Добрый вечер, Миша.

Листки я смогу посмотреть не раньше среды...

>>Если Вы под краем понимаете терминальные точки
> Под краем здесь я понимаю точки на расстоянии 1 от нуля.

Ну да, я их и имела в виду -- терминальные точки графа, обрезанного по сфере радиуса 1.

> Это будет пополнение множества двоично рациональных
> точек окружности, с естественным расстоянием между ними.

Не понимаю.
Во-первых, откуда берется замыкание в окружность?
Во-вторых, "естественное расстояние" -- это что имеется в виду? Обычное расстояние в R не годится. По идее, здесь надо брать бесконечные двоичные дроби, а расстояние определять как 1 минус доля начальной части, в которой цифры двух дробей совпадают, среди всех цифр. Но это будет либо 0 для совпадающих дробей, либо 1 для несовпадающих, и нужного расстояния не получится. Я поэтому и взяла в прошлом письме в качестве точек подмножества [0,1], чтобы расстояние можно было определить нормально.

>Листки я смогу посмотреть не раньше среды...

Все равно спасибо! В среду будет даже
предварительно-окончательная версия.
Сейчас нас останавливает в основном необходимость
нарисовать картинки.

>Во-вторых, "естественное расстояние" -- это что имеется в виду?

На окружности, как на многообразии, то есть $R/Z$. Надо так
отнормировать, чтобы расстояние от точки до противоположной было 1.

Будем устремлять длину ребра графа к нулю
как 1/2, 1/4, 1/16 ... На шаге k у нас будет
двоичное дерево длины k.

Тогда терминальные точки естественно
отождествляются с двоично рациональными
точками вида a/2^k , причем расстояние между
точками вида a/2^k, b/2^k измеряется как
2|a-b|/2^{k}. Это потому, что расстояние
между терминальными точками измеряется как
удвоенная длина плеча минимальной буквы Т,
соединяющей эти точки и ноль.

Предел этого дела - очевидно окружность.

Вообще есть теорема, что для каждой "гиперболической
группы" край громовского предела ее графов Кэли
будет всегда гладким многообразием. Про такие
вещи есть чудесная книжка: М. Громов,
"Гиперболические группы".

http://uchebn.shopbrowser.ru/sbproduct-574864.html
http://www.ozon.ru/?context=detail&id=984188&partner=metas

Такие дела
Миша

> причем расстояние между
> точками вида a/2^k, b/2^k измеряется как
> 2|a-b|/2^{k}.

Так это неправильное расстояние! Не измеряет оно "удвоенную длину плеча минимальной буквы Т". Например, точки 100..0 и 011..1 у Вас по этой метрике лежат очень близко, а на самом деле они на максимально возможное расстояние удалены друг от друга. Расстояние разностью не определяется никак (одна и та же разность может быть у чисел, находящихся на самых разных расстояниях друг от друга по графу), оно задается поцифровым сравнением с остановкой на первой несовпавшей цифре.

Предел того, что Вы пишете, -- действительно окружность, и это еще раз показывает ошибку, так как в окружность склеивается интервал [0,1), и при этом максимально удаленные (в графе) друг от друга крайние терминальные точки склеиваются в одну, а при изометрическом вложении так получиться не может (т.е. точка, очень близкая к правому концу, находится на расстоянии 1 от левого конца, а при склеивании становится очень близка к этому левому).

Ага! прошу прощения, предел терминальных
точек это, конечно, не то (а теорема
о гладкости края гиперболической группы
имеет другую формулировку и тут неприменима,
очевидно).

Запишем конец бинарного дерева длины $n$
последовательностью 1010110...
("право" соответствует 1, "лево" 0).
Расстояние между этими концами равно
$2^{k-n}$, где $k$ - первый индекс,
где эти числа различаются.

Это 2-адическая метрика, значит
предел есть 2-адическое пополнение
двоично-рациональных чисел,
то есть 2-адический шар Z_2.

В той конструкции громовского предела,
которую я привел выше, надо заменить
везде слова "окружность" на
"Z_2" и оно, кажется, будет
правильно.

Такие дела
Миша

> Расстояние между этими концами равно
> $2^{k-n}$, где $k$ - первый индекс,
> где эти числа различаются.

Вы не забыли, как Вы определяли метрику?
Она определялась так:

> берется бесконечный граф (например,
> граф Кэли для группы), на нем выбирается метрика такая,
> что все ребра имеют длину $c$

:-)))

Угу, c = 1/n, значит расстояние - k/n.

Надо думать

Такие дела
Миша

То пространство, про которое я писала выше (с подмножествами отрезка, только там написано [0,1], а надо брать [0,1)), подходит как пространство, куда вкладывается вся эта последовательность (я имею в виду границу; остальное легко строится как прямая сумма по a таких пространств, соответствующих [0,а), метрика доопределяется очевидным образом). Но оно не будет пределом, так как есть точки, к которым не сходятся точки из этой последовательности, например, множество рациональных точек из [0,1}.

Я кажется поняла, что получится в пределе.

Ограничимся графами G_n, высота которых -- 2^n.
Рассмотрим пространство М, точками которого являются объединение интервалов из [0,1] с концами в двоично-рациональных точках. Введем на М метрику, как я писала раньше: d(X,Y)=1-inf{X+Y-XY} (в скобках - симм.разность).
G_n следующим образом изометрически вкладывается в М: для точки x \in G_n первая цифра x определяет, включается ли первый интервал длины 2^{-n}, т.е. [0,2^{-n}], в F(x), вторая цифра -- второй интервал, и т.п.
Тогда искомым пределом будет, видимо, замыкание объединения образов G_n в М. А этим замыканием будет, наверное, множество таких элементов Х пространства М, для которых для любого c<1 пересечение X с [0,c] состоит из интервалов, длины которых ограничены снизу положительной константой.

Это примерная конструкция, тщательно я ее не обдумывала, может там еще что-нибудь поменять надо.

Да, не написала, что замыкание -- это потому, что тут проективный предел этих образов F(G_n) получается, т.е. получается цепочка вложенных подмножеств М (заодно мы определили согласованные вложения G_n->G_m при n<m).

Вся вышеописанная (мной) конструкция не проходит по той причине, что получившееся пространство некомпактно. Более того, сама приведенная конструкция вложения не годится для получения компакта, поскольку в объединении образов имеется бесконечное количество точек, отстоящих друг от друга на попарные расстояния >1/2. Видимо, ошибка была в том, что искалось одно общее для всех графов и предела объемлющее пространство.

Но при всем при том я не понимаю, каким образом получается, что построенное (некомпактное) пространство все-таки является пределом G_n по метрике Громова-Хаусдорфа? (Расстояния-то от замыкания объединения до G_n стремятся к 0.) Получается, что есть предел среди компактных пространств, и есть другой предел среди некомпактных? А метрика Громова-Хаусдорфа, получается, должна определяться только на компактных пространствах, чтобы этого противоречия не возникло?

>Но при всем при том я не понимаю, каким
>образом получается, что построенное (некомпактное)
>пространство все-таки является пределом G_n по
>метрике Громова-Хаусдорфа?

Насколько я понимаю, громовский предел
компактных пространств всегда компактен.

>Видимо, ошибка была в том, что искалось одно общее для всех графов и
>предела объемлющее пространство.

Так оно и строится - есть такое пространство Урысона,
в которое изометрически вкладывается любое метрическое
пространство (разумной мощности), и громовский предел
нужно искать именно там. Насколько я понимаю.

>А метрика Громова-Хаусдорфа, получается,
>должна определяться только на компактных пространствах

На некомпактных ее нельзя определить (получится вырожденная).

Такие дела
Миша

Нет, я потом посмотрела Ваше письмо про теорему Громова: там написано про локально компактные пространства. Локально компактное пространство может и получиться.

> Насколько я понимаю, громовский предел
> компактных пространств всегда компактен

Так точно не получится, если верна теорема Громова в Вашей формулировке. Поскольку вот те границы деревьев G_n (высоты 2n и диаметра 2) -- они все компактны и т.д. А предельная точка этой последовательности таки некомпактна, поскольку содержит сколь угодно большие конечные множества точек, попарные расстояния между которыми больше 1-\epsilon, для любого \epsilon>0, что противоречит ее компактности.

Мне тут другое непонятно.
G_n обладает следующим свойством: для любого n в G_n существует 2^n точек, попарные расстояния между которыми не меньше 1. Отсюда получаем, что для фиксированного m для всех достаточно больших n имеем расстояние Г-Х между G_n и G_m больше 1/2. Насколько я понимаю, тогда у этой последовательности нет предельной точки, а это противоречит сформулированному Вами утверждению о том, что пространство всех (ограниченных и т.п.) пространств с метрикой Г-Х компактно.
Возможно, там в формулировке теоремы Громова все же полнота, а не компактность?

В общем, то, что я написала выше -- это, конечно, никакой не предел, т.е. поточечно вроде бы предел, но не по метрике Г-Х.

Я вообще не понимаю, оказывается: а какое расстояние в метрике Г-Х между деревьями высоты n и 2n (и диаметра 1, конечно)? Ну или между какими-то другими, пусть высоты n и m, но чтобы формула работала при некуоторых больших n, m?

> Я вообще не понимаю, оказывается: а
> какое расстояние в метрике Г-Х между
> деревьями высоты n и 2n (и диаметра 1,
> конечно)?

Их можно "почти изометрично"
нарисовать на плоскости Лобачевского,
для очень сильно искривленной плоскости
Лобачевского. Причем единичный круг
в плоскости Лобачевского будет довольно
хорошо приближать дерево, в том смысле,
что громовское расстояние между ними
будет довольно небольшое. Это связано
с тем, что треугольник на плоскости
Лобачевского отличается от треугольника на
дереве на число, которое оценивается сверху
через \delta = 1/кривизну - с точностью до
\delta, геодезический треугольник на плоскости
Лобачевского эквивалентен геодезическому
треугольнику на дереве.

То есть громовский предел деревьев есть
громовский предел единичных кругов в плоскости
Лобачевского, когда гауссова кривизна стремится
к -\infty. Что это за штука, мне весьма интересно.

Такие дела
Миша

Что-то я ничего не поняла здесь...
И что такое единичный круг на плоскости Лобачевского с очень большой кривизной -- тоже не поняла. Куда этот круг поместится-то?

Рассмотрим треугольник на плоскости Лобачевского.
Его площадь это его сумма углов. Если площадь
маленькая, стороны практически не отстоят
друг от друга (сторона идет вплотную
с одной стороной, а потом расходится
с ней, и идет вплотную с другой), и
треугольник напоминает нарисованный
на дереве.

Сумма углов равностороннего
треугольника со сторонами 1 это
инвариант плоскости Лобачевского,
который обратно пропорционален кривизне
ее (с минусом). Если мы устремляем кривизну
к бесконечности, этот треугольник
превращается в треугольник на дереве.

> Локально компактное пространство может
> и получиться.

Да, возможно. Хотя в природе обыкновенно
получаются компактные штуки.

>сформулированному Вами утверждению о
> том, что пространство всех
> (ограниченных и т.п.) пространств с
> метрикой Г-Х компактно.

Предкомпактно, строго говоря - то есть
каждое ограниченное замкнутое подмножество
компактно.

Насчет противоречия - надо подумать.

Такие дела
Миша

Предкомпактность тоже не получается: все эти G_n находятся в шаре радиуса 1 с центром в одноточечном пространстве. Берем замыкание, оно тоже будет в этом шаре, и... никакой предельной точки.