Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Rodion Déev ([info]deevrod)
@ 2018-10-18 20:34:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: cold
Entry tags:геометрия

Вертикальное векторное поле, связанное с вырожденной твисторной деформацией
UPD: в посте, как обычно, всё неверно, см. комменты

Пусть X \to B -- расслоение, тогда нормальное расслоение \nu(X_b/X) к слою имеет плоскую связность, т. н. связность Ботта, у которой графиками плоских сечений являются соседние слои X_{b'} (если тотальное пространство нормального расслоения реализовать трубчатой окрестностью). У лагранжева подмногообразия кокасательное расслоение изоморфно нормальному, так что в случае лагранжева расслоения связность Ботта переносится на кокасательное расслоение, и имеет смысл говорить о её кручении. Как мне любезно объяснил [info]tiphareth, оно почти никогда не будет нулевым. Тем не менее, из теоремы Дарбу-Вайнштейна следует, что касательное расслоение к базе лагранжева расслоения изоморфно расслоению первых когомологий слоя, так что 1-форм, параллельных относительно этой связности Ботта, столько же, сколько замкнутых 1-форм по модулю точных. Параллельные 1-формы удовлетворяют тождеству (d\alpha)(x,y) = \alpha(Tors(x,y)), если бы кручение было нулевым -- то это было бы просто условие замкнутости. На римановых многообразиях классы когомологий канонически реализуются формами как гармонические формы; следует ли думать, что на лагранжевом торе со связностью Ботта следует думать про параллельные 1-формы как про гармонические? Имеет ли место что-то подобное для многообразий с неплоской связностью с кручением? Звучит как белиберда, но мало ли.

А что не белиберда, так вот что. Пусть есть два кокасательных вектора к базе лагранжева расслоения, торчащих из одной точки. При помощи оттягивания и симплектической формы с ними можно связать два векторных поля на слое, параллельных относительно связности Ботта. Возьмём их коммутатор. Это позволяет по 2-форме на базе построить некое вертикальное векторное поле на тотальном пространстве. Как мне объяснил [info]v_r, коммутаторы параллельных векторных полей суть значения кручения на этих полях, так что в данном случае это векторное поле будет крайне редко равняться нулю. 2-формы на базе лагранжева расслоения естественным образом возникают при построении вырожденных твисторных деформаций, переводящих данное топологическое сечение в лагранжево. Вопрос: а какой смысл у соответствующего вертикального векторного поля? Можно было помыслить, что оно определяло бы некий поток, как в трюке Мозера, но никакого потока в данном случае с ним связать не получается, поскольку оно будет комплексным.



(Добавить комментарий)


[info]kaledin
2018-10-19 01:50 (ссылка)
>оно почти никогда не будет нулевым

Это еще почему?

То, что ты называешь "связностью", это не связность, а вообще тривиализация; откуда у нее возьемться кручение, мне неведомо.

>а какой смысл у соответствующего вертикального векторного поля?

Фиг знает, учитывая, что оно нулевое.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2018-10-19 02:02 (ссылка)
Свойство связности определять тривиализацию влечёт зануление кривизны,
а не кручения (посмотри например на S^3).

Нулевым это кручение быть не может, потому что иначе риччи-плоская
метрика на К3-поверхности ограничивалась бы на слои плоской метрикой.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-10-19 02:08 (ссылка)
Слушай, в типичной ситуации этот слой плоский тор. При кривизну Риччи ничего не знаю.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2018-10-19 02:21 (ссылка)
Окей, вроде ты прав -- если \iota_{[u,v]}\omega расписать,
все члены один за другим уйдут.

Но на G_2 вроде не переносится. Эх.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2018-10-19 03:12 (ссылка)
Вообще, плоская связность с тривиальной монодромией и нетривиальным кручением бывает на группе; кручение это скобка в алгебре Ли. А здесь группа вроде как абелева.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2018-10-19 02:40 (ссылка)

Давай возьмем функцию на базе, тогда
ее гамильтоново векторное поле
(симплектический градиент) есть как
раз твое векторное поле на слое. Поэтому
коммутатор таких векторных полей это
симплектический градиент их пуассоновой
скобки.

Пуассонова скобка функций на базе лагранжева
расслоения равна нулю, потому как симплектический
градиент идет вдоль слоя, значит, коммутирует
с функциями на базе. Поэтому твой коммутатор
тождественно равен нулю.

По дороге ты получаешь канонические плоские
координаты на этом твоем торе; в этих плоских
координатах твои симплектические градиенты
параллельны.

Такие дела
Миша

(Ответить)


(Анонимно)
2018-10-19 11:15 (ссылка)
а что вуйнер говорит? он в математике шарит

(Ответить)