ne tvoi rodstvennik http://arxiv.org/find/cs/1/au:+Verbitsky_O/0/1/0/all/0/1?

Не родственник, нет. Но известный, конечно.
Есть еще профессора Игорь Вербицкий и Евгений
Вербицкий (математики). Мне они не родственники тоже.

Такие дела
Миша

"i dage ne odnofamiletz"
Volni gasyat veter
:)

ещё Вербицкая дикторша есть :)

и ректорша

есть еше биофизик в Израиле
Вербицкие - наше все!

kak ras osvaivu seichas ego stati s Spencer
Diko interesno

Миша, надо делать больше листочков. Серьезно займитесь матем. образованием в интернете. А вы тратите драгоценное время и распыляетесь на политику...

Определение 7.1. В матрице все e надо заменить на \gamma.

Задача 7.2. c^m_n заменить на c^i_k. Отметить, что базис в V один и тот же при записи этих гомоморфизмов.

Задача 7.3. Получается какая-то путаница. Изоморфизм будет, если произведение (композицию) гомоморфизмов писать не в стандартном порядке (как обычно записывается композиция морфизмов), а в обратном. Дальше эта путаница продолжается: в задаче 7.4 произведение матриц при изменении базиса записано в обратном порядке (так, как надо было бы писать композицию морфизмов). Кроме того, получается, что для применения гомоморфизма к вектору надо умножать вектор (в виде строки) на матрицу слева, вроде обычно вектор справа от матрицы пишут (в виде столбца), или я что-то путаю? У меня всегда было туго с такими вещами :-)

Задача 7.7. Для ее решения не надо знать транспонирования?

Определение 7.4. Надо "A^*(\gamma)(v)" (* пропущена).

Задача 7.9. Наверное, надо написать как-то так: "Докажите, что векторное пр-во ... двойственно к векторному пр-ву ...". И ведь, наверное, суть не в том, что существует изоморфизм (он для всех пр-в одинаковой размерности есть), а что эта двойственность естественная. В общем, как-то бы это все по-другому сформулировать, сейчас трудно понять, о чем речь. И задачу эту дополнить бы каким-то примером более конкретным (например, для k=2) о том, как эта двойственность работает в конкретном базисе.

Определение 7.6 и дальше. Мне кажется, во избежание путаницы лучше говорить "ортогональный относительно g" (и просто ортогональный, когда g каноническая).

Задача 7.15. Я не помню, разве у них было понятие симплектической формы? Я вроде бы не видела, или это позже при переделках появилось?
Может, сюда еще добавить симплектическую двойственность?

Задача 7.16. Надо после "Рассмотрим матрицу" добавить "A'=".
A' записана с четырьмя ошибками :-)

Задача 7.18. Что такое "стандартная билинейная симм. форма"? Разве такой термин раньше определялся? В любом случае, здесь надо снова объяснить, что это такое.

Задача 7.19. Нда. Что такое диэдральная группа, я благополучно забыла. Интересно, помнят ли дети? :-)

Определение 7.7. Надо сказать, что точки означают нули.

Задача 7.20. Здесь строчки со столбцами не перепутаны?

Задача 7.24. Почему вначале любую к _верхнетреугольному_ виду, а потом _нижнетреугольную_ к диагональному?

Задача 7.25. Здесь надо, наверное, расширить класс элементарных преобразований?

Продолжение следует :-)

А вот то, что вы планировали, но не написали, или написали, но под воздействием коллег выкинули (Стоун-Чех и пр.) в книжку будет включено?

Спасибо! Я внес исправления.

> Получается какая-то путаница.
> Изоморфизм будет, если произведение
> (композицию) гомоморфизмов писать не в
> стандартном порядке (как обычно
> записывается композиция морфизмов), а в
> обратном. Дальше эта путаница
> продолжается. Кроме
> того, получается, что для применения
> гомоморфизма к вектору надо умножать
> вектор (в виде строки) на матрицу слева,
> вроде обычно вектор справа от матрицы
> пишут (в виде столбца), или я что-то
> путаю? У меня всегда было туго с такими
> вещами

Увы, я никогда не мог запомнить,
с какой стороны где и что умножать. Это
органический дефект ума (я права от лева
тоже не умею отличать).

Кстати, нет никакого "стандартного" правила
для записи композиции - одни пишут слева, другие
справа. Я пишу и так и так, надеясь, что из
контекста будет понятно о чем речь. Если я
начну править это дело, боюсь, оно запутается
еще хуже.

> Задача 7.7. Для ее решения не надо знать
> транспонирования?

Ну это что значит - что соотв. оператор сначала
все проектирует в один вектор, потом этот вектор
переводит в другой (или тот же) вектор. Довольно
понятно, что тогда у матрицы пропорциональны
строки и столбцы.

> Задача 7.9. Наверное, надо написать как-то
> так: "Докажите, что векторное пр-во ...
> двойственно к векторному пр-ву ...". И
> ведь, наверное, суть не в том, что
> существует изоморфизм (он для всех пр-в
> одинаковой размерности есть), а что эта
> двойственность естественная.

Переписал.

\begin{zadacha}\label{lambda.dual}
Пусть $V$ -- конечномерное
векторное пространство, $V^*$ двойственное пространство.
Постройте естественный изоморфизм между
$\Lambda^k(V)^*$ и $\Lambda^k(V^*)$.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
``Естественный'' значит: не требующий дополнительного
выбора (выбора базиса, например). В подобной
ситуации, естественный изоморфизм $\Lambda^k(V)^*\cong\Lambda^k(V^*)$
перестановочен с стандартным действием $GL(V)$ на
$\Lambda^k(V)^*$, $\Lambda^k(V^*)$. Пространства
$V$ и $V^*$ изоморфны, но можно доказать,
что не существует $GL(V)$-инвариантного изоморфизма
$V \cong V^*$. Иначе говоря, построить естественный
изоморфизм $V \cong V^*$ {\it нельзя}.
\end{zamechanie}

> Задача 7.15. Я не помню, разве у них было
> понятие симплектической формы? Я вроде
> бы не видела, или это позже при
> переделках появилось? Может, сюда еще
> добавить симплектическую
> двойственность?

Были "невырожденные билинейные кососимметрические
формы" (в листке Алгебра 3 и довольно подробно),
а слова такого не было. Недосмотр! Спасибо.
Хотя лучше было бы их там так конечно обозвать.

> Задача 7.19. Нда. Что такое диэдральная
> группа, я благополучно забыла.
> Интересно, помнят ли дети? :-)

Они долго над этим в первом листке мучались.
Это скрученное произведение абелевой группы и
Z/2Z, причем Z/2Z действует на абелевой группе
автоморфизмом x\arrow -x.

> А вот то, что вы планировали, но не
> написали, или написали, но под
> воздействием коллег выкинули (Стоун-Чех
> и пр.) в книжку будет включено?

Надо бы. Попробую не забыть.

Из важного, выпущено следующее:
1. Компактификация Стоуна-Чеха. Одноточечная компактификация.
2. Теорема Стоуна о представимости булевых алгебр.
3. Применение максимальных идеалов к вполне несвязным
хаусдорфовым пространствам (таким образом можно доказать, что
пересечение всех открытосвязно замкнутых подмножеств,
содержащих точку, это она сама и есть).

Такие дела
Миша

> Увы, я никогда не мог запомнить,
> с какой стороны где и что умножать. Это
> органический дефект ума (я права от лева
> тоже не умею отличать).

Право от лева я отличаю, а вот столбцы-строки -- это проблема :-) В смысле, не отличить одно от другого, а понять, что там на что умножается, где первый индекс, где второй... Поэтому здорово, когда можно писать без индексов.

> Если я начну править это дело, боюсь, оно
> запутается еще хуже.

Значит, надо, чтобы это написал кто-то, у кого такие вещи хорошо получаются (у вас же соавтор Каледин есть, насколько я поняла?). Если некому, то я могу попробовать. Так, как сейчас, нельзя -- когда матрицы постоянно умножаются в неправильном порядке. Иначе у детей будет еще больше проблем с этими вещами, чем у нас :-)

> > Задача 7.7. Для ее решения не надо знать
> > транспонирования?
>
> Ну это что значит - что соотв. оператор сначала
> все проектирует в один вектор, потом этот вектор
> переводит в другой (или тот же) вектор. Довольно
> понятно, что тогда у матрицы пропорциональны
> строки и столбцы.

Мне отсюда понятно, что будут пропорциональны столбцы. А для строк как раз надо транспонировать (воспользоваться тем, что транспонированная эквивалентна E(j,i)).

> ``Естественный'' значит: не требующий дополнительного

Вот сейчас стало очень хорошо!
И вообще здорово, что появилось описание "естественности".

> Из важного, выпущено следующее:
> 1. Компактификация Стоуна-Чеха. Одноточечная компактификация.

Одноточечная ведь появилась теперь.

> 2. Теорема Стоуна о представимости булевых алгебр.
> 3. Применение максимальных идеалов к вполне несвязным

Кажется, там еще много чего было, про что вы говорили, что выкинули, в том числе и в алгебре. Надо в старых письмах посмотреть.

Задача 7.26. Указание не проходит, если множества индексов пересекаются (например, когда мы находим А(1,2;2,3)). Вначале надо изменить базис (например, перенести индексы, встречающиеся и там, и там, в начало нумерации, в приведенном примере получится после этого А(1,2;1,3)), а потом уже действовать как написано в Указании.
Еще надо во "Взяв композицию $A$ с оператором, который переводит $v_{i_l}$ в $v_{i'_l}$," $v_{i_l}$ и $v_{i'_l}$ поменять местами.

После задачи 7.28 хорошо бы добавить задачу: "Докажите, что ранги эквивалентных матриц совпадают".

Задача 7.31. Наверное, надо не строки, а столбцы?

Определение 7.10. Добавить, что $v_1 \neq 0$, $v_2 \neq 0$.

Задача 7.33. Наверное, надо добавить, что V_1, V_2 конечномерны? Иначе, насколько я понимаю, может не получиться.

Задача 7.34. \Lambda^k(V)^*\cong\Lambda^{n-k}(V)\otimes \det V надо заменить на
\Lambda^k(V)\cong\Lambda^{n-k}(V)^*\otimes \det V (то есть звездочку перенести в правую часть) -- чтобы при спаривании получилось \det V \otimes (\det V)^*.

Задача 7.36 и 7.38 (в двух местах). (-1)^i надо заменить на (-1)^{i+j}.

Задача 7.37. В конце 1 надо заменить на Id, в начале $\mu:\; V \arrow V'\arrow k$ на $\mu:\; V \otimes V'\arrow k$.

Спасибо! внес все исправления

> Задача 7.26. Указание не проходит, если
> множества индексов пересекаются
> (например, когда мы находим А(1,2;2,3)).
> Вначале надо изменить базис (например,
> перенести индексы, встречающиеся и там,
> и там, в начало нумерации, в приведенном
> примере получится после этого А(1,2;1,3)), а
> потом уже действовать как написано в
> Указании. Еще надо во "Взяв композицию $A$
> с оператором, который переводит $v_{i_l}$ в
> $v_{i'_l}$," $v_{i_l}$ и $v_{i'_l}$ поменять местами.

Мы же не подкручиваем матрицу, а берем композицию.
После композиции тот минор как раз перейдет в нужный.
Если я ничего не путаю.

> Еще надо во "Взяв композицию $A$
> с оператором, который переводит $v_{i_l}$ в
> $v_{i'_l}$," $v_{i_l}$ и $v_{i'_l}$ поменять местами.

Так там же не говорится, с какой стороны берется
композиция.

> Задача 7.31. Наверное, надо не строки, а
> столбцы?

Так и строки же пропорциональны, и столбцы.

> Задача 7.36 и 7.38 (в двух местах). (-1)^i надо
> заменить на (-1)^{i+j}.

Это не опечатка, что забавно, я правда не знал,
как брать обратную матрицу. То есть в теории
знал, конечно, а на практике это знание ни разу
применить не удалось. Спасибо!

Такие дела
Миша

>> Вначале надо изменить базис (например,
>> перенести индексы, встречающиеся и там,
>> и там, в начало нумерации, в приведенном
>> примере получится после этого А(1,2;1,3)), а
>> потом уже действовать как написано в
>
> Мы же не подкручиваем матрицу, а берем композицию.

Это вы пишете про то, что в здесь в моем квотинге оставила?

Дело в том, что если просто сделать, как вы пишете, а множества индексов пересекаются, то мы вернемся к исходной ситуации, ничего не улучшится.

> После композиции тот минор как раз перейдет в нужный.
> Если я ничего не путаю.

>> Еще надо во "Взяв композицию $A$
>> с оператором, который переводит $v_{i_l}$ в
>> $v_{i'_l}$," $v_{i_l}$ и $v_{i'_l}$ поменять местами.
>
> Так там же не говорится, с какой стороны берется
> композиция.

А это неважно.

Но что-то я уже и сама запуталась. Этот оператор у нас эти два вектора местами меняет, что ли? Если просто меняет, то тогда конечно без разницы. Но тогда и надо писать "меняет", а не "переводит".

> Так и строки же пропорциональны, и столбцы.

А это то же самое, про что я в предыдущем письме писала. Столбцы получаются из определения, а для строк надо транспонировать и учесть, что ранг при транспонировании не меняется. Мне кажется, так.

> Это не опечатка, что забавно, я правда не знал,
> как брать обратную матрицу.

Так даже и из общих соображений понятно, что i и j должны симметрично входить в формулу :-)

Обратила внимание, что во второй части нет совсем, а в первой -- почти нет задач со звездочкой. Мне кажется, что это нехорошо -- те, кто имеют стандартное представление о матрицах и определителях, полностью пропускают всю геометрическую часть (так как для задач со звездочкой третьей части геометрические понятия первых двух знать не надо).

Задача 7.42. Мне кажется, надо отметить, что \alfa_i -- из Z/2Z. Оно, конечно, вроде бы следует из условия, но дети к такому еще не совсем привыкли, наверное. У произведения надо отметить индексы.
Еще я не совсем понимаю: этот определитель ведь тождественно равен нулю над Z/2Z, при любых t, x_i. Например, при n=1 это будет tx(t-x). То есть наш многочлен просто нулевой получается? Или я чего-то в многочленах не понимаю?

Дальше пока не смотрела, потому что оно все на этот многочлен завязано, а я его не поняла :-)

По поводу звездочек я была не права: забыла про !. Сейчас посмотрела -- задач с ! достаточно много, так что это замечание снимается.

Ага. Вообще, на мех-мате примерно 2/3 программы
первого семестра и второго посвящена умножению,
делению и взятию экспоненты от матриц. Это отупляет
неимоверно. Я в некоторый момент волевым решением
объявил, что не умею, не хочу и не буду умножать
матрицы, и только так спасся (зато меня чуть не выгнали).

Такие дела
Миша

>Еще я не совсем понимаю: этот определитель ведь
>тождественно равен нулю над Z/2Z, при любых t, x_i.
> Например, при n=1 это будет tx(t-x). То есть наш
>многочлен просто нулевой получается? Или я чего-то в
> многочленах не понимаю?

Ну и что. Бывают ненулевые многочлены, принимающие
значение "0" везде. Например, x^p-x над
полем Z/pZ или x^{p^n}-x для поля из
p^n элементов. Про это у нас
в листках было несколько задач.

По поводу ж определителей - их в предыдущем
листке и в следующем предостаточно. Седьмой
листок сделан для того, чтобы любители
умножать матрицы не страдали, вообще-то
в курсе алгебры можно обойтись
без умножения матриц вообще.

Инварианты Диксона чрезвычайно важны в топологии (http://www.google.com/search?num=100&hl=ru&inlang=ru&ie=windows-1251&c2coff=1&q=Dickson+Steenrod+cohomology&lr =)
(что забавно отчасти, да).

Такие дела
Миша

> Бывают ненулевые многочлены, принимающие значение "0" везде.

Да, я же написала в следующем письме, что уже разобралась.

> Седьмой листок сделан для того, чтобы любители умножать матрицы не страдали

Там вроде бы и содержательной части достаточно много, про связь с грассмановой алгеброй.

Вы не ответили на мой вопрос:
"Задача 7.46. Векторное пространство V над каким полем -- над Z_2?"
Так что я так и осталась в недоумении по поводу применения инвариантов Диксона :-)

Конечно, над Z/2Z.

Так, кстати, еще три листочка поспело:
http://imperium.lenin.ru/~verbit/MATH/MCCME/listki/alg8.ps
http://imperium.lenin.ru/~verbit/MATH/MCCME/listki/alg9.ps
http://imperium.lenin.ru/~verbit/MATH/MCCME/listki/alg10.ps

Такие дела
Миша

> Конечно, над Z/2Z.

Я под Z_2 и имела в виду Z/2Z :-) Привычка так записывать, со старых времен.
Но это (что над Z/2Z) надо обязательно оговорить в условии, иначе непонятно совсем.

С учетом поля посмотрела задачу 7.46. Не поняла: GL(V) там ведь действует просто как перестановка базисных векторов, то есть индексов у иксов? То есть инвариантность Q_r означает просто его симметричность? Но ведь в начале задачи уже сказано, что это элементы симметрической алгебры, что же тогда требуется доказать? Ну и если я это правильно поняла, то результат Диксона -- это просто указание алгебраического базиса в кольце симметрических функций?

> Так, кстати, еще три листочка поспело:

Почему-то не соединяется сейчас с imperium.lenin.ru.
Я лучше вначале посмотрю исправленные варианты геометрий 7-9 (от 15 ноября), пока за них дети не взялись (или уже взялись?). Пока только заглянула и увидела много ошибок. В частности, про 1-точечную компактификацию какой-то ужас в определении написан :-) Все неправильно.

> Почему-то не соединяется сейчас с imperium.lenin.ru.

Все, соединилось. Видимо, временная какая-то проблема была. Я скачала.

>Не поняла: GL(V) там ведь действует просто как перестановка
>базисных векторов, то есть индексов у иксов?

Нет, конечно. GL(n, Z/2Z)
не изоморфно симметрической группе. GL(n, Z/2Z)
действует на линейном пространстве
(Z/2Z)^n как всегда GL(n, Z/2Z)
действует, то есть линейными операторами.

> imperium.lenin.ru. Я лучше вначале посмотрю
> исправленные варианты геометрий 7-9 (от 15
> ноября), пока за них дети не взялись (или
> уже взялись?).

Кажется, особо не взялись пока, доделывают первые 12.

>Пока только заглянула и
> увидела много ошибок. В частности, про
> 1-точечную компактификацию какой-то
> ужас в определении написан :-) Все
> неправильно.

Да, это я недосмотрел, спасибо (я не видел этой
версии сам). Теперь там такое:

\begin{zadacha}
Дано топологическое пространство $X$. Обозначим через $\widehat{X}$
множество $X \bigcup \{\infty\}$ ($X$, к которому добавили еще одну
точку, обозначенную как $\infty$)
со следующей топологией: $U \subset \widehat{X}$
открыто либо если $\infty \in U$, а дополнение
к $U$ компактно как подмножество $X$, либо если $\infty
\not\in X$, и $U$ открыто как подмножество $X$.
Докажите, что это действительно топология, и что
пространство $\widehat{X}$ компактно.
\end{zadacha}

Если еще ошибки - напишите! буду еще править.

Такие дела
Миша

> Нет, конечно. GL(n, Z/2Z)
> не изоморфно симметрической группе.

Да, это я ошиблась. Мне показалось, что если обратимые, то только перестановки. Буду дальше думать.

Еще замечания по Геометрии 7:

Определение 7.1. "Даже несчетный" -- как-то коряво :-)

Определение убывающего набора -- я про это уже писала, забыли исправить. Если дети ординалов не знают,

то тогда можно то же самое просто назвать "монотонным".

Задача 7.19(б). Наверное, не "существует ли" а "может ли существовать"?

Задача 7.21(а). Перед "отрезке" добавить "некотором".

Указание к задаче 7.23. Я писала уже про то, что замкнутые множества надо брать другие, не исправлено.

Не добавлено свойство Больцано-Вейерштрасса (про метрические пространства).

Дальше пока не смотрела.

Спасибо за исправленя!

> Не добавлено свойство
> Больцано-Вейерштрасса (про метрические
> пространства).

Я его в листок про метрические пространства
(геометрию-4) добавил.

> Определение убывающего набора -- я про
> это уже писала, забыли исправить. Если
> дети ординалов не знают,
> то тогда можно то же самое просто
> назвать "монотонным".

Так там же нет никаких ординалов!

Я заменил теперь слово "убывающий"
на "монотонный". Хотя по-моему, разницы
особой нет.

> Указание к задаче 7.23. Я писала уже про
> то, что замкнутые множества надо брать
> другие, не исправлено.

Исправлено!

"Теперь примените лемму Урысона к замкнутым
множествам $\{x_i\}$, $M\backslash
U_i$, и просуммируйте полученные функции Урысона
$f_i$ с правильно подобранными коэффициентами."

Там раньше было совершенно не то.

Такие дела
Миша

> Я его в листок про метрические пространства (геометрию-4) добавил

Так ведь многие же его уже сдали? Или им объявляют, когда в уже сданных листках что-то новое появляется? Я не помню уже где, но где-то дальше (кажется в Геометрии 8) это свойство было нужно, чтобы что-то важное доказывать (изначально там была ссылка на задачу 7.17, но в ней после исправления появилась счетная база, а надо было это свойство для общего случая).

> Так там же нет никаких ординалов!

Я имела в виду, что если говорить "убывающая", то надо уметь сравнивать индексы.

> Хотя по-моему, разницы особой нет.

Разница в том, что под ваше определение, если рассматривать этот набор как функцию на индексном множестве, попадают и убывающие, и возрастающие, и по-любому упорядоченные функции. Например, если топология порядковая, то любой набор оказывается убывающим. Как-то это нехорошо, и не согласуется с интуицией стандартного использования слова "убывающий", которое использует порядок как на множестве определения, так и на множестве значений. Кстати, можно еще назвать не "монотонный", а просто "упорядоченный по включению набор", так наверное точнее будет.

> Исправлено!

Может, у меня не последний вариант? Я скачивала с сайта НМУ, дата файлов там 15 ноября. Там эти окрестности еще старые написаны, как с самого начала было.

>Так ведь многие же его уже сдали? Или им
>объявляют, когда в уже сданных листках что-то новое
>появляется?

Так там был этот самый критерий изначально,
с невнятным указанием.

>Я скачивала с сайта НМУ, дата файлов там 15 ноября. Там эти
>окрестности еще старые написаны, как с самого начала было.

Ага. Там не последняя версия
(вообще неделю не обновляли - я отсюда
никак на процесс повлиять не могу, увы).

Я кинул сюда последние версии всех файлов
http://imperium.lenin.ru/~verbit/MATH/MCCME/listki/

Такие дела
Миша

> Так там был этот самый критерий изначально,
> с невнятным указанием.

Это вы про задачу 7.17?
Он был _неправильный_! Там не требовалось метризуемости, а без метризуемости оно не доказывается, по крайней мере ни я, ни вы не знаем, как это сделать (и можно ли). Получается, те, кто решал до исправления на счетную базу, так и остались в заблуждении, и верят теперь в неверный факт, а те, кто решал после исправления, не смогут решать задачу из Геометрии 8, где этот критерий будет нужен.

> Это вы про задачу 7.17?

Про 4-й листок. Геометрию-7 еще никто е решал.

Такие дела
Миша

А, поняла. А ничего, что они его доказывали неправильно? Вряд ли кто догадался до правильного решения с неправильным указанием...

Ну в случае, когда у нас счетная база, это
правильное указание. А для несчетной базы
нужно полное упорядочивание, только и всего.

Такие дела
Миша

У меня сейчас нет этих листков на руках, но насколько я помню, таким образом при несчетной базе доказательство не проходит.
Сейчас-то там правильно стало (я посмотрела новый вариант), но тем детям, которые решали еще по-старому, наверное, сказать про это надо, чтобы посмотрели...

Посмотрела старый текст. Точно не проходит ваше старое указание для несчетной базы. Это и само по себе понятно, и вы же сами приводили контрпример (пространство с несчетной базой в точке, для которого компактность и несуществование дискретных множеств неэквивалентны) -- с топологией на ординалах.

Сейчас-то все хорошо стало, вопрос в тех детях, которые эту 4-ю геометрию прорешали еще до того.

Кстати, может, вы создадите новый пост для следующих алгебр? А то если в этот писать, то ветки начнут сворачиваться и будет неудобно.

>Посмотрела старый текст. Точно не проходит ваше
>старое указание для несчетной базы.

Так там же специально говорится - в случае счетной
базы так, а иначе придумайте по-другому.

>вопрос в тех детях, которые эту 4-ю геометрию прорешали еще до того.

Во многих случаях лучше знать простое доказательство, хоть
и неправильное, чем правильное, но мутное. Тем более что
в жизни пространств без счетной базы практически не бывает.

>Кстати, может, вы создадите новый пост для следующих алгебр?

Ага!
http://www.livejournal.com/users/tiphareth/519816.html

Такие дела
Миша

> иначе придумайте по-другому.

Так понятно же, что никто не придумал по-другому, поскольку правильное доказательство, использующее метризуемость, строится совсем по другим принципам. Подозреваю, что все, сдавшие эту задачу, рассказывали неверное доказательство. Вы же сами принимали эти листки -- разве хоть кто-то правильное доказательство рассказал?

> Во многих случаях лучше знать простое доказательство,
> хоть и неправильное, чем правильное, но мутное.

Категорически не согласна! Это ужасно порочный подход. Лучше не знать никакого доказательства, чем быть уверенным в правильности неправильного.

> Тем более что в жизни пространств без счетной базы практически не бывает.

Речь ведь даже не о базе точки, а о базе всего пространства.

>Категорически не согласна! Это ужасно порочный
>подход. Лучше не знать никакого доказательства, чем
>быть уверенным в правильности неправильного.

Быть уверенным в чем бы то ни было неправильно,
но я когда читал книжки, доказательства где только можно
пропускал и придумывал свои. Они довольно часто были
неправильные. Я через год-другой продумывал это место
заново и довольно часто находил ошибку.

>Речь ведь даже не о базе точки, а о базе всего пространства.

Ага. Тем не менее, топологи в 99.99 процентах случаев имеют
дело либо с многообразием, либо с счетным CW-комплексом,
и у них всегда есть счетная база.

Такие дела
Миша

Разобралась, вопрос снят.
Не надо детям этот тонкий момент (применение теоремы Безу к многочленам над конечным полем, да еще и от нескольких переменных) подробнее разжевать?

Указание к задаче 7.45. Не "предыдущей задачей", а "задачей 7.42".

Задача 7.46. Векторное пространство V над каким полем -- над Z_2?