Теорема Гамильтона-КэлиОдно из стандартных доказательств теоремы Гамильтона-Кэли, переписанное чуть другими словами. Надеюсь, не напортачил.
Код LaTeX
\begin{theorem}[\scshape Теорема Гамильтона-Кэли]
\label{thm:Cayley-Hamilton}
Если \(x\) --- эндоморфизм свободного конечнопорождённого модуля \(V\) над ассоциативным коммутативным унитальным кольцом \(A\), то \(x\) является корнем своего характеристического многочлена.
\end{theorem}
\begin{proof}
Гомоморфизм \(A[X] \to \End_A(V)\), \(X \mapsto x\) индуцирует действие \(\End_A(V) \otimes_A A[X]\) на \(\End_A(V)\) через левое и правое умножение,
при этом \(\Id_V\) зануляется \(c \coloneqq x \otimes 1 - 1 \otimes X\), а потому зануляется и \(\det(c) \in A[X] \subset \End_A(V) \otimes_A A[X] \cong \End_{A[X]}(V \otimes_A A[X])\), кратным \(c\).
\end{proof}
Скриншот PDF (jpeg, примерно 0.4 MB):
https://files.catbox.moe/1zm5qe.jpegupd. 2024-02-19 13.33 MSK. Мелкие изменения.
Tags: math
![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small}
