The General Adjoint Functor Theoremupd. 2025-07-05 11.23 UTC. Почитал и понял, что рассуждение стандартное, поэтому скрыл.
Скрытый текст
Сначала определение.
Определение 1. Пусть C --- категория, а X --- её объект. Тогда X называется слабо начальным, если для любого другого объекта Y существует морфизм из X в Y.
Короче, основное наблюдение:
Наблюдение 1. Пусть C --- категория, а X --- слабо начальный объект в C. Тогда предел диаграммы, составленной из всех морфизмов в C с областью X является пределом тождественного функтора категории C, то есть начальным объектом C.
Это как бы два утверждения, но оба вроде бы доказываются прямо и довольно тавтологически. Если ничего не напутал.
Зачем это нужно. Есть общая теорема о сопряжённом функторе. Она доказывается с помощью такого утверждения, кажется.
Утверждение 1. Пусть у нас есть категория C с множеством объектов S, таким что в любой объект C есть стрелка из какого-то элемента S. Пусть, помимо этого, в C есть малые пределы. Тогда в C есть начальный объект.
Доказательство. Во-первых, пусть X --- произведение элементов S. Тогда X --- слабо начальный объект в C. Пусть O --- уравнитель всех эндоморфизмов X. Докажем, что O является пределом диаграммы, составленной из всех морфизмов в C с областью X, тогда ссылка на наблюдение 1 завершит доказательство утверждения 1.
Пусть дано два морфизма a, b : X \to Y с областью X. Докажем, что их можно уравнять с помощью эндоморфизма X. Для этого рассмотрим уравнитель c : Z \to X этих двух морфизмов и скомпонуем произвольный морфизм из X в Z с морфизмом c. Полученный эндоморфизм X будет уравнивать a и b.
Отсюда выводится, что O является пределом диаграммы, составленной из всех морфизмов в C с областью X, что и требовалось доказать.
Кажется, наблюдение 1 --- это самая нетривиальная часть общей теоремы о сопряжённом функторе. Этот кусок, по наблюдениям, обычно более заумно доказывают. А может и не так.
Ещё раз надеюсь, что не ошибся.
P. S. В последнее время испытываю устойчивое желание съебать с ljr, так как тут, по ощущениям, тупо никого нет, да и как-то стрёмно. Но нет никаких идей куда.
Tags: math
![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small}
