ljr_math: Расширение скаляров и гомологии

Расширение скаляров и гомологии
Если имеется гомоморфизм колец R \to S, то как известно, по нему строится функтор расширения скаляров ModR \to ModS. Eсли применить этот функтор к цепному комплексу свободных R-модулей, получится цепной комплекс свободных S-модулей. Если R - кольцо главных идеалов, то гомологии этих комплексов связывает теорема об универсальных коэффициентах.

Так вот вопрос - а что можно сказать, если R - не PID (например групповое кольцо от Z^n)? А будет ли легче, если интересны только старшие гомологии? А если S - поле, это никак не облегчит задачу?

(Добавить комментарий)

kaledin
2019-12-09 03:18 (ссылка)

Там будет спектральная последовательность вместо точной. На старших при этом будет как раньше (а дальше будут члены с высшими функторами Tor). Если S поле то может и легче, но не сильно -- нетривиальность контролируется Tor^R(-,S), т.е. проблем не в том, что S плохое само по себе, а в том, что оно не плоское нас R.

Большего в такой общности сказать по-видимому нельзя.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

p_k
2019-12-09 09:19 (ссылка)

Ага, понятно.

Более конкретно ситуация такая: R - это кольцо полиномов Лорана от n переменных, S - это поле комплексных чисел, а рассматриваемый гомоморфизм - это вычисление полинома на наборе значений переменных; в этом смысле он параметризован точкой на n-мерном комплексном торе.

Если ранг комплекса это d, то как я понимаю, после расширения скаляров, в старшие гомологии будут проникать члены из Tor_1^R от границ ранга d-1 и C как R-модуля. Меня интересует, как поведение этих лишних циклов как функции от параметра гомоморфизма колец. Мне кажется, что я умею доказывать, что лишние границы могут появляться только при значениях параметра образующих нигде не плотное (в стандартной топологии) множество на торе. Делается это из соображений скорее аналитических, и вот хотелось бы понять, что тут можно сделать чисто алгебраическими методами.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2019-12-10 03:08 (ссылка)

>Мне кажется, что я умею доказывать, что лишние границы могут появляться только при значениях параметра образующих нигде не плотное (в стандартной топологии) множество на торе.

Я прошу прощения, я запутался в индексах (перепутал старшие гомологии и старшие когомологии).

В старшие гомологии в принципе будут проникать все Tor'ы, от 1 до n-го (ну, если d не меньше n). Но действительно, если гомологии конечно порождены как модуль, то все эти высшие Tor'ы вообще бывают только в замкнутых по Зарисскому подмножествах в пространстве параметров (т.е. заданных алгебраическими уравнениями). Они все положительной коразмерности, т.е. действительно меры 0.

Точнее, так: если брать Tor от границ, то да, только первый. Но обычно и сам комплекс, в частности границы, огромный, а конечно порождены только его модули гомологий. Спектральная последовательность позволяет свести вопрос к модулям гомологий, но Tor'ы тогда надо брать уже все. Далее как выше.

(Ответить) (Уровень выше)