Пес Ебленский [entries|archive|friends|userinfo] rex_weblen [ website | Наши рисуночки ] [ userinfo | ljr userinfo ] [ archive | journal archive ]

Links [ Links: | update journal edit friends fif tiphareth recent comments ]

Поднятия мер [Dec. 15th, 2022|10:01 pm] [Tags | algebraic measure theory, analysis, boolean algebra, math, measure theory, memuar, probability, probability theory ] [ Current Mood | tired ] [ Current Music | Vágtázó Halottkémek - A Halál móresre tanítása ] Продолжаю изучать Фремлина. Из определений понятно, что если для измеримого пространства построить алгебру меры, то существует фактор-cотображение из алгебры измеримых множеств в эту алгебру. Поднятие или лифтинг в этом случае, это одностороний обратный к этому фактор-отображению морфизм булевых алгебр. Можно представить себе, что это такой селектор элемента в классе эквивалентности, который ведет себя согласовано. С этим определением есть свои нюансы, потому что можно строить поднятия сразу из алгебры измеримых множеств в алгебру измеримых множеств явно не упоминая алгебру меры. Это делает определения более нагруженным, но часто в приложениях. Нужны именно такие отображения. Еще есть понятие нижней плотности. Тот ослабляются алгебраические свойства и требуется сохранять только операцию умножения. Нижней плотностью для меры Лебега можно взять например оператор существенную внутренность множества, например. Основным результатом этой теории является теорема Махарам-фон Неймана. Она утверждает, что у любой полной локально-детерминированной меры существует поднятие. У этой теории есть некоторая интересная связь с L^p пространствами. Если построено поднятие для меры, то можно построить положительный линейный оператор, который выбирает представителя для класса в L^p. Это достигается через "поднятие" индикаторов измеримых множеств с конечной мерой. Для случая L^\infty это оператор будет еще и изометрией, и сохранять умножение. Интересной темой является взаимодействие групп и мер. Можно говорить о инвариантном (правильнее, наверное, говорить ковариантном, но так не говорят) к сдвигу поднятиях, если при умножение на сохраняющий меру элемент группы как-бы проходит под поднятием. Пока я видел доказательство, что такие поднятие есть у меры Лебега и у любого процесса Бернулли, если использовать сдвиги по модулю 2. Но должен быть более общий результат для топологических групп с некоторыми хорошими свойствами. Об этом я вам расскажу как-нибудь в другой раз. У топологических групп с инвариантными мерами (мера Хаара) и инвариантными поднятиями есть еще интересное свойство, что любые открытых множеств зажимаются между этими открытыми множествами и их замыканиями. Через двойственность видно, что поднятия замкнутых множеств зажимаются между их внутренностями и самими этими множествами. Интересно, что если взять меру Лебега с борелевской сигма-алгеброй, то инвариантных поднятий у нее уже не будет. Другой важной темой является то как поднятия связаны с произведениями пространств. Подмножество произведения множеств с индексами из I называется определенным координатами J \subset I, если принадлежность к нему можно определить проверив только координаты из J. Такие множества еще обычно называют цилиндрами. Говорят, что поднятие сохраняет координаты, если для любого J, множества определенные координатами J оно снова переводит в множества определенные координатами J. Можно доказать, что любое произведение вероятностей однородных по типу Махарам будет иметь поднятие, сохраняющее координаты. Верно ли это для любых вероятностей (не обязательно однородных)? — Открытый вопрос в теории меры (вроде бы). Другое схожее понятие это консистентность. Поднятие называется консистентным, если оно естественным образом продолжается на степени исходного пространства с мерой. То есть для каждой степени существует такое поднятие, которое переводит произведения измеримых множеств в произведения исходных поднятий. Талагранд в 80-х годах доказал, что что у любых полных мер есть такое поднятие. С другой стороны это свойство отнюдь не тривиально. С помощью Теоремы Стоуна можно построить стандартное поднятие для пространства Стоуна алгебры Лебега. Такое поднятие, например, консистентным не будет. Смежной теорией, владение которой полезно для доказательства фактов про поднятия, является теория реализации морфизмов алгебр мер с помощью измеримых функций. Для того, что иметь возможность формулировать результаты этой теории полезно определить некоторые свойства мер. Мера называется внутренней регулярной для класса подмножеств K, если меру любого измеримого множества E можно вычеслить как супремум мер измеримых элементов множества K лежащих в E. Мера называется компактной если она внутренняя регулярная для компактного класса подмножеств (Это когда у любого подкласса, у которого любой конечный подкласс имеет непустое пересечение, самого непустое пересечение). И мера называется локально компактной, если ее ограничение на любое множество с конечной мерой компактно. Интересно, что для любой компактной класса существует компактная топология такая, что все элемента этого класса замкнуты. Это очень сильно развязывает руки при работе с компактными мерами. И заметьте, что тут нет привязке к какой-то изначальной топологии на базовом пространстве. Примеры: мера Лебега на Евклидовом пространстве компактна, процесс Бернулли на любом множестве компактен, и пространство Стоуна с мерой, полученное из алгебры меры, тоже всегда компактно. Есть еще родственное понятие совершенной меры. Мера называется совершенной, если для любой измеримой по ней действительной функции, образ любого множества положительной меры будет содержать компакт, прообраз меры которого тоже положительный. Любая полуконечная и локально компактная мера будет совершенной. Можно доказать, что если у морфизма алгебр меры домен, которого является алгеброй совершенной меры, а кодомен алгеброй строго локализуемой меры, всегда есть реализация в виде измеримой функции (стрелочка поварачевается). Измеримое простротранство называется счетно сепарируемым если можно выбрать счетный класс измеримых множеств, такой что для любой пары различных точек можно выбрать множеством из этого класса так, чтобы только одна точка из двух принадлежала это множеству. Оказывается, что если кодомен искомого изображения еще и счётной сепарируемы, то все реализации морфизма совпадают почти всюду. В общем случае это не так. Можно, например, построить процесс Бернулли на множестве мощности континуум. Для него можно построить измеримый эндоморфизм у которого не будет неподвижных точек, но он будет эквивалентен тождественному отображению в смысле алгебр меры! Еще интересный пример, это пространство "расщепленного интервала", cостоящее из несвязного объединения двух копий единичного интервала. Его алгебра измеримых подмножеств состоит из множеств разница сечений которых имеет меру Лебега ноль. Поэтому в качестве меры мы можем взять меру Лебега любого из двух сечений. Если взять отображение, которое меняет местами половинки, то снова получим эквивалентное тождественному отображение без неподвижных точек. Если рассмотреть несвязное объединение "расщепленного" интервала с обычным интервалом то можно построить не биективное отображение в себя, отображая первые два интервала в третий, а третий только в первый, которое тем не менее будет реализацией тождественного автоморфизма алгебры. При наличие счетной сепарируемости реализация любого изоморфизма может быть сделана биекцией. Возвращаясь к поднятием. Тут вполне понятна, например аналогия с поднятиями, например, многообразий. Только вместо тут как-бы одна сигма-алгебра накрывает другую сигма-алгебру неким естественным образом и в хорошем случае получаются поднятия на накрытие. Интересно, есть ли тут какие-то далеко идущие параллели? Я пока не придумало. Я немного устал от теории меры. Поэтому на ближайшее время переключусь на логику. Link 4 comments|Leave a comment

Erratum [Nov. 21st, 2022|07:39 pm] [Tags | algebraic measure theory, analysis, boolean algebra, dream, math, measure theory, probability, probability theory, review ] [ Current Mood | geeky ] В посте https://lj.rossia.org/users/rex_weblen/175181.html Я писал, что теория Махарам, по моим сведениям, нигде кроме Фремлина вся вместе не изложена. Ночью я понял, что оно есть у Владимирова. В советском издании 1969 года "Булевы Алгебры" это глава 7, а в англоязычном издании 2004 года "Boolean algebras in analysis" это глава 9. Причем в англоязычном издании намного больше материала. Возможно, есть новое русскоязное издание, которое ему соответствует, но я его в открытом доступе не видел. Я конечно все сразу не прочитал и не разобрал. Но скажу, что изложение у Владимирова более наглядное и менее педантичное. Есть даже картинки. Поэтому для расширения кругозора эту вещь читать стоит. Однако, параллельно с Фремлином его читать очень сложно из-за определённой терминологической путанице. Те же "нормированные алгебры", просто однородность вместо однородности по типу Махарам, хотя просто однородность уже вводилась ранее с другим определением и тому подобные сложности. Все это не помогает смешивать информацию из эти двух источников в моей голове. Поэтому углубляться в "Булевы Алгебры" Владимирова сейчас я не буду. "Boolean algebras in analysis": красивая иллюстрация, например P.S Снилась сегодня компьютерная игра. Агент в костюме-болтушке как у Филипа Дика борется с заговором тайного общества, которое хочет устроить ядерную войну. Из-за костюма-болтушки его лицо выглядит мультяшным. Он проникает в офис злой организации в Нью-Йорке. Он похож просто на офис, кроме того, что там ходят роботы убийцы в которых нужно стрелять. Но на третьем этаже находится огромное искусственное болото с островками под названием Эдем. В Эдеме выводят новые виды животных, чтобы заселить землю после ядерной войны. Но сейчас это мутанты мелкие кусачие во сновном. В них тоже нужно стрелять. И еще в этом болоте есть огромная креветка размером с кита, которая то всплывает, то уплывает. Ее убивать необязательно, но очень крутая ачивка если ее убить. Поэтому я пытался ее ловить. Link 8 comments|Leave a comment

Теория Махарам [Nov. 20th, 2022|06:13 pm] [Tags | algebraic measure theory, analysis, boolean algebra, math, measure theory, memuar, probability, probability theory ] [ Current Mood | sleepy ] [ Current Music | Leftover Crack - Fuck World Trade ] Обещал вам в прошлый раз уникальных результатов про алгебры меры. Поэтому давайте расскажу вам, что понял из следующей главы Фремлина. Еще про это можно почитать в главе 9 "Boolean algebras in analysis" Д. А. Владимирова. Для начала, почему этот пост я назвал "Теория Махарам". Дело в том, что в основе всего, о чем здесь говориться, лежит статья американской мать-и-мачехи Дороти Махарам. Она вышла замуж за математика Стоуна, и стала Махарам-Стоун. Но что, удивительно, это был не Маршал Стоун, а некий английский математик Артур Стоун. Дороти Махарам-Стоун 1917 - 2014 ( читать дальше... ) Link 15 comments|Leave a comment

Алгебры Меры [Oct. 28th, 2022|09:00 pm] [Tags | algebraic measure theory, analysis, boolean algebra, math, measure theory, memuar, probability, probability theory ] [ Current Mood | sleepy ] [ Current Music | David Bowie - Hanky Dory ] Продолжаю чудовищно медленно изучать Фремлина. Алгебры меры это такой безточечный, в смысле point-free и point-less, аналог пространств с мерой. То есть это структура, которая просто состоит из некоторой сигма-полной по Дедекинду булевой алгебры (для краткости далее просто сигма-алгебра) и сигма-аддитивная неотрицательная функция на этой алгебре, которая может принимать и бесконечные значения, то есть мера. Их особенность заключается в том, что все элементы меры ноль это только ноль. В отечественной литературе их обычно называют нормированными алгебрами. Но на мой взгляд, такое обозначение может вносить путаницу, ведь как раз нормы в общепринятом понимании там нет. Если мера достигает на единице значения единица, то такую алгебру называют вероятностной Алгеброй. Интересно, что Джейнс в своей книге по Байесовской теории как раз и работают с вероятностными алгебрами. Напоминаю, что Джеймс утверждал, что его подход эквивалентен аксиоматики Колмогорова. В этом случае элементы алгебры это события, но никаких элементарных событий, как обычно у нас учат, нет. Еще пропадает концептуальная сложность с различение событий меры ноль, пустого события и невозможного события. Теперь, благодаря Фремлину, я могу видеть как эта эквивалентность устроена во всех деталях. Чтобы получить алгебру меры, проще всего взять какое-нибудь пространство с мерой и факторизовать его сигма-алгебру по сигма-идеалу множеств меры ноль. Такая операция задает контравариантный функтор. В качестве морфизмов можно брать измеримые отображения, уважающие меру ноль, или измеримые отображения, сохраняющие меру вообще. Есть и контравариантный функтор в другую сторону. Он сопоставляет алгебре меры ее пространство Стоуна с соответствующей мерой. И теперь становится понятно, что предложенным выше способом можно получить любую алгебры меры вообще. Достаточно взять ее пространство Стоуна. Но обратное не верно, потому что пространства Стоуна имеют строго определённую структуру. Удивительно, но мера задает топологию алгебры! Если мера конечная, то ее действие на суммы (в булевых алгебрах тоже самое что разницы) задает метрику на алгебре. Отсюда, наверное, и ассоциация меры с нормой. А в случае бесконечной меры топологию задает семейство полуметрик, получаемых из "сужения" меры на конечные элементы. То есть тут у нас на одном множестве есть и структура кольца, и решетки по порядку, и мера, и топология (а в случае вероятностных алгебр еще и метрическая геометрия)! И все это взаимосвязано и еще друг-с-другом все время взаимодействует! Вот, например, соответствие между свойствами меры и топологическими свойствам: мера полуконечна ~ топология Хаусдорффова, мера сигма-конечна ~ топология метризуема, мера локализуема ~ топология хаусдорффова и полна (в смысле равномерности). То, что Фремлин активно пользуется понятием равномерности (uniformity), что шире применять понятия метрической топологии Бурбакам. И действительно я бы описал его стиль как вполне бурбакистский, а его труд как достойную замену книги Бурбаков про интеграл. Кстати, топология, алгебры меры тут становятся топологическими алгебрами. И вся машинерия для топологических групп и алгебр тут работает! Поэтому, например естественными подобъектами алгебр мер становятся замкнутые подалгебры. В контексте вероятностных алгебр они один-к-одному соотносятся с условными распределениями. Из контравариантности описанных выше функторов можно понять, что произведение алгебр меры соответствует несвязному объединению. С произведением вероятностным пространств все сложнее. Там получается, что-то вроде пополнения тензорного произведения. Но я буду его все равно обозначать просто как тензорное произведение, потому что мне неохота использовать более сложную символику. Эта конструкция соответствует копроизведению, но универсальным свойством обладает только для достаточно хороших мер, хотя бы полуконечных. Но все таки давайте называть ее лучше копроизведением, а не свободным произведением как в литературе. Так вот бесконечное копроизведение возможно только для вероятностных алгебр. И в этом случае оно соответствует ансамблю независимых случайных величин. Отсюда идея, что алгебры случайных процессов можно тоже реализовывать на таких бесконечных тензорных произведения. Тут намечаются какие-то фантазмы для взаимодействия с квантовой механикой, где для обозначения взаимодействия случайных величин тоже используются тензорные произведения но уже в совсем других пространствах. Еще отсюда становится видна сущность Теоремы Колмогоровы об условиях существования случайного процесса как теоремы про пополнение тензорного произведения. Кстати, в абстрактной теории категорий есть похожее произведение Колмогорова. Может отсюда это наименование и пошло. Как и с измеримыми пространствами на булевых алгебрах можно строить векторное пространство аддитивных функциональнов. Тут отражаются почти все результаты для измеримых пространств. Тут снова есть ограниченные и счетно-аддитивные функционалы и разложения Жордана и Ханна. Но тут появляются еще так называемые полностью аддитивные функционалы. Их можно суммировать по неограниченно большому множеству и получать значение функционал его супремума. Причем, в контексте алгебр меры любой непрерывной в нуле аддитивный функционал будет полностью аддитивным! Он же будет равномерно непрерывным. Также полностью аддитивным будут и все абсолютно непрерывные функционалы по мере. Круто, что в случае вероятностной алгебры все эти понятия вообще эквиваленты! В этом контексте теорема Радона-Никодима превращается в утверждение про эквивалентность между функторами L^1 (а его надо воспринимать именно как функтор) и функтором абсолютно аддитивных функционалов на соответствующей алгебре меры. Тут есть некоторые технические детали, которые надо уточнять. Если на множестве индексов некоторого набора вероятностных алгебр задан ультрафильтр, то можно построить так называемое усеченное произведение. Мне кажется, что интуитивно его можно представлять себе так. Есть куча разных датчиков случайных чисел без какого-то общего распределения, и мы каждый раз выбираем каким будем пользоваться в соответствии с принципом, который задает ультрафильтр. То есть про ультрафильтр тут можно думать как про принцип выбора из бесконечного множества без определенного выбора или с ним. То есть ультрафильтр это персик в отсутствии персика или в присутствии персика. И в контексте теории вероятности, если мое виденье верно, есть какая-то загадочная связь между ультрафильтрами на множестве индексов семейства вероятностных алгебр и вероятностными распределениями на них. Потому что можно когда мы выбираем датчик случайных чисел запоминать только его индекс, а само случайное число выбрасывать. Но это не так правильно, так как мы строим вероятностную алгебру и перейти обратно к вероятностному пространству не так просто. Но кажется, что при подходе Джейнса таких сложностей не возникает. Но он физик, а не математик, и может позволить себе упускать формальности. А вообще усеченные произведения нужны для того, чтобы строить индуктивные пределы в категории вероятностных алгебр и еще всякие абстрактные конструкции. Для простых алгебр мер понятно, что никаких пределов часто нет. Для чего нужны алгебры меры? Вообще в контексте многих сложных вопросов теории меры и вероятностей работать с алгебрами просто проще чем с пространствами. Сразу убирается вся лишняя информация. Тут тебе и метрика, и непрерывные отображения, и все функционалы сразу полностью аддитивны и конструкции типа индуктивных пределов. Но особо интересно использование алгебр мер в абстрактной негладкой эргодической теории. И я надеюсь когда-нибудь про это тут рассказать. Еще много используется во всякой современной теории множеств про разные основания математики. Но про это уж точно совсем не скоро. Сам Фремлин пишет, что в этой главе все результаты элементарные. Вообще многие из них являются просто переводом на язык алгебр результатов классической теории меры. Но в следующих главах будут уже интересные уникальные результаты. И я надеюсь рассказать вам о них уже скоро. Link 10 comments|Leave a comment

Абстрактная теория меры [Sep. 4th, 2022|03:25 pm] [Tags | analysis, math, measure theory, memuar ] [ Current Mood | calm ] [ Current Music | Чемоданы Тульса Люпера ] Решил также повторить теорию меры. Люблю теорию меры. Если исключить ряд классических текстов, то основные ресурсы по этой теме это 2-х томник Богачева и 5-ти томник Фремлина. Фремлин подкупает тем, что весь контент выложен на сайте автора. Первые два тома Фремлина посвящены т.н. базовому или стандартному материалу, который часто включается в курс анализа. Однако чтения этих текстов привело меня к идеи разделения их содержания на абстрактную теорию меры и теорию меры в контексте действительного анализа. Этот пост основан на главах 11,12,13,21,23,25. Абстрактная теория меры отличается тем, что сигма-алгебры измеримых множеств и собственно меры задаются на произвольных множествах, лишённых какой-либо структуры. Поэтому никаких Борелевских сигма-алгебр и тому подобного. Еще можно полностью проигнорировать конструирование меры Лебега на прямой и в Евклидовым Пространстве. Потому что все эти построения это как-раз и есть действительный анализ. Абстрактная теория меры нужна для того чтобы иметь хоть где-то определение того, что такое мера. Так-то мера это понятие обобщающее длину, площадь, объем, массу, вероятность и так далее. Раньше люди пытались придумать универсальную функцию обобщающую функционал длинноты отрезков на произвольные множества и подчиняющиеся ряду аксиом. Так появилась большая и малая проблема меры. И если малая проблема меры имеет довольно простое решение. Но большая проблема меры оказалась нерешаемой. Поэтому пришлось меры ограничивать на сигма-алгебры. Кстати, проблемами меры еще в школе занимался Гротендик. Множества называются пренебрежимо малым, если оно содержится в измеримом множестве меры ноль. Пренебрежимо малые множества образуют борнологию и сигма-идеал. Отсюда можно получить особую логику "почти наверное" или "почти всюду". Мера у которой все пренебрежимо малые множества измеримы. Чтобы абстрагироваться от сигма-алгебр математики придумали внешние и внутренние меры. Есть операция построения внешней или внутренней меры из просто меры и наоборот, есть операция пополнения. Можно тут нафантазировать функториальность и естественные преобразования. Меры важны потому что они позволяют определить интеграл. Интегралы это очень важно. С интегралом Лебега все стандартно. Новым для себя отсюда я вынес нижней и верхний интеграл Лебега. Они позволяют интегрировать вообще любые функции, но многие соотношения для интегралов превращаются в неравенства. Второй том предлагает более пристальный взгляд на проблему. Там содержится их классификация по конечности, меры вероятностные, конечные, сигма-конечные, строго локализуемые и полуконечные, по локализуемости, локализуемые и локально детерминированные, и по наличию атомов. Обычно сейчас студенты знакомятся с теорией меры через теорию вероятность и там всех этих свойств нет. Тут же их рассматривают с большой тщательностью. Есть тут и отличая между измеримыми и виртуально-измеримыми функциями которые устраняются для полных мер. Вообще у этой теории есть интересное развитие с категориями https://arxiv.org/abs/2105.11331. Важнейшая теорема абстрактной теории меры это теорема Радона-Никодима. Она позволяет представлять конечный счетно-аддитивный функционал в виде интеграла некой "функции плотности" по мере, относительно которой он абсолютно непрерывен. Есть рассуждения вокруг этой теоремы. Вроде теоремы общего вида для замены переменной в интеграле. Есть и обобщения, которые идут дальше конечных функционалов. Вообще есть отдельный подход к абстрактной теории меры через функционалы или так называемые заряды. Ими занимался известный индийский математик Б. Рао. С ними связан еще и такая интересная вещь как векторно-значные меры и интегралы. Но это уже другая история. Заряды бывают еще конечно-аддитивные. Счетная аддитивность позволяет с продуктами мер (типа вероятностей). Разные физики, инженеры, экономисты и компьютерные ученные этим пользует. Просто, физикам кажется, что матан в природе везде должен работать по дефолту, а статистическая физика без этих свойств вообще не работает. Только философы и психологи, которые иногда все же пользуются вероятностью, не знают матан. Но для приличия говорят, что в этих науках у исследователей просто нет никаких оснований предполагать непрерывность мер. Один из классиков Байесовской вероятности Де Финети работал именно с конечно-аддитивными вероятностями. Он предпочитал рассматривать вероятность как психический феномен и так любил приводить примеры про игроков в азартные игры, что Джейнс обвинял его в пропаганде лудомании. В общем случае есть и сложности с определением произведений мер. Поэтому тут возникают два вида произведений, примитивные и локально детерминированные. С вероятностными мерами такие сложности не возникают. Фремлин пишет обо всем этом с большой тщательностью. Некоторые моменты и задачи я пропускал. В нюансах связанных с виртуальными и невиртуальными функциями легко запутаться и для приложений это не очень важно, кажется. Тем не менее это прекрасный опыт чистой математики. Link 42 comments|Leave a comment

Топологические Векторные Пространства [Sep. 1st, 2022|08:51 pm] [Tags | analysis, coarse geometry, convex geometry, functional analysis, history, linear analysis, math, memuar, nyu ] [ Current Mood | sleepy ] [ Current Music | Death in June - The Guilty Have No Pride ] Напоминаем, вам что мы тут читаем не только всякое говно тупое, но и хорошие книжки по математике. Вот например книга по абстрактному функциональному анализу L. Narici and E. Beckenstein: Topological Vector Space. Под абстрактностью я понимаю то, что тут в центре внимания не Банаховы и Гильбертовы пространства, хотя их знание и предполагается. Вместо этого концепты развиваются снизу вверх, начиная с топологических групп, к которым добавляется еще одна непрерывная операция умножение на скаляр. Обычно такой подход подразумевает определенную сухость изложения. Но только не в этой книге! Вот например фрагмент введения (перевод мой) Посреди жестокого истребления многих своих близких друзей, включая своего научного руководителя, Банах пережил войну, но еле-еле. Университет был закрыт, как и все университеты в Польше вовремя нацистской оккупации. Официально перешедший в статус "Недочеловека", он проводил голодные годы, кормя вшей своей кровью в виварии бактериологического института, при это живя в постоянном ужасе, включая и срок в тюрьме. Лишения взяли свое и Банах умер в августе 1945 года. (И да тут есть такие исторические отступления. Что-то похожее я встречал в книге Паши Этингофа по теории представлений.) Потом, меньше чем через пол странички настроение меняется:Мы посвящаем этот вам, наши товарищи-математики, и немного больше многим, очень многим хорошим друзьям, которых мы нашли на конференциях за эти годы! Мы поднимает наши бокалы (не H2O [наверное, нацеженная из вшей кровь Банаха]) за вас. А использование свертки с дельта-функцией для обозначения функционала вычисления в точке и вовсе называется тут возмутительным. Кстати, отдельной главы или раздела про обобщенные функции тут нет! И если изучать сейчас обобщенные функции, то я бы сделал бы упор не конкретно на изучение пространства Шварца, а на изучение ядерных пространств вообще. Потому что разных видов обобщенных функций сейчас на придумывали, кажется очень много, не только пространства этого Шварца, который Лоран. А ядерные пространства придумал, кстати, сам Александр Гротендик, когда учился в аспирантуре. Он, кстати, решив еще несколько задачек, считал что полностью закрыл этот предмет и называл этот предмет пустыней. Но вот некоторые люди заходили потом еще в эту пустыню и бродили там 40 лет как Евреи у Моисея. И вот такими "евреями" и являются авторы этой книги и они могут сводить вас на экскурсию в эту пустыню Гротендика. Но только в определенную ее часть. Куда тут пойти нельзя кроме обобщенных функций и ядерных пространств? Не увидите вы богатств современной операторной теории и операторных алгебр. Дифференцирование и интегрирование векторнозначных функций тоже останется сокрыто от пылких глаз туриста. Это пожалуйста к Богачеву. Что же тут все таки есть? После подготовительного материала по топологическим группам идет классическая теория локально-выпуклых пространств. Я так понял, что тут собака как и в выпуклом анализе в том, что существует естественное соответствие между определёнными функциями и геометрическими объектами. Вообще эту аналогию можно расширить шире, например в дифференциальной геометрии гладкие функции задают гладкие поверхности, в алгебраической геометрии многочлены задаю алгебраические кривые. А тут сублинейные функционалы задают базу окрестностей из "тел Минковского" и соответственно задают векторную топологию для векторного пространства. А дальше почти все факты выводятся из универсального свойства для топологии, заданной семейством функций. Вообще, почти все элементарные факты функционального анализа выводятся из этого свойства, кроме может быть билинейных манипуляций с гильбертовыми пространствами. Мне это стало понятно после моего опыта с топологическими группам. А раньше я это не понимал. Например, отсюда сразу очевидно почему в Банаховых пространствах непрерывный оператор равно ограниченный (тут сублинейные функционалы это норма). Потом идет крайне подробное обсуждения теоремы Хана-Банаха. Это вполне оправдано, так это один из немногих результатов, который имеет широкое применение. Есть там и другие результаты вроде теоремы Крайна-Милманна, теоремы Шоки, теоремы Банаха-Стоуна и других, которые очень уважаемы и любимы в самом функциональном анализе, но за его пределами вроде не особо применяются. Я предпочёл бы думать о них не как о чем-то бесполезном, а как о такой бесконечно-мерной геометрии красивой самой по себе. Очень мне еще понравилось утверждение, что множество замкнутых выпуклых множеств одинаково в любой топологии, задаваемой спариванием. Раньше я подозревал о чем-то таком, так как кажется, что все конструктивные результаты выпуклой геометрии вообще не должны завесить от векторной топологии даже там, где в формулировки упоминается топологические понятия (выпуклость понятие не топологическое). Еще тут есть отдельная глав про векторно-значную теорему Хана-Банаха, то есть про ограниченное продолжение целых линейных операторов! Кажется это довольно продвинутый материал. Других Мест, где про это было бы написано так доступно я не знаю. Кстати, тут утверждают еще, что теорему доказал не Банах, а Хелли, и ее нужно называть не теорией Хелли-Ханна-Баннаха. Оказывается у Хелли была интересная биография. Как положено, теорему эту он доказал в плену у русских. А потом еще успел повоевать в гражданской войне за бело-чехов. Но воевать ему не очень нравилось, поэтому в конце-концов он вернулся домой в Австрию через Японию. А его ученик, Тибор Радо с которым, они в лагере занимались математикой, вернулся к себе в Венгрию через северный полюс! Такая невероятная география! Но потом Хелли пришлось спасаться в Америку при Гитлере. Там ему пршлось работать таксистом, репетитором, потому что рынок труда для математиков был настолько переполнен. Его сын тоже выучился на математика и стал преподавать исследование операций в NYU. Один из авторов книги пересекался с ним, когда был там студентом. Говорят, что когда Хелли младшего спрашивали про его профессию, он отвечал, что он не математик, а его папа, вот настоящий математик. Еще тут есть про бочечные пространства. Но я эту часть книги не читал. Но в этом нет ничего страшного, так как сами авторы советуют читать книгу кусками, выбирая интересные места, ведь она кажется им очень длинной. Потом идут пространства биореологические. Вообще, борнология это как топология, но множества там не открытые, а ограниченные. Вообще можно считать, что борнология это идеал в булевой алгебре подмножеств. Интересно, но кажется эти идеалы можно строить очень по разному. Кроме функционального анализа борнологии активно применяются в грубой геометрии. Этой темой активно занимались украинские математики И. В. Протасов И Тарас Банах (слава Украине!). Еще тут есть глубокий разбор тем вроде приближения непрерывных функций полиномами. Это все делает книгу похожей на труд чешских математиков Fabian et al. Infinite dimensional analysis and geometry. Но подход Наричи и Бекенштейна мне больше нравится так как они не развивают теорию Банаховых и Гильбертовых пространств предварительно, по моим ощущениям теряя импульс движения. Еще мне очень понравилось, что в этой книге параллельно в виде задач, дается теория для неархимедовых полей. Я так понял у этой теории есть два не очень похожих направления. С одной стороны это неархемедовы Банаховы пространства. Тут главной новацией является использование так называемых О-модулей над О-кольцом (просто возьмите элементы с нормой не больше единицы) и можно довольно быстро перейти к идеям родственным коммутатвной алгебре с гомологиями и абелевой категорией. А с другой есть локально-выпуклые пространства, где нужно работать с фильтрами. Есть тут и свои чудеса, вроде того, что все треугольники в неархимедовом пространстве равнобедренны. Например, все неархимедовы Гильбертовы пространства конечномерны. А любое локально-выпукло-компактное пространство выпукло-компактно. Оказывается, есть и современные статьи по неархимедовой выпуклой геометрии. В общем могу сказать, что я до конца не дочитал, но буду обращаться если захочется углубиться в эту тему. Кстати почему Гротендик назвал ядерные пространства ядерными? Не намек ли это на то, что их можно использовать для разработки ядерного оружия? Если их используют для этого, то понятно почему Гротендик оставил эту тему. и большой жирный всем намек, что заниматься этой темой неэтично. А потом Гротендик совсем математику оставил, потому что неэтично, и ядерное оружие! Тут интересно найти параллели между Гротендиком и Тедом Качински. Один математик что-то понял и ушел жить в лес, а другой что-то понял, ушел жить в лес, и начал взрывать своих врагов бомбами. Link 49 comments|Leave a comment

Равномерные пространства и топологические группы [Feb. 11th, 2022|09:50 pm] [Tags | algebra, algebraic analysis, analysis, analytic algebra, math, review, topology ] [ Current Mood | working ] [ Current Music | Hidious of Strength ] В своем изучении дескриптивной теории множеств я временно отступил на территорию топологических групп. Дело в том, что я уже изучал эту тему, но когда дошел до польских групп, то понял, что мои конспекты совсем в неудовлетворительном состоянии. И решил совершить регресс. Равномерные пространства это такая штука, которую придумал Бурбаки, чтобы все ахуели прост. Потому что все раньше думали, что многие фундаментальные конструкции нуждается в метрики, а метрика нуждается в действительных числах. Поэтому казалось, что у действительных чисел особый универсальный статус. А Бурбаки предложил, такую структуру, обобщающую понятие метрики, но выраженная чисто в теоретико-множественном языке без каких-либо отсылок к действительным числам, но со всеми конструкциями. Основная польза от изучения этого это доступ более простом или интересному, кому как, подходу для работы с теми же самыми топологическими группами, векторными пространствами, алгебрами и так далее. Но в действительности от этого подхода всегда можно отойти по желанию. Те кому Бурбаки нравятся его юзает, а те кому не нравятся не юзают. Например Гротендик в своей книги про топологические векторные пространства — его юзает, а Понтрягин в книге Непрерывные Группы — не юзает. Если не изучать всю эту топологическую алгебру то особого смысла в нем и нет. А зачем изучать всю это топологическую алгебру? Конечно, хорошее знание этой теории упрощает изучение групп и алгебр Ли, унтарных групп Гильбертовых пространств и баннаховых алгебр и других тем, где сами топологические группы появляются естественно, хотя и не являются объектами центрального интереса. Однако какие темы требуют углубленного изучения топологических групп? Изначально эта тема развивалась в контексте решения пятой проблемы Гильберта. Смотри работы того же Понтрягина. При решении этой проблемы развилась теория представления локально-компактных групп с помощью меры Хаара. Решать это проблему по еще одному кругу, наверное, не нужно, но из ее решения вышел абстрактный гармонический анализ. Пятая проблема утверждает, что любую конечномерную непрерывную топологическою группу можно исследовать как группу Ли. Поэтому более абстрактная теория может быть полезна в гармоническом анализе если использовать бесконечномерные или неархимедова группы, например. Не знаю, насколько эта тема сейчас актуальна для исследований. Еще люди изучают кардинальные функции и бесконечномерную динамику. Но, Меня лично в большей степени интересует инвариантная дескриптивная теория множеств, где активно используются польские группы, и грубая геометрия этих самых топологических групп. Как базовую книжку, как и а прошлый раз, я использовал A. Willansky "Topology for Analysis". Она совсем простая и понятная и там много простых упражнений. Но многих более сложных и серьезных тем там нет. Поэтому я обратил внимание на книгу малоизвестного американского математика W. Page "Topological Uniform Structures". Написана она как раз с прицелом на абстрактный гармонический анализ, поэтому там много относительно интересных тем, включая теория представлений групп и свободные топологические группы. Однако написано она c большим количеством странных авторских обозначений, делающих изложение очень компактным, но требующего больших усилий для понимания. Противопоставить этой книге можно другую книгу с похожим названием Roelcke W. ; Dierolf S. "Uniform Structures on Topological Groups and their quuotients". Тут немцы постарались изложить все максимально понятно, но конечная цель этой книги, изучение почти метризуемых и полных по Чеху групп. А для меня это экзотика, экзотика. Однако на эту книгу стоит обратить внимание еще и вот почему. Судя по всему у Рёлке понимание смысла равномерности топологической группы значительно опережало современников, так как на его конструкции ссылаются и в современной книжке по грубой геометрии. Можно обратиться и к классике, к Бурбакам, топология 1 у них, кажется, но я этого не делал. Если же вы ненавидите Бурбаков или читаете только по-русски, то можно взять русскоязычную книгу Понтрягина, там никаких равномерных пространств не будет. У Понтрягина книга написана довольно устаревшим языком, но при этом довольно понятная и хорошо читается. Крутится она вокруг пятой проблемы Гильберта, поэтому большое внимание там уделяется проблемам теории представлений и группам Ли. Есть еще энциклопедический труд Архангелского и Ткаченко, но он доступен только на английском и равномерности там все же есть. Поэтому полной победы НАШИХ над клятыми бурбакистами не получилось. Там много топологической экзотики, поэтому я его не читал. А топологические группы это именно раздел не алгебры или топологии, а именно анализа. Особо подробно рассказывать про результаты не буду. Но вот, например один, который меня заинтересовал. Это теорема Успенского про то, что любая польская группа изоморфна какой-то подгруппе группы гомеоморфизмов куба Гильберта. Эта теорема доказывается с ссылкой на теорему Келлера о том, что все компактные выпуклые тела в слабой топологии со звездочкой изоморфны кубу гильберта. Интересно, что в 1993 году Агеев опубликовал "топологическое" доказательство теоремы Келлера основанное на теории представлений унитарной группы гильбертова пространства или топологической группы похожей на нее. Отсюда идея придумать некий миникурс, который начинался бы с общей теории представлений топологических групп, потом переходил к представлению унитарной группы, оттуда шло доказательство Агеева теоремы Келлера (понадобиться еще выпуклая геометрия в бесконечномерье), и оттуда уже шла бы теорема Успенского, с возможными крутыми приложениями. Тут главный вопрос не возникнет ли при этом закольцованность аргументов? Link 17 comments|Leave a comment

Булевы алгебры [Dec. 25th, 2021|01:35 pm] [Tags | algebra, algebraic analysis, analysis, analytic algebra, boolean algebra, logic, math, review ] [ Current Mood | refreshed ] [ Current Music | Soft Cell - This Last Night...In Sodom ] Изрядное количество сил и времени было потрачено на изучение булевых алгебр. Меня это тема заинтересовала так как казалась совершенно элементарной. Тем не менее я видел, что по ней есть какие-то толстые книги, пишутся статьи. И меня это давно интриговало. Оказалось, что эту тему нельзя путать с алгеброй-логикой как теорией для анализа всяких интегральных схем, которую я бы отнес скорее к дискретной математики. Тут речь идет об изучении колец с отношением $x^2 = x$. Если кольцо, как положено, с единицей, то такая структура называется булевой алгеброй. А если единицы может не быть, то булевым кольцом. Такая вот путаница. Тривиальные примеры булевых алгебр: кольцо с одним элементом, поле с двумя элементами, подмножества фиксированного множества. Булево кольцо, которое не является булевой алгеброй, это, например, конечные множества целых чисел. Легко доказать, что любая булева алгебра будет коммутативной и иметь характеристику 2. Но обратное не верно, например нетривиальное расширение Галуа поля из двух элементов булевой алгеброй уже не будет. Смысл тут в том, что задавая отношение $x^2 = x$ мы получаем как-бы бесточечную (pointfree или pointless) модель наивной теории множеств, или не только наивной если рассматривать булевы кольца, при этом саму являющееся множеством. Отсюда переносятся все теоретико-множественные операции и понятие порядка. Например, порядок определятся чисто алгебраическими средствами как $x \le y \iff xy = x$, а операция объединения как $x \cup y = x + y + xy$. При этом у нас получается дистрибутивная решетка. А самым полезным из базовой теории оказалось понятие о разбиении единицы в булевой алгебре. Однако, у нас до сих пор остается не закрыт вопрос, к какому разделу математики относить булевы алгебры? Как я уже сказал выше к дискретной математики они не относятся, и к логике их можно отнести только в силу инертности мышления. На первый взгляд это чисто алгебраическая теория, Однако как мы увидим в дальнейшем общая топология там используется довольно интенсивно. Потому просто к алгебре или тем более к топологии относить эту теорию нельзя. Один мой учитель однажды сказал, что анализ это алгебра с топологией, а тут мы имеем дело именно с эти. Поэтому буду относить алгебры к анализу. А именно к анализу алгебраическому или, если на меня обидятся любители микро и макро-локальных функций, то к аналитической алгебре. Пререквизиты к изучению этой темы это общая топология и один семестр абстрактной алгебры. Еще полезно быть знакомым с ординальными числами. Поэтому изучить все можно на втором курсе или еще раньше. Изучал я эту теорию по учебнику Фремлина, а именно главам 31 и 38. Он особенно хорош тем, все выложен в виде теховских исходников и pdf на сайте автора, а значит учебник не скован обычными ограничениями книгоиздания. Причем, можно скачать ro (result only) версию, где будут только определения и формулировки теорем. И таким образом сразу получится подобие листочка. Недостаток такой версии в том, что там не будет и задачек и концептуальных комментариев из основной версии. А задачек там довольно много, они разделены на две категории, но скорее не по сложности, а по необходимости наличия внешних знаний. Что-то из этих задачек я решал, что-то решал из RO версий, а когда RO становились слишком сложными, то читал обычную версию. Из альтернативной литературы можно отметить Халмоша, у которого есть две книги разной сложности. Та которая посложнее вроде содержит все необходимые темы, и может подойти тем, кто не хочет слишком сильно разбрасываться камни. На Русском языке по этой теме есть Владимиров и переведенная классика Сикорский. И если Сикорский довольно сильно устарел, то Владимиров, хотя читать старую книгу может быть довольно сложновато, выделяется приложениями булевых алгебр к функциональному анализу, и в особенности к спектральным мерам операторов. Есть еще брошюра Подзорова из НГУ, но там большой упор сделан на приложения к матлогики и основаниям математики. А еще если хочется обдрочиться, то можно взять трехтомник под редакцией Монка "handbook of Boolean algebras". Теперь перейдем собственно к содержанию. Связь с топологией обеспечивается тем, для изучения булевых алгебр активно используются пространства Стоуна или просто функтор Стоуна. Этот функтор сопоставляет каждому булевому кольцу локально-компактное ноль-мерное Хаусдорффово пространство ненулевых морфизмов из самого кольца в поле из двух элементов. Каждому элементу булевой алгебры в таком пространстве соответствует открытый компакт. И порядок тут переносится как порядок вложений. Поэтому, если булевой была алгебра, то её пространство Стоуна будет компактно. Однако существований этой конструкции в общем случае неконструктивно и требует работы с ультрафильтрами. Но, так как многие факты про булевы алгебры доказываются именно через пространства Стоуна, то можно представить, что мы имеем дело с алгебраической топологией шиворот-навыворот! То есть исследуем регулярные алгебраические структуры с помощью функтора в топологические пространства. функтор это, между прочим контравариантный. Стрелочки поворачиваются! И произведения становятся копроизведениями и наоборот. То есть, декартовым произведениям булевых алгебр соответствует несвязные объединения пространств Стоуна, а их тензорным произведениям уже декартовы произведения пространств Стоуна. Все это очень просто и логично если подумать про конечные аналоги и их комбинаторику. Еще есть очень важные понятия о (секвенциональной) полноте, замкнутости и непрерывности в смысле порядка или по Дедекинду. Владимиров для этих целей вводит специальные топологии, а Фремлин вводит все эти понятия Ad Hoc, и, на мой взгляд, второй путь проще и понятней. Ведь речь тут идет просто про существование и сохранение инфов и супов в булевом порядке. Когда в курсе теории вероятностей говорят про сигма-алгебры, то это сокращение для "секвенционально замкнутые по Дедекинду булевы алгебры подмножеств". Поэтому дальше все секвенционально замкнутые по Дедекинду булевы алгебры буду называть просто сигма-алгебрами. А просто замкнутые по Дедекинду булевы алгебры я буду называть тау-алгебрам, потому что Т в алфавите идет после С. В целом это лютый абьюз оф нотэйшен, но сам Фремлин использует буквы сигма и тау для обозначения соответствующих замыканий. Пример булевой алгебры, не являющейся сигма-алгеброй, это алгебра конечных-коконечных подмножеств целых чисел. А пример сигма-алгебры не являющейся тау-алгеброй, это например известная Борелева алгебра на действительных числах. Интересные результаты тут это теорема Лумиса-Сикорского про то, что любая сигма-алгебра представляется как фактор сигма-алгебры подмножеств по какому-то сигма-идеалу. Еще есть интересная конструкция замыкания через построения алгебры открытых областей или регулярных открытых множеств в пространстве Стоуна со всеми универсальными свойствами замыкания. Другая возможная конструкция замыкания это алгебра идеалов, но она сильнее выносит мозг, так как операции с идеалами отличаются от обычной алгебры множеств. Самый полезный тут факт такой, что любой автоморфизм булевой алгебры тау-непрерывен. В начале главы 38 Фремлин подробно разбирается с группой автоморфизмов булевой алгебры. Все по программе Клейна. Тут напрашивается удивительная аналогия с эргодической теорией. Тут у нас элементы булевой алгебры это регионы пространства, автоморфизмы это динамические процессы, а их степени это дискретное время. Отсюда берется представление об эргодических, смешивающих, рекуррентных и апериодических автоморфизмах. Все это создает ощущение не просто бесточечной (pointfree и pointless) эргодической теории, а эргодической теории совершено абстрактной и пустой, лишенной каких-либо конкретных измерений. Сам Фремлин пишет, что ничего полезного в нормальной эргодической теории доказать нельзя, а воспринимать эту теорию нужно скорее как модель для углубления понимания и вдохновения. В конце как вишенку на торте я разбирал теоремы про факторизацию автоморфизмов на т. н. обменивающие инволюции. Это все из далека очень напоминало теоремы из аффинной геометрии про представление поворотов в произведений отражений. Но на практике там оказалось длинное, техническое, "комбинаторно" доказательство. Такое доказательство может занять ни одну лекцию (интересно, что Фремлин противник лекций как метода обучения). Но в итоге результат звучит так, что в тау-алгебре любой автоморфизм представляется как произведение не более чем трех инволюций. Отсюда следует определенный подход к подсчету нормальных подгрупп и критерии простоты. В частности можно доказать, что у группы автоморфизмов Борелевской сигма-алгебры действительной прямой только три нетривиальные нормальные подгруппы. На мой взгляд, удивительное утверждение на стыке элементарной алгебры и элементарного анализа. Из тем, к которым можно было бы вернуться я бы отметил теорию простых функций, но там в качестве пререквизита требуется знание упорядоченных топологических пространств, которые я не доучил в прошлый раз. Еще можно почитать про спектральные меры у Владимирова. Или про приложения к матлогике у Подзорова и Монка. Но я в ближайшее время этого делать не буду. Намного интереснее было бы изучать булевы алгебры с мерой, или нормированные алгебры как их называет Владимиров. Но перед этим я хотел бы вернуться к дескриптивной теории множеств. В целом я очень расстроен тем, что взялся за изучение булевых алгебр. Теперь они у меня в мозгу булят другие алгебры, например, квадратичные. А я никакие формы булинга не одобряю, особенно квадратичные! Link 9 comments|Leave a comment

navigation [ viewing | most recent entries ]