С вашим доказательством --- незачем. Просто обычно в книгах (EGA, Вакил, в Хартсхорне, вроде-бы, тоже что-то такое) в этом месте сначала замечают, что стандартные базовые открытые множества в топологии Зарисского компактны, потому достаточно доказывать для конечных покрытий, а потом применяют аргумент типа ``разбиений единицы''. А у вас какое-то оригинальное доказательство, простое, а утверждение более сильное.

[Складывается впечатление, что если мы возьмём произвольное семейство (насыщенных) мультипликативных подмножеств кольца, замкнутое относительно конечных джойнов, то получим новую структуру окольцованного пространства.]

>[...]

В смысле, возьмём, и для каждого мультипликативного множества S объявим \Spec(A_S) как подмножество \Spec(A) открытым, после чего навесим на него кольцо A_S. Получается, что получается более тонкая топология, чем топология Зарисского, и пучок, продолжающий структурный пучок. Не может же такого быть. В каком-то месте в рассуждениях ошибка.

Так, стоп. В определении пучка ведь не прямые суммы, а произведения! Даааа... Неужели в этом дело.

Вот при этом и конечность.

А у вас прямые суммы написаны в определении пучка.
И доказательство получается неполным.