Раздутия в выпуклой геометрии
Математики учитель Петр Евгеньевич П. задал такую задачку: пусть Conv это множество замкнутых выпуклых тел в R^2, снабженное метрикой Хаусдорфа. Построить такую функцию s : Conv \to R^2, что s(C) \in C для любого C \in Conv.

Очевидное решение -- взять центр тяжести. С ним однако есть проблемы. Во-первых, центр тяжести не единственный (для аффинных прямых и всего R^2). Можно про них пока забыть, благо что они все равно лежат на бесконечном удалении от любой компактной выпуклой фигуры. Хуже, что функция центра тяжести не непрерывна: давайте возьмем треугольник ABC с переменной вершиной C, и будем двигать C по направлению к отрезку AB. Пределом центра тяжести этого треугольника может оказаться любая точка отрезка AB, а предел треугольников в Conv будет всегда один и тот же -- сам отрезок AB.

Давайте отвлечемся немного от задачи Петра Евгеньевича П., и вспомним другую задачу, почти такую же, которая у меня ассоциируется с Фомой Аквинским, но не уверен что правильно: где находится центр у окружности бесконечного радиуса? Если эта окружность -- это прямая на конечном удалении, то ее центром логично считать бесконечно удаленную точку перпендикулярного пучка прямых. А если это бесконечно удаленная прямая? Ее центр может быть любым: бесконечно увеличивая радиус окружности с любым центром, будет получаться одна и та же бесконечно удаленная прямая.

Алгебраико-геометрически парадокс Фомы Аквинского можно сформулировать так. Окружность есть кривая степени два в CP^2, проходящая через точки (1 : \sqrt{-1} : 0) и (1 : -\sqrt{-1} : 0). Эти два условия высекают в P^5, параметризующем коники, подпространство CP^3. Сопоставление окружности ее центра -- это мероморфное отображение CP^3 \to CP^2, определенное всюду, кроме одной точки -- удвоенной бесконечно удаленной прямой. Чтобы оно стало регулярным, нужно ее раздуть, то есть подменить определение окружности: окружность это не просто кривая, а пара 'кривая плюс ее центр'. Отображение из CP^3, раздутого в точке, в CP^2 это стандартная проекция.

Возвращаясь по такому направлению к задаче профессора П., имеем спросить: а почему бы нам и тут не раздуть локус отрезков? Вне него, легко показать, взятие центра тяжести непрерывно. Видимо, нам нужно сделать подмену: вместо пространства выпуклых фигур рассматривать пространство выпуклых фигур с мерой, лебеговой, если эта фигура плоская, а если отрезок -- предел лебеговых мер на плоских фигурах, схлопывающихся в него. На таком 'выпуклом раздутии' функция центра тяжести была бы непрерывна.

Но топологическое пространство, даже метрическое, нельзя раздуть. Чтобы говорить о раздутии, нужна гладкая структура -- иначе неясно, как поднимать в раздутие дифференцируемые кривые (это делается по правилу Лопиталя). И выше, описывая это раздутие, я неявно описываю и C^1-структуру вдоль локуса отрезков: касательные вектора должны быть мерами на отрезке с определенными свойствами. А почему только вдоль него? Логично предположить, что касательные вектора к выпуклым фигурам это (означенные) меры на их границе с определенными свойствами. В сущности, я делаю следующее: я отображаю Conv в пространство мер на R^2, -- которое векторное! -- отправляя фигуру в ее индикаторную меру. Это отображение стягивает локус отрезков в нуль, однако раздувая нуль (скажем проецируя -- нормируя меры так, чтобы они стали вероятностными), я получаю все стянутое обратно.

Но является ли отображение из Conv с метрикой Хаусдорфа в Meas(R^2) непрерывным? Наследуем ли мы тах хоть какую-то гладкую структуру? Это все должно быть известно, но я нигде ничего не нахожу.