (ссылка)
в честь книжки Германа Вейля «Трубки» наверное

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2021-10-02 13:44 (ссылка)

(Ответить) (Уровень выше)