tiphareth: лекция 5 по группам Галуа

monroth
2013-02-16 15:24 (ссылка)

композиция Галуа нифига не Галуа
присоедините к Q корень квадратный из 2, потом присоедините корень квадратный из положительного квадратного корня из 2
Все галуа, потому что все второй степени
будет чисто вещественное поле, так что корня квадратного из отрицательного квадратного корня из 2 там наблюдаться не будет
а должен бы, если оно галуа - так как это все корни неприводимого по Эйзенштейну многочлена X^4-2=0

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2013-02-16 15:44 (ссылка)
	композит расширений Галуа не расширение Галуа а вот если K:k:k' цепочка расширений Галуа, то K:k' тоже расширение Галуа, что вполне ясно (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	monroth 2013-02-16 15:48 (ссылка)
	я сказал композиция, а не композит то есть цепочка контрпример указан (Ответить) (Уровень выше)

monroth
2013-02-16 15:54 (ссылка)

ну то есть если мы возьмем два неприводимых многочлена, и присоединим с начала все корни одного, потом все корни другого, то это будет Галуа
проблема в том, что второй неприводимый может стать приводимым после первого расширения
и ниоткуда не следует, что если мы присоединим все корни одного сомножителя (что тоже галуа над средним полем), то присоединятся остальные корни
в конструкции на следующей странице это не проявляется (то есть она все равно правильная), потому что вы потом все равно присоединяете и корни одного, и корни другого

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2013-02-16 15:55 (ссылка)
	мне на корни начхать я беру тензорное произведение алгебр (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	monroth 2013-02-16 16:01 (ссылка)
	ну меня менее продвинуто учили, так что у меня в голове корни сидят наверное, зря (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2013-02-16 16:03 (ссылка)
	может и не зря потому что на вопрос где вранье я до сих пор ответить не знаю как (Ответить) (Уровень выше)

	tiphareth 2013-02-16 16:11 (ссылка)
	разобрался, кстати - спасибо! (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	monroth 2013-02-16 16:18 (ссылка)
	а где, кстати, если в двух словах? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2013-02-16 16:29 (ссылка)

Проще вместо тензорных произведений смотреть на расслоенные
произведения накрытий.

Умножили первое на себя над третьим, это то же самое, что умножили
над вторым, которые умножили над третьим - ок.

Но когда мы говорим "умножили над вторым", подразумевается, что
из первого во второе есть какое-то отображение.
Проблема в том, что когда мы перемножили второе на себя над третьим,
получили несколько копий второго, но из третьего в каждую из
копий разные отображения, соответственно - произведения могут
быъ устроены по-другому.

правильный вариант задачи был бы такой:

Пусть $K_1 \supset K_2 \supset K_3$ - последовательность
расширений полей, причем $[K_1: K_2]$ и $[K_2: K_3]$ -
расширения Галуа. Предположим, что для любого подполя
$K_1 \supset K_2' \supset K_3$, изоморфного K_2, подкольцо
$K_1 \otimes_{K_3} K_1$, состоящее из $K_2$-линейных тензоров
(здесь $K_2$ действует обычно на первом сомножителе, и как
$K'_2$ -- на втором), изоморфно сумме нескольких копий $K_1$.
Докажите, что $[K_1: K_3]$ -- расширение Галуа.

Но неуклюже выходит, я просто попросил придумать контрпример.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	(Анонимно) 2013-02-16 16:50 (ссылка)
	Может быть можно формализовать понятие сложности алгебры. в первом приближении числом байт доказательства здесь 464б и 416б после сжатия (Ответить) (Уровень выше)

	tiphareth 2013-02-16 15:57 (ссылка)
	и там доказательство занимает примерно одну строчку осталось понять, где наврано (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2013-02-16 20:05 (ссылка)
	В смысле, нормальная погруппа в нормальной подгруппе нормальна? -- не с чего вроде бы. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2013-02-16 20:18 (ссылка)
	угу, и оно было у нас в листочках старых! С ошибкою. (Ответить) (Уровень выше)

	tiphareth 2013-02-16 15:52 (ссылка)
	занятно спасибо, хороший вопрос (Ответить) (Уровень выше)

	monroth 2013-02-16 16:07 (ссылка)
	ну и в задаче 5.8 наверное все-таки корень из -1 или не квадратный (Ответить) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2013-02-16 16:12 (ссылка)
	угу, -1 спасибо (Ответить) (Уровень выше)

	(Анонимно) 2013-02-16 20:46 (ссылка)
	Эх, жалко оно не в НМУ всё это. (Ответить) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2013-02-16 20:49 (ссылка)
	в принципе, студенты НМУ вполне могут ходить и даже сдавать задачи записаться вольнослушателем или как (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	(Анонимно) 2013-02-16 21:07 (ссылка)
	А в какие дни и во сколько? Расписание на сайте вышки - ужас, ничего не понятно и глаза режет. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2013-02-16 22:18 (ссылка)
	в пятницу, в 12 (Ответить) (Уровень выше)

	(Анонимно) 2013-02-17 14:10 (ссылка)
	> Расписание на сайте вышки - ужас, ничего не понятно и глаза режет. В смысле? По-моему, вполне нормальное расписание. (Ответить) (Уровень выше)

bananeen
2013-03-12 20:26 (ссылка)

Миша, в конец запутался.
Задача 5.18 велит доказать, что поле разложения _любого_многочлена - расширение Галуа. Об этом же говорит Замечание 5.1

Но в лекции 5 на странице 10 этот факт доказывается в предположении, что у многочлена _нет кратных корней_. В задаче 5.22 факт отсутствия кратных корней тоже используется.

В учебниках по рабоче-крестьянской теории Галуа сепарабельность многочлена тоже требуется.

В чём правда всё таки?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2013-03-12 20:43 (ссылка)
	Правда в том, что всюду, где не оговорено противного, предполагается характеристика 0 (и это прямым текстом сказано в листочках) 5.18 поправил, спасибо (Ответить) (Уровень выше)

	tiphareth 2013-03-12 20:46 (ссылка)
	>Об этом же говорит Замечание 5.1 В характеристике 0. Это верно в характеристике 0, есличо (Ответить) (Уровень выше)

tiphareth
2013-03-12 20:53 (ссылка)

Но вообще, поле разложения неприводимого многочлена -
поле Галуа тогда и только тогда, когда у него нет кратных корней.
Если характеристика 0, из неприводимости сразу следует, что
кратных корней нет, а если не 0, то не следует.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	bananeen 2013-03-12 20:55 (ссылка)
	Дык ни в 5.16, ни в 5.18, ни в замечании 5.1 неприводимость не оговорена, бог с ней с характеристикой (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	bananeen 2013-03-12 21:03 (ссылка)
	Хотя наверно это самоочевидное требование, прошу прощения (Ответить) (Уровень выше)

	tiphareth 2013-03-12 21:25 (ссылка)
	а нам нужна неприводимость-то? вроде определение поля разложения полинома имеет смысл и без нее можно конечно и потребовать, но не то чтоб это было существенно (Ответить) (Уровень выше)

	tiphareth 2013-03-12 21:27 (ссылка)
	>ни в 5.16, ни в 5.18, ни в замечании 5.1 неприводимость не оговорена ни там, ни там, ни там неприводимость не нужна вроде специально посмотрел (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

bananeen
2013-03-12 22:13 (ссылка)

Кажется я всех запутал; 5.16, зам. 5.1 действительно всё хорошо.

А вот 5.18 в нынешнем варианте - "все корни разные"
Если есть корень из k, то k[t]/P не будет полем, и получается абсурд (например, P=(X^2-1) Поле разложения - Q, а Q[t]/P = Q+Q).

Может всё таки в 5.18 нужно оставить просто неприводимость, раз характеристика 0?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2013-03-12 23:00 (ссылка)
	а там никто и говорит про k[t]/P поле разложения - то, что получено добавлением всех корней многочлена см. задачу 5.16, там как раз это и указано (Ответить) (Уровень выше)