| Поднятия мер |
[Dec. 15th, 2022|10:01 pm] |
| [ | Current Mood |
| |  tired | ] |
| [ | Current Music |
| | Vágtázó Halottkémek - A Halál móresre tanítása | ] |
Продолжаю изучать Фремлина.
Из определений понятно, что если для измеримого пространства построить алгебру меры, то существует фактор-cотображение из алгебры измеримых множеств в эту алгебру. Поднятие или лифтинг в этом случае, это одностороний обратный к этому фактор-отображению морфизм булевых алгебр. Можно представить себе, что это такой селектор элемента в классе эквивалентности, который ведет себя согласовано. С этим определением есть свои нюансы, потому что можно строить поднятия сразу из алгебры измеримых множеств в алгебру измеримых множеств явно не упоминая алгебру меры. Это делает определения более нагруженным, но часто в приложениях. Нужны именно такие отображения. Еще есть понятие нижней плотности. Тот ослабляются алгебраические свойства и требуется сохранять только операцию умножения. Нижней плотностью для меры Лебега можно взять например оператор существенную внутренность множества, например.
Основным результатом этой теории является теорема Махарам-фон Неймана. Она утверждает, что у любой полной локально-детерминированной меры существует поднятие. У этой теории есть некоторая интересная связь с L^p пространствами. Если построено поднятие для меры, то можно построить положительный линейный оператор, который выбирает представителя для класса в L^p. Это достигается через "поднятие" индикаторов измеримых множеств с конечной мерой. Для случая L^\infty это оператор будет еще и изометрией, и сохранять умножение.
Интересной темой является взаимодействие групп и мер. Можно говорить о инвариантном (правильнее, наверное, говорить ковариантном, но так не говорят) к сдвигу поднятиях, если при умножение на сохраняющий меру элемент группы как-бы проходит под поднятием. Пока я видел доказательство, что такие поднятие есть у меры Лебега и у любого процесса Бернулли, если использовать сдвиги по модулю 2. Но должен быть более общий результат для топологических групп с некоторыми хорошими свойствами. Об этом я вам расскажу как-нибудь в другой раз. У топологических групп с инвариантными мерами (мера Хаара) и инвариантными поднятиями есть еще интересное свойство, что любые открытых множеств зажимаются между этими открытыми множествами и их замыканиями. Через двойственность видно, что поднятия замкнутых множеств зажимаются между их внутренностями и самими этими множествами. Интересно, что если взять меру Лебега с борелевской сигма-алгеброй, то инвариантных поднятий у нее уже не будет.
Другой важной темой является то как поднятия связаны с произведениями пространств. Подмножество произведения множеств с индексами из I называется определенным координатами J \subset I, если принадлежность к нему можно определить проверив только координаты из J. Такие множества еще обычно называют цилиндрами. Говорят, что поднятие сохраняет координаты, если для любого J, множества определенные координатами J оно снова переводит в множества определенные координатами J. Можно доказать, что любое произведение вероятностей однородных по типу Махарам будет иметь поднятие, сохраняющее координаты. Верно ли это для любых вероятностей (не обязательно однородных)? — Открытый вопрос в теории меры (вроде бы). Другое схожее понятие это консистентность. Поднятие называется консистентным, если оно естественным образом продолжается на степени исходного пространства с мерой. То есть для каждой степени существует такое поднятие, которое переводит произведения измеримых множеств в произведения исходных поднятий. Талагранд в 80-х годах доказал, что что у любых полных мер есть такое поднятие. С другой стороны это свойство отнюдь не тривиально. С помощью Теоремы Стоуна можно построить стандартное поднятие для пространства Стоуна алгебры Лебега. Такое поднятие, например, консистентным не будет.
Смежной теорией, владение которой полезно для доказательства фактов про поднятия, является теория реализации морфизмов алгебр мер с помощью измеримых функций. Для того, что иметь возможность формулировать результаты этой теории полезно определить некоторые свойства мер. Мера называется внутренней регулярной для класса подмножеств K, если меру любого измеримого множества E можно вычеслить как супремум мер измеримых элементов множества K лежащих в E. Мера называется компактной если она внутренняя регулярная для компактного класса подмножеств (Это когда у любого подкласса, у которого любой конечный подкласс имеет непустое пересечение, самого непустое пересечение). И мера называется локально компактной, если ее ограничение на любое множество с конечной мерой компактно. Интересно, что для любой компактной класса существует компактная топология такая, что все элемента этого класса замкнуты. Это очень сильно развязывает руки при работе с компактными мерами. И заметьте, что тут нет привязке к какой-то изначальной топологии на базовом пространстве. Примеры: мера Лебега на Евклидовом пространстве компактна, процесс Бернулли на любом множестве компактен, и пространство Стоуна с мерой, полученное из алгебры меры, тоже всегда компактно. Есть еще родственное понятие совершенной меры. Мера называется совершенной, если для любой измеримой по ней действительной функции, образ любого множества положительной меры будет содержать компакт, прообраз меры которого тоже положительный. Любая полуконечная и локально компактная мера будет совершенной.
Можно доказать, что если у морфизма алгебр меры домен, которого является алгеброй совершенной меры, а кодомен алгеброй строго локализуемой меры, всегда есть реализация в виде измеримой функции (стрелочка поварачевается). Измеримое простротранство называется счетно сепарируемым если можно выбрать счетный класс измеримых множеств, такой что для любой пары различных точек можно выбрать множеством из этого класса так, чтобы только одна точка из двух принадлежала это множеству. Оказывается, что если кодомен искомого изображения еще и счётной сепарируемы, то все реализации морфизма совпадают почти всюду. В общем случае это не так. Можно, например, построить процесс Бернулли на множестве мощности континуум. Для него можно построить измеримый эндоморфизм у которого не будет неподвижных точек, но он будет эквивалентен тождественному отображению в смысле алгебр меры! Еще интересный пример, это пространство "расщепленного интервала", cостоящее из несвязного объединения двух копий единичного интервала. Его алгебра измеримых подмножеств состоит из множеств разница сечений которых имеет меру Лебега ноль. Поэтому в качестве меры мы можем взять меру Лебега любого из двух сечений. Если взять отображение, которое меняет местами половинки, то снова получим эквивалентное тождественному отображение без неподвижных точек. Если рассмотреть несвязное объединение "расщепленного" интервала с обычным интервалом то можно построить не биективное отображение в себя, отображая первые два интервала в третий, а третий только в первый, которое тем не менее будет реализацией тождественного автоморфизма алгебры. При наличие счетной сепарируемости реализация любого изоморфизма может быть сделана биекцией.
Возвращаясь к поднятием. Тут вполне понятна, например аналогия с поднятиями, например, многообразий. Только вместо тут как-бы одна сигма-алгебра накрывает другую сигма-алгебру неким естественным образом и в хорошем случае получаются поднятия на накрытие. Интересно, есть ли тут какие-то далеко идущие параллели? Я пока не придумало.
Я немного устал от теории меры. Поэтому на ближайшее время переключусь на логику. |
|
|
