Ты что, надел кольцо на пенис и снять не можешь?

первый кумент и сразу по делу

оставлю тут говна для хуйлашки

А примеры? -- чтобы понимать, в какую сторону?

доказано!

что ел, или что не ел?

додег ел. даже аккаунт создал по своей сути.

дальше истеричнай говноплюй из Киева решыл расширить ареал своего пазора и стал рыгать кокашкаме во всех подряд

Да это бред, написал же в начале.

Шафаревич в "Основных понятиях алгебры" вроде бы писал, что должна быть общая теория, связывающая специфические неассоциативные алгебры (типа Ли, Йордановых) и ассоциативные (конец параграфа 19 про алгебры Ли). Ощущение очевидное даже на уровне определений и самых базовых свойств, но вроде бы ни черта нет.
Тензорные/внешние/симметрические степени для своего определения не требуют никакой структуры на множестве индексов (тензорное произведение семейства абелевых групп, индексированных множеством), соотв. алгебры конечно же требуют. Вообще, странность самого понятия левого/правого (действия, скажем).
Соотв. "инволюции", которые часто встречаются, тоже вызывают какие-то странные чувства.
Дальше, есть ведь ещё и коалгебры.

((Не)кстати: условие биалгебры имхо естественно записывается и без $\tau : B \otimes B \to B \otimes B$, $a \otimes b \to b \otimes a$, если рисовать произведение 4 штук биалгебры $B$ не в ряд, а квадратиком, но это тау ведь ещё делают другим, добавляя в игру косы, причём тогда используется задание кос образующими и соотношениями, которое выкладывает точки в линию и отличает крайние нитки от средних, что странно и совсем не инвариантно в любом случае.)

Кольца участвуют в геометрии. В алгебраической геометрии это тавтологически естественно, в дифференциальной --- не уверен.

Само понятие кольца вообще не изменилось с хер знает каких времен, с появления алгебры.
Понятие ((пре)аддитивной) категории близко к понятию кольца.

Поэтому когда-то давно, в угаре, подумал, что в далёком-далёком будущем... В общем-то, какой-то кусок мозаики упускается из виду.


Ещё одна странная вещь --- связь образующих&соотношений и универсальных свойств. Вроде бы это одно и то же, а вроде бы совсем нет.

Ну подумаешь, бред; все начинается как бред.

Я себя успокаиваю тем, что кольцо это категория с одним обьектом, т.е. кольца это частный случай аддитивных категорий; коммутативные кольца это частный случай тензорных аддитивных категорий; и то, и другое точно существует в природе, а все остальное типа игра ума. Но тут каждому свое.

Ещё одна странная вещь --- связь образующих&соотношений и универсальных свойств.
Это пережиток прошлого, не вполне впрочем преодоленный в некоторых местах.
Часто (как, например, в старинном определении тензорного произведения) это уже анахронизм.

Не понял.
Что за старинное определение тензорного произведения?

Вот, например, старинное (ужасное) определение тензорного произведения двух абелевых групп A и B:
Декартово произведение множеств AxB --- это порождающие, при этом (a+a',b)=(a,b)+(a',b) и (a,b+b')=(a,b)+(a,b') --- соотношения, где a и a' пробегают A, а b и b' пробегают B.

Ок, а что ужасного?

Плохо отражает суть универсального объекта.
Вот более разумное: Тензорное произведение --- это такое билинейное отображение AxB->C, что любое (другое) билинейное отображение AxB->D получается при помощи композиции с единственным гомоморфизмом C->D.
(Существование --- отдельный вопрос, который легко решается сразу для многих универсальных объектов.)

>Плохо отражает суть универсального объекта.

Имхо, это как раз тот случай, когда универсальное свойство и задание мгновенно восстанавливаются друг по другу. Интересны случаи, когда это не так (в ту или иную сторону). Я бы даже сказал, что свойство тут более коряво выглядит, так как мы не находимся внутри какой-то фиксированной категории.

>Существование --- отдельный вопрос, который легко решается сразу для многих универсальных объектов.

Как? Тут есть что-то чётко сформулированное?

мы не находимся внутри какой-то фиксированной категории
Очевидно мы находимся в категории абелевых групп.

восстанавливаются
То есть эквивалентны. Было бы странно, если бы не были.

задание
[порождающими и определяющими соотношениями] как раз
более коряво выглядит
Попробуйте, например, представить доказательство того, что в результате получается бифунктор (единственный с точностью до естественного изоморфизма).
Со старинным определением это займет намного больше места, причем будеть выглядеть крайне нудно.

Тут есть что-то чётко сформулированное?
Да. Это следствие существования пределов.

>Очевидно мы находимся в категории абелевых групп.

$A \times B$ --- это тоже абелева группа?

>доказательство того, что в результате получается бифунктор

Определяем на образующих: $(f \otimes g) (a \otimes b) = f(a) \otimes g(b)$.
Проверяем соотношения: $f(a+a') \otimes g(b) = (f(a)+f(a')) \otimes g(b) = f(a) \otimes g(b) + f(a') \otimes g(b)$.

>Да. Это следствие существования пределов.

Где можно про это прочитать?

В вашем "доказательстве" вы не проверили корректность определения, т.е., не определили функтор, не проверили, что это функтор, etc.
При разумном определении и с минимальным категорным опытом, утверждение очевидно.

Где можно про это прочитать?
Saunders Mac Lane, Categories for the working mathematician, GTM 5
С.И. Гельфанд, Ю.И. Манин, Методы гомологической алгебры. Введение в когомологии и производные категории, Наука 1988
Нажмите на GET, чтобы осуществить download.

>В вашем "доказательстве" вы не проверили корректность определения, т.е., не определили функтор, не проверили, что это функтор, etc.

$f : A \to C$, $g : B \to D$ и $f \otimes g : A \otimes B \to C \otimes D$ --- гомоморфизмы абелевых групп, $a,a' \in A$, $b,b' \in B$. Чтобы определить гомоморфизм из чего-то там, заданного образующими и соотношениями, достаточно определить его на образующих и проверить соотношения. Это было сделано (правая дистрибутивность, очевидно, проверяется так же, как левая). Проверку того, что это функтор (композиция переходит в композицию, единицы --- в единицы), достаточно провести на образующих $a \otimes b$, где она тривиальна.
Я чего-то не понимаю?

Саша имеет в виду, что в этом простом случае проверить, что это функтор, руками еще можно (хотя это страница текста с индексами), но в принципе, более дешевый и чистый способ это использовать лемму Йонеды: доказать, что построенное произведение представляет функтор Hom(A x B,-) (где имеется в виду множество отображений множеств, аддитивных отдельно по каждому аргументу). После этого то, что, скажем, отображение A \to A' индуцирует отображение функторов Hom(A' x B,-) \to Hom(A x B,-), полностью очевидно, а по лемме Йонеды, ему отвечает отображение представляющих обьектов. Причем единственное, т.е. совместимость с композициями тоже очевидна.

Какое-то количество общих теорем о существовании свободных обьектов -- т.е. лево-сопрояженного функтора к функтору забывания -- в природе есть, но на практике, они не всегда полезны. В частности, вот именно тензорное произведение таким образом не построить. Его в любом случае надо строить руками. Но если его построить руками не просто, а как универсальный обьект (т.е. представляющий нечто), то функториальность получается уже забесплатно. Т.е. это становится чистой теоремой существования, и ответ можно искать любыми сколь угодно неканоническими способами -- его единственность и функториальность получается из леммы Йонеды.

>хотя это страница текста с индексами
>После этого то, что, скажем, отображение A \to A' индуцирует отображение функторов Hom(A' x B,-) \to Hom(A x B,-), полностью очевидно

Слушайте, вы уже начинаете действовать на нервы.
Для $f : A \to A'$ действительно очевидно, что $f(a_1 + a_2) \otimes b = f(a_1) \otimes b + f(a_2) \otimes b$. Это и есть всё доказательство (в терминах образующих и соотношений), остальные слова лишние.

Кто боролся за каноничность, я что ли?

Можно и руками, дело вкуса. Но тогда еще всякие стандартные свойства (изоморфизм ассоциативности с соотношением пятиугольника, дистирубитвность по отношению к прямой сумме векотрных пространств, унитальность). Это все тоже можно руками, и даже не очень сложно, но зачем?

Это и есть всё доказательство (в терминах образующих и соотношений), остальные слова лишние.
Вообще-то, не всё. Вы подразумеваете известными некоторые стандартные рассуждения в подобных ситуациях.
В той же (или даже большей) мере слова "по лемме Йонеды" являются полным доказательством этого и еще тонны подобных фактов.

Можно также заметить, что если удается рассуждать, не используя элементы, то, как правило, доказательство получается более чистым и, что важнее, более концептуальным.

Все эти разговоры (в данном случае, о совсем тривиальном факте) к тому, что категорная точка зрения может оказаться весьма полезной.
Но к ней надо привыкнуть.
После этого вам вероятно будет трудно согласиться с вашей нынешней точкой зрения.

Я просто хотел сказать, что ваш наезд на то определение тензорного произведения и вообще, задания образующими и соотношениями, необоснованный.

>Вы подразумеваете известными некоторые стандартные рассуждения в подобных ситуациях.

Пусть у нас есть задание A = Free(X) / (соотношения a=b), где Free(X) --- свободный объект с множеством образующих X. Чтобы задать гомоморфизм f : A --> B в какое-то B, мы сначала определяем его на элементах X и получаем гомоморфизм Free(X) --> B, а затем проверяем, что f(a)=f(b), т.е. соотношения лежат в ядре. Это универсальное свойство свободного объекта и факторизации.

"отображение A \to A' индуцирует отображение функторов Hom(A' x B,-) \to Hom(A x B,-)" --- это проверка, эквивалентная этой.

С полезностью категорий трудно не согласиться.

Я просто хотел сказать, что ваш наезд ... необоснованный.
Это было понятно с самого начала. Мопед Наезд не мой.

универсальное свойство свободного объекта и факторизации
Первое свойство --- это определение левого сопряженного к забывающему функтору, в частном случае. Второе --- это определение копредела, тоже в частном случае.
(Вообще-то, я не в коей мере не просил вас предъявить эти доказательства. Предлагал лишь представить их себе со всеми деталями.)

По поводу существования, как указал Дима, я был не совсем прав: несколько функторов сопряженных к забывающим придется таки построить руками (например, пополнение метрического пространства). В обсуждаемом случае это свободная абелева группа.
Однако после этого большая часть утверждений о существовании универсальных объектов следует из простых фактов: теоремы 1-2 на стр. 133 книжки Маклейна (существование пределов, если есть произведения и уравнители (equilizers)) и теорема 1 на стр. 118 ((левый) правый сопряженный сохраняет (ко)пределы).

проверка, эквивалентная этой
Лишь в той степени, в которой два верных утверждения эквивалентны.

Вас удивляла
Ещё одна странная вещь --- связь образующих&соотношений и универсальных свойств.
Эта связь чем-то похожа на доказательство при помощи матриц того, что определитель композиции линейных преобразований --- произведение определителей.
Связь с порождающими и соотношениями конечно существует, но в гораздо меньшей степени, чем вы думаете (ближе к тому, что все в мире взаимосвязано).

>Лишь в той степени, в которой два верных утверждения эквивалентны.

Это:

>$f(a+a') \otimes g(b) = (f(a)+f(a')) \otimes g(b) = f(a) \otimes g(b) + f(a') \otimes g(b)$

можно воспринимать как проверку того, что сквозное отображение $A \times B \to A' \times B' \to A' \otimes B'$ билинейно. Вам она в любом случае понадобится.

Ладно, всё, каждый пусть делает как хочет. Но вы выбрали наихудший объект для демонстрации "архаичности" образующих и соотношений.

>Но вы выбрали наихудший объект

Пожалуй.

Чисто технически, с ассоциативностью действительно проще по лемме Йонеды -- потому что для множеств она очевидна, там произведение декартово, а дальше билинейность отображения это не структура, а свойство, и тот же морфизм ассоциативности дает и ассоциативность тензорного произведения. Функториальность же, пожалуй, действительно очевидна и так, и так.

да наверно
ну я хуй знает

иди на хуй

вот она точно сейчас доучится и будет рожать, я бы на ее месте так и сделал.